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12. 安徽热点双空题（易错题）在平面直角坐标系中，直线$y=2x-2$不动，移动坐标系.
（1）若将坐标系向下平移3个单位长度后得到新的平面直角坐标系，此时该直线是函数
（2）若将坐标系向右平移1个单位长度后得到新的平面直角坐标系，此时该直线是函数
（1）若将坐标系向下平移3个单位长度后得到新的平面直角坐标系，此时该直线是函数
$y=2x+1$
的图象；（2）若将坐标系向右平移1个单位长度后得到新的平面直角坐标系，此时该直线是函数
$y=2x$
的图象.答案
12.(1)$y=2x+1$ (2)$y=2x$
解析
【分析】
解决本题的核心是理清坐标系平移和函数图象相对平移的关系：坐标系的平移方向与函数图象相对的平移方向相反，再结合一次函数平移的“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律计算即可。具体来说：（1）坐标系向下平移3个单位，等价于直线向上平移3个单位，直接在原解析式常数项上加3即可；（2）坐标系向右平移1个单位，等价于直线向左平移1个单位，将原解析式的自变量x替换为(x+1)再化简即可。
【解析】
坐标系平移可转化为直线向相反方向平移，遵循一次函数平移规则：上下平移时，常数项“上加下减”；左右平移时，自变量“左加右减”。
（1）坐标系向下平移3个单位，等价于直线向上平移3个单位。
原直线解析式为$y=2x-2$，向上平移3个单位后解析式为：
$y=2x-2+3=2x+1$
（2）坐标系向右平移1个单位，等价于直线向左平移1个单位。
将原解析式中自变量x替换为$(x+1)$，代入得：
$y=2(x+1)-2=2x+2-2=2x$
【答案】
(1)$y=2x+1$ (2)$y=2x$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 坐标系平移规则
【点评】
本题属于易错题，易错点为混淆坐标系平移和图象平移的方向，牢记坐标系平移方向与图象相对平移方向相反，结合一次函数平移口诀即可准确求解，主要考查平移规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是理清坐标系平移和函数图象相对平移的关系：坐标系的平移方向与函数图象相对的平移方向相反，再结合一次函数平移的“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律计算即可。具体来说：（1）坐标系向下平移3个单位，等价于直线向上平移3个单位，直接在原解析式常数项上加3即可；（2）坐标系向右平移1个单位，等价于直线向左平移1个单位，将原解析式的自变量x替换为(x+1)再化简即可。
【解析】
坐标系平移可转化为直线向相反方向平移，遵循一次函数平移规则：上下平移时，常数项“上加下减”；左右平移时，自变量“左加右减”。
（1）坐标系向下平移3个单位，等价于直线向上平移3个单位。
原直线解析式为$y=2x-2$，向上平移3个单位后解析式为：
$y=2x-2+3=2x+1$
（2）坐标系向右平移1个单位，等价于直线向左平移1个单位。
将原解析式中自变量x替换为$(x+1)$，代入得：
$y=2(x+1)-2=2x+2-2=2x$
【答案】
(1)$y=2x+1$ (2)$y=2x$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 坐标系平移规则
【点评】
本题属于易错题，易错点为混淆坐标系平移和图象平移的方向，牢记坐标系平移方向与图象相对平移方向相反，结合一次函数平移口诀即可准确求解，主要考查平移规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
13.已知直线$y=mx+3-m$，根据下列条件，分别求$m$的值.
(1)直线经过点$(-1,1)$；
(2)将直线向下平移$m+2$个单位长度后，所得直线经过点$(3,-4)$.
(1)直线经过点$(-1,1)$；
(2)将直线向下平移$m+2$个单位长度后，所得直线经过点$(3,-4)$.
答案
13. 解:(1)把 $(-1,1)$代入 $y=mx+3-m$,得 $1=-m+3-m$,解得 $m=1$.(2)平移后的直线的函数表达式为 $y=mx+3-m-m-2=mx-2m+1$. 把$(3,-4)$代入,得 $-4=3m-2m+1$,解得 $m=-5$.
