1 下列说法正确的是 （）

A.所有的矩形都相似
B.所有的菱形都相似
C.所有的正方形都相似
D.对应角分别相等的两个四边形相似

C

根据相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形互为相似多边形，逐一分析选项：
1. 选项A：所有矩形的对应角都为90°相等，但对应边的比值不一定相等，因此所有矩形不一定相似，A错误。
2. 选项B：所有菱形的对应边比值都相等，但对应角不一定相等，因此所有菱形不一定相似，B错误。
3. 选项C：所有正方形的对应角都为90°相等，且对应边的比值一定相等，满足相似多边形的条件，因此所有正方形都相似，C正确。
4. 选项D：仅对应角分别相等的两个四边形，对应边不一定成比例，比如长为4宽为2的矩形和边长为3的正方形，对应角都为90°但不相似，因此D错误。

2[2026河南新乡期末]如图，在甲、乙、丙、丁四个矩形中，相似的是（）


A.甲和乙
B.乙和丙
C.丙和丁
D.甲和丁

A

矩形的四个内角均为90°，根据相似多边形的判定，只需邻边的比值相等即可判定两个矩形相似。分别计算四个矩形的邻边比：
甲：$\frac{5}{3}$
乙：$\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$
丙：$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
丁：$\frac{5}{4}$
可得甲和乙的邻边比值相等，因此相似的是甲和乙。

3[2026浙江金华调研]如图所示,已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似,且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的$\frac{1}{4}$,则$FO:EO$的值为 ()


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

C

1. 由相似多边形的性质，相似图形面积比等于相似比的平方。已知平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的$\frac{1}{4}$，可得两个平行四边形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。
2. 两个平行四边形有公共角$∠ DAB$，夹公共角的对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}=\frac{1}{2}$，因此$AB=2AD$，$AD=2AF$，推导得$AF=\frac{1}{4}AB$。
3. 在平行四边形ABCD中，$CD=AB$且$CD// AB$，平行四边形ADEF中$DE=AF$，因此$CE=CD-DE=AB-AF=\frac{3}{4}AB$。
4. 由$CD// AB$，可得$△ AFO ∽ △ CEO$，根据相似三角形对应边成比例，$FO:EO=AF:CE=\frac{1}{4}AB:\frac{3}{4}AB=\frac{1}{3}$。

4[2025浙江温州质检]如图,小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF,然后小龙在矩形FECD的一组对边EF,CD上分别取中点M,N,从而分割出矩形FMND和矩形MECN,最后小马把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND.若矩形GHND与矩形ABCD相似,则矩形ABCD的宽与长的比$\frac{AB}{AD}=$.

解：设矩形ABCD的宽$AB=b$，长$AD=a$，令$k=\frac{AB}{AD}=\frac{b}{a}$。
1. 由正方形$ABEF$得$AF=AB=b$，因此$FD=AD-AF=a-b$。
2. 因为$M$是$EF$中点，$N$是$CD$中点，所以$FM=\frac{1}{2}EF=\frac{b}{2}$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{b}{2}$。
3. 矩形$FMND$被对半分割为两个全等矩形，因此矩形$GHND$的水平边长$GD=\frac{1}{2}FD=\frac{a-b}{2}$，竖直边长$DN=\frac{b}{2}$。
4. 因为矩形$GHND$与矩形$ABCD$相似，对应边成比例：
$$\frac{AD}{AB}=\frac{DN}{GD}$ 代入边长得： $$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a-b}{2}}=\frac{b}{a-b}$
整理得：
$$a(a-b)=b^2$ 两边同除以$a^2$，代入$k=\frac{b}{a}$： $$1 - k = k^2$
即$k^2 +k -1=0$，解得正根$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根舍去）。
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

5 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α，∠β的大小和x的值.
再刷一会鸭

解：
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
∴ $∠ A = ∠ E = 118°$，$∠ C = ∠ α$，$∠ B = ∠ F = 78°$，且对应边成比例。
∵ $∠ C = 83°$，
∴ $∠ α = 83°$。
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ β = 360° - ∠ E - ∠ F - ∠ α = 360° - 118° - 78° - 83° = 81°$。
由相似多边形对应边成比例得：$\frac{AB}{EF}=\frac{AD}{EH}$，即$\frac{18}{24}=\frac{21}{x}$，
解得 $x=28$。
综上，$∠ α=83°$，$∠ β=81°$，$x=28$。

6 [2025 浙江温州期末]剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$的面积为$S_1$，图中阴影部分的面积为$S_2$，则$\frac{S_1}{S_2}$的值为（）


A.$2\sqrt{2}$
B.$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$

B

设正八边形的边长为$a$，将正八边形补为大正方形，四个角切去的是全等的等腰直角三角形，其直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，可得补成的大正方形边长为$a + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}a = a+\sqrt{2}a$。
计算正八边形面积：
$S_1=(a+\sqrt{2}a)^2 - 4×\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=(3+2\sqrt{2})a^2 - a^2=(2+2\sqrt{2})a^2$。
分析图形可得阴影部分面积$S_2=2\sqrt{2}a^2$，因此：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{(2+2\sqrt{2})a^2}{2\sqrt{2}a^2}=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。

7 两个相似五边形，一组对应边的长分别为2 cm和3 cm，若它们的面积之和为65 cm²，则较小五边形的面积是 cm².

$\boldsymbol{20}$

解：
∵ 两个相似五边形的一组对应边长分别为2 cm和3 cm，
∴ 这两个相似五边形的相似比为2:3，
∴ 它们的面积比为$2^2:3^2=4:9$。
设较小五边形的面积为$4x\ \mathrm{cm}^2$，则较大五边形的面积为$9x\ \mathrm{cm}^2$，
根据题意列方程：
$4x + 9x = 65$
解得$x=5$
∴ 较小五边形的面积为$4×5=20\ \mathrm{cm}^2$。
最终