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1 如图,在正方形ABDC外侧作等边三角形ABE,连接DE,则∠EDB的度数为 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$22.5°$
D.$30°$
A
）A.$15°$
B.$20°$
C.$22.5°$
D.$30°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先结合已知的正方形和等边三角形的性质推导边的等量关系，得到等腰三角形，再计算出等腰三角形顶角的度数，最后利用三角形内角和定理求出底角∠EDB的度数即可。具体思路：①根据正方形性质得AB=BD，∠ABD=90°；②根据等边三角形性质得AB=BE，∠ABE=60°，由此可得BE=BD，且∠EBD=∠ABE+∠ABD=150°；③△BED为等腰三角形，两个底角相等，结合内角和180°即可算出∠EDB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABDC是正方形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
∴BE=BD，∠EBD=∠ABE+∠ABD=60°+90°=150°，
∴△BED是等腰三角形，∠BED=∠EDB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ EDB=\frac{180°-∠ EBD}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊几何图形性质的综合基础题，解题的关键是找到边的等量关系，构造出等腰三角形，再结合角度和的关系求解，掌握常见特殊图形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的正方形和等边三角形的性质推导边的等量关系，得到等腰三角形，再计算出等腰三角形顶角的度数，最后利用三角形内角和定理求出底角∠EDB的度数即可。具体思路：①根据正方形性质得AB=BD，∠ABD=90°；②根据等边三角形性质得AB=BE，∠ABE=60°，由此可得BE=BD，且∠EBD=∠ABE+∠ABD=150°；③△BED为等腰三角形，两个底角相等，结合内角和180°即可算出∠EDB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABDC是正方形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
∴BE=BD，∠EBD=∠ABE+∠ABD=60°+90°=150°，
∴△BED是等腰三角形，∠BED=∠EDB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ EDB=\frac{180°-∠ EBD}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊几何图形性质的综合基础题，解题的关键是找到边的等量关系，构造出等腰三角形，再结合角度和的关系求解，掌握常见特殊图形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2 [2025沈阳康平期末]如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,连接CE,F是CE的中点,连接BF并延长,交CD边于点G,点H在边AD上,连接GH.已知AB=6,AH=1,则GH的长为
$\sqrt{34}$
.答案
2. $\sqrt{34}$
解析
【分析】
要求GH的长，观察GH位于直角△HDG中，已知∠D是直角，因此只需算出HD和DG的长度，即可用勾股定理求解。首先根据正方形性质得到各边长及AB//CD的关系，结合E是AB中点、F是CE中点的条件，可通过证明△BEF和△GCF全等求出CG的长度，进而得到DG的长度；再根据AH的长度算出HD的长度，最后代入勾股公式即可求出GH。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠D=90°，AB//CD，
∴∠BEF=∠GCF，∠EBF=∠CGF。
∵E是AB的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=3$。
∵F是CE的中点，
∴EF=CF。
在△BEF和△GCF中：
$\{\begin{array}{l}∠BEF=∠GCF \\∠EBF=∠CGF \\EF=CF\end{array} $
∴△BEF≌△GCF（AAS），
∴CG=BE=3，
∴DG=CD - CG=6 - 3=3。
∵AH=1，AD=6，
∴HD=AD - AH=6 - 1=5。
在Rt△HDG中，由勾股定理得：
$GH=\sqrt{HD^2 + DG^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用全等三角形求出CG的长度，将求线段长的问题转化为直角三角形中利用勾股定理计算的问题，难度不大。
【难度系数】
0.7
要求GH的长，观察GH位于直角△HDG中，已知∠D是直角，因此只需算出HD和DG的长度，即可用勾股定理求解。首先根据正方形性质得到各边长及AB//CD的关系，结合E是AB中点、F是CE中点的条件，可通过证明△BEF和△GCF全等求出CG的长度，进而得到DG的长度；再根据AH的长度算出HD的长度，最后代入勾股公式即可求出GH。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠D=90°，AB//CD，
∴∠BEF=∠GCF，∠EBF=∠CGF。
∵E是AB的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=3$。
∵F是CE的中点，
∴EF=CF。
在△BEF和△GCF中：
$\{\begin{array}{l}∠BEF=∠GCF \\∠EBF=∠CGF \\EF=CF\end{array} $
∴△BEF≌△GCF（AAS），
∴CG=BE=3，
∴DG=CD - CG=6 - 3=3。
∵AH=1，AD=6，
∴HD=AD - AH=6 - 1=5。
在Rt△HDG中，由勾股定理得：
$GH=\sqrt{HD^2 + DG^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用全等三角形求出CG的长度，将求线段长的问题转化为直角三角形中利用勾股定理计算的问题，难度不大。
【难度系数】
0.7
3 [2025长沙]如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF,连接CE,AF.