解析
【分析】
（1）已知点在直线上时，点的横、纵坐标满足直线的函数解析式，因此将点(-1,1)代入给定的直线方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）直线上下平移遵循“上加下减”的规律（仅调整常数项），先根据平移规则写出平移后的直线解析式，再将点(3,-4)代入平移后的解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
【解析】
(1) 把点$(-1,1)$代入$y=mx+3-m$，得：
$1 = -m + 3 - m$
移项合并同类项得$2m=2$
解得$m=1$。
(2) 直线向下平移$m+2$个单位，根据“上加下减”的平移规则，平移后的直线解析式为：
$y = mx + 3 - m - (m+2)$
化简得$y = mx - 2m + 1$
把点$(3,-4)$代入平移后的解析式，得：
$-4 = 3m - 2m + 1$
整理得$m+1=-4$
解得$m=-5$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $m=-5$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移规律
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查点与函数解析式的对应关系以及图象平移的变化规律，计算量小，熟练掌握相关基础概念、注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）已知点在直线上时，点的横、纵坐标满足直线的函数解析式，因此将点(-1,1)代入给定的直线方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）直线上下平移遵循“上加下减”的规律（仅调整常数项），先根据平移规则写出平移后的直线解析式，再将点(3,-4)代入平移后的解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
【解析】
(1) 把点$(-1,1)$代入$y=mx+3-m$，得：
$1 = -m + 3 - m$
移项合并同类项得$2m=2$
解得$m=1$。
(2) 直线向下平移$m+2$个单位，根据“上加下减”的平移规则，平移后的直线解析式为：
$y = mx + 3 - m - (m+2)$
化简得$y = mx - 2m + 1$
把点$(3,-4)$代入平移后的解析式，得：
$-4 = 3m - 2m + 1$
整理得$m+1=-4$
解得$m=-5$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $m=-5$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移规律
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查点与函数解析式的对应关系以及图象平移的变化规律，计算量小，熟练掌握相关基础概念、注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
14. 分类讨论 新理念 如图，直线 $y=2x+b$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是－2。
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB上有一点C，且 $S_{△ BOC}=2$，求点C的坐标。
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB上有一点C，且 $S_{△ BOC}=2$，求点C的坐标。
答案
14. 解:(1)因为直线 $y=2x+b$ 在 $y$ 轴上的截距是$-2$,所以 $b=-2$. 所以 $y=2x-2$. 令 $y=0$,得 $0=2x-2$,解得 $x=1$. 所以点 $A$ 的坐标是$(1,0)$.(2)因为 $S_{三角形BOC}=2$,$OB=2$,所以 $\frac{1}{2}×2|x_C|=2$,解得 $x_C=±2$. 将 $x=2$ 代入 $y=2x-2$,得 $y=2$; 将 $x=-2$ 代入 $y=2x-2$,得 $y=-6$. 所以点 $C$ 的坐标是$(2,2)$或$(-2,-6)$.
解析
【分析】
(1) 首先根据一次函数在y轴上的截距的定义，截距就是x=0时对应的y值，对应解析式里的常数项b，先求出b的值得到完整的一次函数解析式；要求与x轴交点A的坐标，只需令y=0，解对应的一元一次方程得到A点的横坐标即可。
(2) 先确定OB的长度为2，△BOC以OB为底时，高就是点C到y轴的水平距离，也就是点C横坐标的绝对值，结合已知的三角形面积列方程，求出点C横坐标的两种可能值，再分别代入一次函数解析式求出对应的纵坐标，即可得到点C的坐标，注意横坐标有正负两种情况，要分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 已知直线$y=2x+b$在y轴上的截距是$-2$，根据截距定义可得$b=-2$，因此直线解析式为$y=2x-2$。
求直线与x轴交点A的坐标，令$y=0$，代入解析式得：
$0=2x-2$
解得$x=1$，即点A的坐标为$(1,0)$。
(2) 由解析式可知直线与y轴交点B的坐标为$(0,-2)$，因此$OB=2$。
设点C的横坐标为$x_C$，△BOC以OB为底时，高为点C到y轴的距离$|x_C|$，根据三角形面积公式：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB × |x_C|$
代入$S_{△ BOC}=2$、$OB=2$得：
$\frac{1}{2}×2×|x_C|=2$
解得$|x_C|=2$，即$x_C=2$或$x_C=-2$。
将$x=2$代入$y=2x-2$，得$y=2×2-2=2$；
将$x=-2$代入$y=2x-2$，得$y=2×(-2)-2=-6$。
因此点C的坐标为$(2,2)$或$(-2,-6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{(2,2)}$或$\boldsymbol{(-2,-6)}$
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数与坐标轴交点；坐标与图形面积计算
