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1[2025陕西西安长安区期中,中]小英的爸爸用某电信公司的套餐月租为58元,包含100 GB通用流量和国内拨打电话200分钟,其中通用流量他每月都用不完,超出套餐部分国内拨打电话0.19元/分(不足1分钟按1分钟收费).
(1)他上个月拨打电话的时间为225分钟,求他上个月支付的费用是多少元.
(2)设他某月拨打电话的时间为$x(x＞200)$分钟,支付费用为$y$元,求$y$与$x$之间的关系式.
(3)若他某月业务多,该月支付的费用为86.5元,求他该月拨打电话的时间是多少分钟.
(1)他上个月拨打电话的时间为225分钟,求他上个月支付的费用是多少元.
(2)设他某月拨打电话的时间为$x(x＞200)$分钟,支付费用为$y$元,求$y$与$x$之间的关系式.
(3)若他某月业务多,该月支付的费用为86.5元,求他该月拨打电话的时间是多少分钟.
答案
(1)根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”,得 58 + 0.19×(225-200)= 62.75(元),所以他上个月支付的费用是 62.75 元.
(2)根据题意得 y = 58 + 0. 19 ( x - 200 ) = 0. 19x+20,所以 y 与 x 之间的关系式为 y = 0. 19x+20(x＞200).
(3)因为 86. 5＞58,所以 x＞200,所以 0. 19x+20=86. 5,解得 x = 350,所以他该月拨打电话的时间是 350 分钟.
(2)根据题意得 y = 58 + 0. 19 ( x - 200 ) = 0. 19x+20,所以 y 与 x 之间的关系式为 y = 0. 19x+20(x＞200).
(3)因为 86. 5＞58,所以 x＞200,所以 0. 19x+20=86. 5,解得 x = 350,所以他该月拨打电话的时间是 350 分钟.
解析
【分析】
解题前首先明确套餐计费规则：月租58元包含200分钟通话，超出部分按0.19元/分钟收费，流量无需额外付费。
(1) 先判断225分钟超过套餐包含的200分钟，总费用=月租+超出时长×超出部分单价，先算超出时长，再计算额外话费，加月租即可得总费用。
(2) 当x＞200时，沿用第一问的计费逻辑，把具体通话时长替换为变量x，列出费用y的表达式后化简为标准一次函数形式，同时标注自变量取值范围。
(3) 先对比支付费用和月租的大小，判断通话时长超过200分钟，将y=86.5代入第二问得到的函数关系式，解一元一次方程即可得到通话时长。
【解析】
(1) 超出套餐的通话时长：$225-200=25$（分钟）
超出部分的费用：$25×0.19=4.75$（元）
总费用：$58+4.75=62.75$（元）
(2) 当$x＞200$时，超出套餐的通话时长为$(x-200)$分钟，超出部分费用为$0.19(x-200)$元，因此总费用：
$y=58+0.19(x-200)$
化简得：$y=0.19x+20\quad(x＞200)$
(3) 因为$86.5＞58$，所以当月通话时长$x＞200$，将$y=86.5$代入$y=0.19x+20$得：
$0.19x+20=86.5$
移项计算得：$0.19x=66.5$
解得：$x=350$
【答案】
(1) 62.75元；(2) $y=0.19x+20(x＞200)$；(3) 350分钟
【知识点】
分段计费问题，一次函数建模，一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活实际的典型分段计费应用题，解题核心是明确不同区间的计费规则，先判断所属计费区间再对应列式计算，既考察了从实际问题中抽象函数关系的建模能力，也考察了基础运算能力，是分段计费类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确套餐计费规则：月租58元包含200分钟通话，超出部分按0.19元/分钟收费，流量无需额外付费。
(1) 先判断225分钟超过套餐包含的200分钟，总费用=月租+超出时长×超出部分单价，先算超出时长，再计算额外话费，加月租即可得总费用。
(2) 当x＞200时，沿用第一问的计费逻辑，把具体通话时长替换为变量x，列出费用y的表达式后化简为标准一次函数形式，同时标注自变量取值范围。
(3) 先对比支付费用和月租的大小，判断通话时长超过200分钟，将y=86.5代入第二问得到的函数关系式，解一元一次方程即可得到通话时长。
【解析】
(1) 超出套餐的通话时长：$225-200=25$（分钟）
超出部分的费用：$25×0.19=4.75$（元）
总费用：$58+4.75=62.75$（元）
(2) 当$x＞200$时，超出套餐的通话时长为$(x-200)$分钟，超出部分费用为$0.19(x-200)$元，因此总费用：
$y=58+0.19(x-200)$
化简得：$y=0.19x+20\quad(x＞200)$
(3) 因为$86.5＞58$，所以当月通话时长$x＞200$，将$y=86.5$代入$y=0.19x+20$得：
$0.19x+20=86.5$
移项计算得：$0.19x=66.5$
解得：$x=350$
【答案】
(1) 62.75元；(2) $y=0.19x+20(x＞200)$；(3) 350分钟
【知识点】
分段计费问题，一次函数建模，一元一次方程求解
【点评】
本题是结合生活实际的典型分段计费应用题，解题核心是明确不同区间的计费规则，先判断所属计费区间再对应列式计算，既考察了从实际问题中抽象函数关系的建模能力，也考察了基础运算能力，是分段计费类的基础题型。
【难度系数】
0.7
2[2026山西朔州质检,中]年度终了后,居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额,进行年度汇算,依法纳税.下表是2025年我国现行个人所得税税率表(1-4级部分).