(1) 求证:四边形AECF是平行四边形;
(2) 连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
(1) 求证:四边形AECF是平行四边形;
(2) 连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
答案
3. (1) 在正方形ABCD中,AB=CD,AB//CD,
∵ BE=DF,
∴ AB-BE=CD-DF,即AE=CF.又
∵ AB//CD,
∴ 四边形AECF是平行四边形
(2) 如图,过点E作EH⊥CD于点H,则∠EHC=∠EHF=90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴ AB = BC = CD = AD = 12, ∠B = ∠BCD = 90°.
∴ ∠EHC=∠B=∠BCD=90°.
∴ 四边形EBCH 是矩形.
∴ EH=BC=12,CH=BE=5.
∴ DH=CD-CH=12-5=7.
∵ BE=DF=5,
∴ HF=DH-DF=7-5=2.在Rt△EFH中,由勾股定理,得 $EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用正方形对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF，可推出AE和CF平行且相等，即可完成证明。
(2) 求EF的长度时，EF不在现有直角三角形中，因此通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理求解：过E作CD的垂线，将EF放入直角三角形中，先求解两条直角边的长度，再代入勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，$AB=CD$，$AB// CD$，
$\because BE=DF$，
$\therefore AB-BE=CD-DF$，即$AE=CF$，
又$\because AB// CD$，即$AE// CF$，
$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：如图，过点E作$EH⊥ CD$于点H，则$∠ EHC=∠ EHF=90°$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$BC=12$，
$\therefore AB = BC = CD = AD = 12$，$∠ B = ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ EHC=∠ B=∠ BCD=90°$，
$\therefore$ 四边形EBCH是矩形，
$\therefore EH=BC=12$，$CH=BE=5$，
$\therefore DH=CD-CH=12-5=7$，
$\because BE=DF=5$，
$\therefore HF=DH-DF=7-5=2$。
在$Rt△ EFH$中，由勾股定理，得
$EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，四边形AECF是平行四边形；
(2) $EF=2\sqrt{37}$
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问考察平行四边形的判定，结合正方形性质和线段和差关系即可推导；第二问考察线段长度求解，通过作垂直构造直角三角形是求线段长的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用正方形对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF，可推出AE和CF平行且相等，即可完成证明。
(2) 求EF的长度时，EF不在现有直角三角形中，因此通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理求解：过E作CD的垂线，将EF放入直角三角形中，先求解两条直角边的长度，再代入勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，$AB=CD$，$AB// CD$，
$\because BE=DF$，
$\therefore AB-BE=CD-DF$，即$AE=CF$，
又$\because AB// CD$，即$AE// CF$，
$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：如图，过点E作$EH⊥ CD$于点H，则$∠ EHC=∠ EHF=90°$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$BC=12$，
$\therefore AB = BC = CD = AD = 12$，$∠ B = ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ EHC=∠ B=∠ BCD=90°$，
$\therefore$ 四边形EBCH是矩形，
$\therefore EH=BC=12$，$CH=BE=5$，
$\therefore DH=CD-CH=12-5=7$，
$\because BE=DF=5$，
$\therefore HF=DH-DF=7-5=2$。
在$Rt△ EFH$中，由勾股定理，得
$EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，四边形AECF是平行四边形；
(2) $EF=2\sqrt{37}$
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问考察平行四边形的判定，结合正方形性质和线段和差关系即可推导；第二问考察线段长度求解，通过作垂直构造直角三角形是求线段长的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