【点评】
本题侧重考察一次函数的基础应用，第一问属于基础考点，难度较低；第二问需要结合几何面积公式求解，要注意分类讨论点C的位置，避免遗漏横坐标为负的情况，掌握一次函数基本性质和三角形面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据一次函数在y轴上的截距的定义，截距就是x=0时对应的y值，对应解析式里的常数项b，先求出b的值得到完整的一次函数解析式；要求与x轴交点A的坐标，只需令y=0，解对应的一元一次方程得到A点的横坐标即可。
(2) 先确定OB的长度为2，△BOC以OB为底时，高就是点C到y轴的水平距离，也就是点C横坐标的绝对值，结合已知的三角形面积列方程，求出点C横坐标的两种可能值，再分别代入一次函数解析式求出对应的纵坐标，即可得到点C的坐标，注意横坐标有正负两种情况，要分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 已知直线$y=2x+b$在y轴上的截距是$-2$，根据截距定义可得$b=-2$，因此直线解析式为$y=2x-2$。
求直线与x轴交点A的坐标，令$y=0$，代入解析式得：
$0=2x-2$
解得$x=1$，即点A的坐标为$(1,0)$。
(2) 由解析式可知直线与y轴交点B的坐标为$(0,-2)$，因此$OB=2$。
设点C的横坐标为$x_C$，△BOC以OB为底时，高为点C到y轴的距离$|x_C|$，根据三角形面积公式：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB × |x_C|$
代入$S_{△ BOC}=2$、$OB=2$得：
$\frac{1}{2}×2×|x_C|=2$
解得$|x_C|=2$，即$x_C=2$或$x_C=-2$。
将$x=2$代入$y=2x-2$，得$y=2×2-2=2$；
将$x=-2$代入$y=2x-2$，得$y=2×(-2)-2=-6$。
因此点C的坐标为$(2,2)$或$(-2,-6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{(2,2)}$或$\boldsymbol{(-2,-6)}$
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数与坐标轴交点；坐标与图形面积计算
【点评】
本题侧重考察一次函数的基础应用，第一问属于基础考点，难度较低；第二问需要结合几何面积公式求解，要注意分类讨论点C的位置，避免遗漏横坐标为负的情况，掌握一次函数基本性质和三角形面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1.(2024－2025·合肥瑶海区期中)若将直线$y=2x+3$向下平移$m$个单位长度，使其经过点$(1,-1)$，则$m$的值为（
A.3
B.－3
C.6
D.－6
C
）A.3
B.－3
C.6
D.－6
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步回忆一次函数上下平移的规律“上加下减”，即向下平移m个单位时，原解析式的常数项减去m，先写出平移后的直线解析式；第二步，平移后的直线经过点(1,-1)，说明该点的坐标满足平移后的解析式，将点坐标代入解析式得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据一次函数平移“上加下减”的规律，直线$y=2x+3$向下平移$m$个单位长度后的解析式为：
$y=2x+3 - m$
∵平移后的直线经过点$(1,-1)$
∴将$x=1$，$y=-1$代入上述解析式得：
$-1 = 2×1 + 3 - m$
计算等号右侧得：$-1 = 5 - m$
移项解得：$m = 5 + 1 = 6$
故m的值为6。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数点坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数平移的基础应用题型，核心考查对平移规律的掌握和“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质的应用，熟练掌握平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步回忆一次函数上下平移的规律“上加下减”，即向下平移m个单位时，原解析式的常数项减去m，先写出平移后的直线解析式；第二步，平移后的直线经过点(1,-1)，说明该点的坐标满足平移后的解析式，将点坐标代入解析式得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据一次函数平移“上加下减”的规律，直线$y=2x+3$向下平移$m$个单位长度后的解析式为：
$y=2x+3 - m$
∵平移后的直线经过点$(1,-1)$
∴将$x=1$，$y=-1$代入上述解析式得：
$-1 = 2×1 + 3 - m$
计算等号右侧得：$-1 = 5 - m$
移项解得：$m = 5 + 1 = 6$
故m的值为6。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数点坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数平移的基础应用题型，核心考查对平移规律的掌握和“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质的应用，熟练掌握平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 要得到直线$y=-2x+4$，可把直线$y=-2x$（
A.向下平移4个单位长度
B.向上平移2个单位长度
C.向左平移4个单位长度
D.向右平移2个单位长度
D
）A.向下平移4个单位长度
B.向上平移2个单位长度
C.向左平移4个单位长度
D.向右平移2个单位长度
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路如下：首先明确一次函数平移时斜率k不变，牢记平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”：上下平移时直接在表达式末尾加减平移单位，左右平移时需要把自变量x整体替换为（x±平移单位），左加右减。先通过上下平移的规则排除错误选项，再验证左右平移的选项即可得到正确答案。