个人所得税税率表(综合所得适用)
计算公式:应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率-速算扣除数.
设个人全年应纳税所得额为x元,应纳税额为y元.
(1)若张师傅纳税适用级数为2级,请写出y关于x的函数表达式.
(2)已知李师傅纳税2 575.71元,他全年应纳税所得额是多少元?
个人所得税税率表(综合所得适用)
计算公式:应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率-速算扣除数.
设个人全年应纳税所得额为x元,应纳税额为y元.
(1)若张师傅纳税适用级数为2级,请写出y关于x的函数表达式.
(2)已知李师傅纳税2 575.71元,他全年应纳税所得额是多少元?
答案
(1)y=10%x-2 520=0. 1x-2 520,所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=0. 1x-2 520(36 000＜x≤144 000).
(2)1 级的最高应纳税额为 36 000×3% = 1 080(元),因为 2 575. 71＞1 080,所以李师傅纳税适用级数不是 1 级. 2 级的最高应纳税额为 144 000×10% - 2 520 = 11 880(元),因为 1 080＜2 575. 71＜11 880,所以李师傅纳税适用级数是 2 级. 由(1)得,0. 1x-2 520=2 575. 71,解得 x = 50 957. 1.
答:他全年应纳税所得额是 50 957. 1 元.
(2)1 级的最高应纳税额为 36 000×3% = 1 080(元),因为 2 575. 71＞1 080,所以李师傅纳税适用级数不是 1 级. 2 级的最高应纳税额为 144 000×10% - 2 520 = 11 880(元),因为 1 080＜2 575. 71＜11 880,所以李师傅纳税适用级数是 2 级. 由(1)得,0. 1x-2 520=2 575. 71,解得 x = 50 957. 1.
答:他全年应纳税所得额是 50 957. 1 元.
解析
【分析】
(1) 第一问需先明确级数2级对应的全年应纳税所得额x的取值范围，以及对应的税率、速算扣除数，直接套用题目给出的应纳税额计算公式，即可写出y关于x的函数表达式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 第二问需先计算各级数的最高应纳税额，通过对比李师傅的纳税额，判断其适用的税率级数，再代入对应级别的函数表达式，解一元一次方程即可求出全年应纳税所得额。
【解析】
(1) 已知张师傅纳税适用级数为2级，此时全年应纳税所得额x的范围是36000＜x≤144000，对应税率为10%，速算扣除数为2520。
根据应纳税额计算公式：应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率-速算扣除数，可得：
y=10%x - 2520=0.1x - 2520
因此y关于x的函数表达式为y=0.1x - 2520（36000＜x≤144000）。
(2) 先计算1级最高应纳税额：当x=36000时，应纳税额=36000×3%=1080元。
因为2575.71＞1080，所以李师傅纳税不适用1级税率。
再计算2级最高应纳税额：当x=144000时，应纳税额=144000×10% - 2520=11880元。
因为1080＜2575.71＜11880，所以李师傅纳税适用2级税率，代入(1)中的函数表达式得：
0.1x - 2520=2575.71
移项计算得0.1x=5095.71，解得x=50957.1。
【答案】
(1) y=0.1x-2520（36000＜x≤144000）
(2) 50957.1元
【知识点】
一次函数的应用，分段计费问题，一元一次方程求解
【点评】
本题结合个人所得税年度汇算的生活场景命题，考查分段函数的实际应用，解题关键是先根据纳税额判断对应的税率级数，再代入公式计算，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需先明确级数2级对应的全年应纳税所得额x的取值范围，以及对应的税率、速算扣除数，直接套用题目给出的应纳税额计算公式，即可写出y关于x的函数表达式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 第二问需先计算各级数的最高应纳税额，通过对比李师傅的纳税额，判断其适用的税率级数，再代入对应级别的函数表达式，解一元一次方程即可求出全年应纳税所得额。
【解析】