4 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O。有下列结论：① $AB=BC=CD=AD$；② $AO=BO=CO=DO$；③ $AC ⊥ BD$。其中，正确的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们只需结合正方形的基本性质，对三个结论逐一验证即可。首先回忆正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，兼具菱形和矩形的特征，边的层面四条边长度相等；对角线层面互相垂直、互相平分且长度相等，我们对应性质判断每个结论是否成立即可。
【解析】
解：根据正方形的性质逐一分析三个结论：
① 正方形的四条边相等，因此$AB=BC=CD=AD$，该结论正确；
② 正方形的对角线相等且互相平分，因此$AC=BD$，且交点$O$平分两条对角线，即$AO=CO=\frac{1}{2}AC$，$BO=DO=\frac{1}{2}BD$，可推得$AO=BO=CO=DO$，该结论正确；
③ 正方形的对角线互相垂直，因此$AC ⊥ BD$，该结论正确。
综上，3个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正方形基本性质的识记与简单应用，只要熟练掌握正方形边和对角线的相关特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们只需结合正方形的基本性质，对三个结论逐一验证即可。首先回忆正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，兼具菱形和矩形的特征，边的层面四条边长度相等；对角线层面互相垂直、互相平分且长度相等，我们对应性质判断每个结论是否成立即可。
【解析】
解：根据正方形的性质逐一分析三个结论：
① 正方形的四条边相等，因此$AB=BC=CD=AD$，该结论正确；
② 正方形的对角线相等且互相平分，因此$AC=BD$，且交点$O$平分两条对角线，即$AO=CO=\frac{1}{2}AC$，$BO=DO=\frac{1}{2}BD$，可推得$AO=BO=CO=DO$，该结论正确；
③ 正方形的对角线互相垂直，因此$AC ⊥ BD$，该结论正确。
综上，3个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正方形基本性质的识记与简单应用，只要熟练掌握正方形边和对角线的相关特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
5 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP=OB，则∠COP的度数为
$22.5°$
。答案
5. $22.5°$
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用正方形对角线的性质，得到对角线夹角、底角的度数以及边的关系；再结合已知BP=OB，判断△OBP为等腰三角形，利用等腰三角形内角和定理算出∠BOP的度数；最后通过∠BOC与∠BOP的差求出∠COP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC与BD互相垂直，且BD平分∠ABC，
∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，
又
∵BP=OB，
∴△OBP是等腰三角形，
∴∠BOP=∠BPO=$\frac{180°-∠OBC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴∠COP=∠BOC - ∠BOP=90° - 67.5°=22.5°。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；角度的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将正方形的性质和等腰三角形的角度计算结合，解题的关键是准确提取正方形对角线的隐含条件，找到角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用正方形对角线的性质，得到对角线夹角、底角的度数以及边的关系；再结合已知BP=OB，判断△OBP为等腰三角形，利用等腰三角形内角和定理算出∠BOP的度数；最后通过∠BOC与∠BOP的差求出∠COP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC与BD互相垂直，且BD平分∠ABC，
∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，
又
∵BP=OB，
∴△OBP是等腰三角形，
∴∠BOP=∠BPO=$\frac{180°-∠OBC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴∠COP=∠BOC - ∠BOP=90° - 67.5°=22.5°。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；角度的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将正方形的性质和等腰三角形的角度计算结合，解题的关键是准确提取正方形对角线的隐含条件，找到角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6 如图，E，F 是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF.