【解析】
一次函数平移遵循以下规则（平移单位m＞0）：
1. 上下平移：直线$y=kx+b$向上平移m个单位得$y=kx+b+m$，向下平移m个单位得$y=kx+b-m$；
2. 左右平移：直线$y=kx+b$向左平移m个单位得$y=k(x+m)+b$，向右平移m个单位得$y=k(x-m)+b$。
首先验证上下平移：若对$y=-2x$上下平移得到$y=-2x+4$，需要向上平移4个单位，选项A向下平移4个单位得$y=-2x-4$，选项B向上平移2个单位得$y=-2x+2$，均不符合，排除A、B。
再验证左右平移：
选项C：向左平移4个单位，代入规则得$y=-2(x+4)=-2x-8$，不符合要求，错误；
选项D：向右平移2个单位，代入规则得$y=-2(x-2)=-2x+4$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象平移规律、一次函数表达式
【点评】
本题重点考查一次函数的平移规则，易错点为左右平移时忽略“左加右减”是针对自变量x本身，需要给x加括号后再展开计算，避免混淆左右平移和上下平移的计算逻辑。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路如下：首先明确一次函数平移时斜率k不变，牢记平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”：上下平移时直接在表达式末尾加减平移单位，左右平移时需要把自变量x整体替换为（x±平移单位），左加右减。先通过上下平移的规则排除错误选项，再验证左右平移的选项即可得到正确答案。
【解析】
一次函数平移遵循以下规则（平移单位m＞0）：
1. 上下平移：直线$y=kx+b$向上平移m个单位得$y=kx+b+m$，向下平移m个单位得$y=kx+b-m$；
2. 左右平移：直线$y=kx+b$向左平移m个单位得$y=k(x+m)+b$，向右平移m个单位得$y=k(x-m)+b$。
首先验证上下平移：若对$y=-2x$上下平移得到$y=-2x+4$，需要向上平移4个单位，选项A向下平移4个单位得$y=-2x-4$，选项B向上平移2个单位得$y=-2x+2$，均不符合，排除A、B。
再验证左右平移：
选项C：向左平移4个单位，代入规则得$y=-2(x+4)=-2x-8$，不符合要求，错误；
选项D：向右平移2个单位，代入规则得$y=-2(x-2)=-2x+4$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象平移规律、一次函数表达式
【点评】
本题重点考查一次函数的平移规则，易错点为左右平移时忽略“左加右减”是针对自变量x本身，需要给x加括号后再展开计算，避免混淆左右平移和上下平移的计算逻辑。
【难度系数】
0.7
3.(2024－2025·安庆期中)将直线$y=kx+b$向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到直线$y=2x$，则（
A.$k=2,b=-8$
B.$k=-2,b=2$
C.$k=1,b=-4$
D.$k=2,b=4$
A
）A.$k=2,b=-8$
B.$k=-2,b=2$
C.$k=1,b=-4$
D.$k=2,b=4$
答案
3.A
解析
【分析】
解决本题的核心是运用一次函数的平移规律，首先回忆平移规则：“左加右减”针对自变量x进行变化，“上加下减”针对常数项进行变化。我们可以先根据题目给出的平移步骤，写出原直线y=kx+b平移后的解析式，再将其与平移后得到的直线y=2x对比，利用两个相同一次函数的对应系数、常数项相等的性质，列等式求解k和b的值即可。
【解析】
根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”：
1. 将直线$y=kx+b$向左平移2个单位长度，自变量x替换为$x+2$，得到解析式：$y=k(x+2)+b$；
2. 再将所得直线向上平移4个单位长度，整体加4，得到最终平移后的解析式：$y=k(x+2)+b+4$。
已知平移后得到的直线为$y=2x$，将上述解析式展开整理得：
$y=kx+2k+b+4$
两个直线为同一条直线，因此对应系数相等：
一次项系数：$k=2$
常数项：$2k+b+4=0$
将$k=2$代入常数项等式，得：$2×2 +b +4=0$，解得$b=-8$。
因此$k=2$，$b=-8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律
2. 一次函数系数对应关系
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，关键要准确掌握平移规律，尤其注意“左加右减”是对自变量x做调整，不要直接作用在常数项上，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是运用一次函数的平移规律，首先回忆平移规则：“左加右减”针对自变量x进行变化，“上加下减”针对常数项进行变化。我们可以先根据题目给出的平移步骤，写出原直线y=kx+b平移后的解析式，再将其与平移后得到的直线y=2x对比，利用两个相同一次函数的对应系数、常数项相等的性质，列等式求解k和b的值即可。
【解析】
根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”：
1. 将直线$y=kx+b$向左平移2个单位长度，自变量x替换为$x+2$，得到解析式：$y=k(x+2)+b$；
2. 再将所得直线向上平移4个单位长度，整体加4，得到最终平移后的解析式：$y=k(x+2)+b+4$。
已知平移后得到的直线为$y=2x$，将上述解析式展开整理得：
$y=kx+2k+b+4$
两个直线为同一条直线，因此对应系数相等：
一次项系数：$k=2$
常数项：$2k+b+4=0$
将$k=2$代入常数项等式，得：$2×2 +b +4=0$，解得$b=-8$。
因此$k=2$，$b=-8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律
2. 一次函数系数对应关系
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，关键要准确掌握平移规律，尤其注意“左加右减”是对自变量x做调整，不要直接作用在常数项上，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