(1) 已知张师傅纳税适用级数为2级，此时全年应纳税所得额x的范围是36000＜x≤144000，对应税率为10%，速算扣除数为2520。
根据应纳税额计算公式：应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率-速算扣除数，可得：
y=10%x - 2520=0.1x - 2520
因此y关于x的函数表达式为y=0.1x - 2520（36000＜x≤144000）。
(2) 先计算1级最高应纳税额：当x=36000时，应纳税额=36000×3%=1080元。
因为2575.71＞1080，所以李师傅纳税不适用1级税率。
再计算2级最高应纳税额：当x=144000时，应纳税额=144000×10% - 2520=11880元。
因为1080＜2575.71＜11880，所以李师傅纳税适用2级税率，代入(1)中的函数表达式得：
0.1x - 2520=2575.71
移项计算得0.1x=5095.71，解得x=50957.1。
【答案】
(1) y=0.1x-2520（36000＜x≤144000）
(2) 50957.1元
【知识点】
一次函数的应用，分段计费问题，一元一次方程求解
【点评】
本题结合个人所得税年度汇算的生活场景命题，考查分段函数的实际应用，解题关键是先根据纳税额判断对应的税率级数，再代入公式计算，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3[2025广东佛山期中,中]周末,小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩.已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元.为满足游客需求,该杨梅园现推出两种不同的销售方案:
甲方案:游客进园需购买门票,门票单价为10元/人,采摘的杨梅按原价的六折收费;
乙方案:游客进园不需要购买门票,采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费,超过10千克后,超过部分按原价的五折收费.
设采摘量为x千克,按甲方案所需总费用为$y_1$元,按乙方案所需总费用为$y_2$元.
(1)当采摘量超过10千克时,分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数关系式.
(2)当采摘多少千克时,两种方案的价格相同?
(3)若采摘量为30千克,选择哪种方案更划算?请说明理由.
甲方案:游客进园需购买门票,门票单价为10元/人,采摘的杨梅按原价的六折收费;
乙方案:游客进园不需要购买门票,采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费,超过10千克后,超过部分按原价的五折收费.
设采摘量为x千克,按甲方案所需总费用为$y_1$元,按乙方案所需总费用为$y_2$元.
(1)当采摘量超过10千克时,分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数关系式.
(2)当采摘多少千克时,两种方案的价格相同?
(3)若采摘量为30千克,选择哪种方案更划算?请说明理由.
答案
(1)当采摘量超过 10 千克时,x＞10,根据题意,得 $y_1=3×10+40×0.6x=24x+30$,
$y_2=40×10+40×0.5(x-10)=20x+200$.
(2)当 x＞10 时,令 $y_1=y_2$,则 24x+30 = 20x+200,解得 x = 42. 5. 当 0＜x≤10 时,$y_1=24x+30$,$y_2=40x$. 令 $y_1=y_2$,则 24x+30 = 40x,解得 x = 1. 875. 综上,当采摘 42. 5 千克或 1. 875 千克时,两种方案的价格相同.
(3)选择甲方案更划算. 理由如下:当 x = 30 时,$y_1=24×30+30=750$,$y_2=20×30+200=800$. 因为 750＜800,所以选择甲方案更划算.
$y_2=40×10+40×0.5(x-10)=20x+200$.
(2)当 x＞10 时,令 $y_1=y_2$,则 24x+30 = 20x+200,解得 x = 42. 5. 当 0＜x≤10 时,$y_1=24x+30$,$y_2=40x$. 令 $y_1=y_2$,则 24x+30 = 40x,解得 x = 1. 875. 综上,当采摘 42. 5 千克或 1. 875 千克时,两种方案的价格相同.
(3)选择甲方案更划算. 理由如下:当 x = 30 时,$y_1=24×30+30=750$,$y_2=20×30+200=800$. 因为 750＜800,所以选择甲方案更划算.