（1）请判断四边形AECF的形状，并证明；
（2）若$AB＝3\sqrt{2}$，BE＝2，求四边形AECF的周长.
（1）请判断四边形AECF的形状，并证明；
（2）若$AB＝3\sqrt{2}$，BE＝2，求四边形AECF的周长.
答案
6. (1) 四边形AECF是菱形 如图,连接AC,交BD于点O.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
∵ BE=DF,
∴ OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
∴ 四边形AECF是平行四边形.
∵ AC⊥EF,
∴ 四边形AECF是菱形
(2) 由(1),知四边形AECF是菱形.
∵ 四边形ABCD是正方形,$AB=3\sqrt{2}$,
∴ 易得AC=BD=6,OA=OB=3.
∵ BE=DF=2,
∴ EF=BD-BE-DF=2.
∴ OE=OF=1.
∵ AC⊥EF,
∴ ∠AOE=90°.
∴ $AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
∴ 四边形AECF的周长=$4AE=4\sqrt{10}$
解析
【分析】
（1）要判断四边形AECF的形状，可利用正方形对角线的性质推导：首先正方形对角线互相垂直且平分，因此优先添加辅助线连接AC交BD于点O，可得AO=CO、BO=DO且AC⊥BD；结合已知BE=DF可推出OE=OF，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证得四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定其形状。
（2）要求菱形AECF的周长，只需先求出1条边长再乘4即可：先根据正方形边长求出对角线AC、BD的长度，得到OA、OB的长度，再结合BE的长度求出OE的长度，最后在直角三角形AOE中用勾股定理求出AE的长度，即可计算周长。
【解析】
(1) 四边形AECF是菱形，证明如下：
如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AO=CO，DO=BO。
∵ BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF，即OE=OF。
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 由(1)知四边形AECF是菱形。
∵ 四边形ABCD是正方形，$AB=3\sqrt{2}$，
∴ 易得对角线$AC=BD=6$，因此OA=OB=3。
∵ BE=DF=2，
∴ $EF=BD-BE-DF=6-2-2=2$，
∴ OE=OF=1。
∵ AC⊥EF，
∴ ∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∴ 四边形AECF的周长=$4AE=4\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形AECF是菱形，证明见上述解析；
(2) 四边形AECF的周长为$4\sqrt{10}$。
【知识点】
正方形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质与判定，通过连接对角线的常用辅助线，快速建立已知条件和所求结论的关联，计算难度较低，掌握基础几何性质即可完成解答。
【难度系数】
0.7
（1）要判断四边形AECF的形状，可利用正方形对角线的性质推导：首先正方形对角线互相垂直且平分，因此优先添加辅助线连接AC交BD于点O，可得AO=CO、BO=DO且AC⊥BD；结合已知BE=DF可推出OE=OF，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证得四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定其形状。
（2）要求菱形AECF的周长，只需先求出1条边长再乘4即可：先根据正方形边长求出对角线AC、BD的长度，得到OA、OB的长度，再结合BE的长度求出OE的长度，最后在直角三角形AOE中用勾股定理求出AE的长度，即可计算周长。
【解析】
(1) 四边形AECF是菱形，证明如下：
如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AO=CO，DO=BO。
∵ BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF，即OE=OF。
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 由(1)知四边形AECF是菱形。
∵ 四边形ABCD是正方形，$AB=3\sqrt{2}$，
∴ 易得对角线$AC=BD=6$，因此OA=OB=3。
∵ BE=DF=2，
∴ $EF=BD-BE-DF=6-2-2=2$，
∴ OE=OF=1。
∵ AC⊥EF，
∴ ∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∴ 四边形AECF的周长=$4AE=4\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形AECF是菱形，证明见上述解析；
(2) 四边形AECF的周长为$4\sqrt{10}$。
【知识点】
正方形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质与判定，通过连接对角线的常用辅助线，快速建立已知条件和所求结论的关联，计算难度较低，掌握基础几何性质即可完成解答。
【难度系数】
0.7
