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二次根式的“穿墙术”
▲去括号法则:$-(a+b)=-a-b$. 这里我们可以认为负号“穿”过了括号分别与$a,b$作用,让每一项变成其相反数.
▲负数的奇数次幂:$(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$($a$为正数,$n$为自然数). 由幂的定义可知奇数次幂括号内的符号可以随意“进出”括号而不致出错,然而这一点对于偶数次幂却不成立.
▲奇数次方根:$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}$($a$为正数,$n$为自然数). 和奇数次幂类似,负号可以任意“进出”根号,但对偶数次方根却不成立,因为负数没有偶数次方根.
以上虽然是一些浅显的例子,不过都与本文的主旨相近,下面要说的是二次根式的“穿墙术”,看上去很神奇. 先看一些简单的例子:$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$,$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$……不难发现,根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去,颇有趣味,然而这一点并非对任何数都成立,如$\sqrt{3\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{11}{3}}≠3\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
于是我们期望找出具有“穿墙术”的带分数的一般例子,即求这样的带分数$a\dfrac{c}{b}$,使得$\sqrt{a\dfrac{c}{b}}=a\sqrt{\dfrac{c}{b}}$,其中$a,b,c$都是正整数,且$b＞c,b,c$互质.
根据条件,有$\dfrac{ab+c}{b}=\dfrac{a^2c}{b}$,即$ab+c=a^2c$,$ab=c(a^2-1)$.
$\because b＞c$,且$b,c$互质,$\therefore a=c$,$b=a^2-1$. 若记$a=c=n$,则$b=n^2-1$. 故满足条件的分数为$n+\dfrac{n}{n^2-1}$,且有$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$为正整数,且$n≥2$).
可以发现,当$n$取正整数时,这样的带分数有无数个,我们在一般意义上解决了二次根式的“穿墙术”问题,以上结果可以看作一个公式.
我们进一步考虑一个类似的问题:形如$\sqrt{a-\dfrac{c}{b}}=a\sqrt{\dfrac{c}{b}}$($a,b,c$都是正整数,且$b＞c,b,c$互质)的二次根式应该具有什么特征呢? 由上式得$\sqrt{\dfrac{ab-c}{b}}=\sqrt{\dfrac{a^2c}{b}}$,即$ab-c=a^2c$,$ab=c(a^2+1)$. 由于$b＞c$,且$b,c$互质,故有$a=c$,$b=a^2+1$. 若记$a=c=n$,则$b=n^2+1$. 因此具有以上性质的二次根式具有以下形式:
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$,其中$n$为正整数.
任务:请你验证公式$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$($n$为正整数)的正确性.
▲去括号法则:$-(a+b)=-a-b$. 这里我们可以认为负号“穿”过了括号分别与$a,b$作用,让每一项变成其相反数.
▲负数的奇数次幂:$(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$($a$为正数,$n$为自然数). 由幂的定义可知奇数次幂括号内的符号可以随意“进出”括号而不致出错,然而这一点对于偶数次幂却不成立.
▲奇数次方根:$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}$($a$为正数,$n$为自然数). 和奇数次幂类似,负号可以任意“进出”根号,但对偶数次方根却不成立,因为负数没有偶数次方根.
以上虽然是一些浅显的例子,不过都与本文的主旨相近,下面要说的是二次根式的“穿墙术”,看上去很神奇. 先看一些简单的例子:$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$,$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$……不难发现,根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去,颇有趣味,然而这一点并非对任何数都成立,如$\sqrt{3\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{11}{3}}≠3\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
于是我们期望找出具有“穿墙术”的带分数的一般例子,即求这样的带分数$a\dfrac{c}{b}$,使得$\sqrt{a\dfrac{c}{b}}=a\sqrt{\dfrac{c}{b}}$,其中$a,b,c$都是正整数,且$b＞c,b,c$互质.
根据条件,有$\dfrac{ab+c}{b}=\dfrac{a^2c}{b}$,即$ab+c=a^2c$,$ab=c(a^2-1)$.
$\because b＞c$,且$b,c$互质,$\therefore a=c$,$b=a^2-1$. 若记$a=c=n$,则$b=n^2-1$. 故满足条件的分数为$n+\dfrac{n}{n^2-1}$,且有$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$为正整数,且$n≥2$).
可以发现,当$n$取正整数时,这样的带分数有无数个,我们在一般意义上解决了二次根式的“穿墙术”问题,以上结果可以看作一个公式.
我们进一步考虑一个类似的问题:形如$\sqrt{a-\dfrac{c}{b}}=a\sqrt{\dfrac{c}{b}}$($a,b,c$都是正整数,且$b＞c,b,c$互质)的二次根式应该具有什么特征呢? 由上式得$\sqrt{\dfrac{ab-c}{b}}=\sqrt{\dfrac{a^2c}{b}}$,即$ab-c=a^2c$,$ab=c(a^2+1)$. 由于$b＞c$,且$b,c$互质,故有$a=c$,$b=a^2+1$. 若记$a=c=n$,则$b=n^2+1$. 因此具有以上性质的二次根式具有以下形式:
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$,其中$n$为正整数.
任务:请你验证公式$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$($n$为正整数)的正确性.
答案
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}} = \sqrt{\dfrac{n^3+n-n}{n^2+1}} = \sqrt{\dfrac{n^3}{n^2+1}} =n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}} (n 为正整数).$