解析
【分析】
（1）求x＞10时的函数关系式，先明确甲方案总费用=3人门票费用+打折后的杨梅费用，乙方案总费用=10千克原价杨梅费用+超过10千克部分的打折杨梅费用，分别整理对应量即可得到关系式；（2）求两种方案价格相同的采摘量，因为乙方案是分段计费，所以需要分0＜x≤10和x＞10两种情况，分别令y₁=y₂，列一元一次方程求解；（3）判断30千克选哪个方案划算，只需将x=30分别代入两个对应函数求出总费用，比较费用大小，费用低的更划算。
【解析】
(1) 当采摘量超过10千克即x＞10时：
甲方案：门票总费用为$3×10=30$元，采摘的杨梅单价为$40×0.6=24$元/千克，因此总费用$y_1=30 + 24x$，即$y_1=24x+30$；
乙方案：前10千克杨梅费用为$40×10=400$元，超过10千克的部分为$(x-10)$千克，单价为$40×0.5=20$元/千克，因此总费用$y_2=400 + 20(x-10)$，整理得$y_2=20x+200$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，$y_1=24x+30$，$y_2=40x$，令$y_1=y_2$，得：
$24x+30=40x$
解得$x=1.875$，符合$0＜x≤10$的范围；
② 当$x＞10$时，令$y_1=y_2$，得：
$24x+30=20x+200$
解得$x=42.5$，符合$x＞10$的范围。
(3) 当采摘量$x=30$千克时，分别计算两种方案的费用：
代入$y_1=24x+30$，得$y_1=24×30 + 30=750$元；
代入$y_2=20x+200$，得$y_2=20×30 + 200=800$元；
因为$750＜800$，所以甲方案费用更低。
【答案】
(1) $y_1=24x+30(x＞10)$，$y_2=20x+200(x＞10)$；
(2) 采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案价格相同；
(3) 选择甲方案更划算。
【知识点】
一次函数实际应用，分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活消费场景，考查分段计费问题的处理方法，解题时需注意不同计费区间的对应规则，分类讨论时不要遗漏取值范围，计算过程仔细即可顺利求解，能有效提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）求x＞10时的函数关系式，先明确甲方案总费用=3人门票费用+打折后的杨梅费用，乙方案总费用=10千克原价杨梅费用+超过10千克部分的打折杨梅费用，分别整理对应量即可得到关系式；（2）求两种方案价格相同的采摘量，因为乙方案是分段计费，所以需要分0＜x≤10和x＞10两种情况，分别令y₁=y₂，列一元一次方程求解；（3）判断30千克选哪个方案划算，只需将x=30分别代入两个对应函数求出总费用，比较费用大小，费用低的更划算。
【解析】
(1) 当采摘量超过10千克即x＞10时：
甲方案：门票总费用为$3×10=30$元，采摘的杨梅单价为$40×0.6=24$元/千克，因此总费用$y_1=30 + 24x$，即$y_1=24x+30$；
乙方案：前10千克杨梅费用为$40×10=400$元，超过10千克的部分为$(x-10)$千克，单价为$40×0.5=20$元/千克，因此总费用$y_2=400 + 20(x-10)$，整理得$y_2=20x+200$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，$y_1=24x+30$，$y_2=40x$，令$y_1=y_2$，得：
$24x+30=40x$
解得$x=1.875$，符合$0＜x≤10$的范围；
② 当$x＞10$时，令$y_1=y_2$，得：
$24x+30=20x+200$
解得$x=42.5$，符合$x＞10$的范围。
(3) 当采摘量$x=30$千克时，分别计算两种方案的费用：
代入$y_1=24x+30$，得$y_1=24×30 + 30=750$元；
代入$y_2=20x+200$，得$y_2=20×30 + 200=800$元；
因为$750＜800$，所以甲方案费用更低。
【答案】
(1) $y_1=24x+30(x＞10)$，$y_2=20x+200(x＞10)$；
(2) 采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案价格相同；
(3) 选择甲方案更划算。
【知识点】
一次函数实际应用，分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活消费场景，考查分段计费问题的处理方法，解题时需注意不同计费区间的对应规则，分类讨论时不要遗漏取值范围，计算过程仔细即可顺利求解，能有效提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
4[2025湖南郴州期末,较难]某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费,具体见下表.
设行驶路程为$x$ km时,白天收费$y_1$元,夜间收费$y_2$元,根据表中信息,完成下列各题:
(1)当$2＜x≤10$时,求$y_1$与$x$之间的函数关系式.
(2)若幸福小区到阳光小区的路程为12 km,小明从幸福小区乘出租车去阳光小区,白天收费比夜间收费少多少元？
设行驶路程为$x$ km时,白天收费$y_1$元,夜间收费$y_2$元,根据表中信息,完成下列各题:
(1)当$2＜x≤10$时,求$y_1$与$x$之间的函数关系式.
(2)若幸福小区到阳光小区的路程为12 km,小明从幸福小区乘出租车去阳光小区,白天收费比夜间收费少多少元？
答案
(1)当 2＜x≤10 时,$y_1=2(x-2)+6=2x+2$.
(2)由题可知,当 x＞10 时,白天收费 $y_1=6+2×(10-2)+3×(x-10)=3x-8$,夜间收费 $y_2=7+2.4×(10-2)+3.6(x-10)=3.6x-9.8$. 当 x = 12 时,$y_1=3×12-8=28$,$y_2=3.6×12-9.8=33.4$,所以白天收费比夜间收费少 33. 4-28 = 5. 4(元).
(2)由题可知,当 x＞10 时,白天收费 $y_1=6+2×(10-2)+3×(x-10)=3x-8$,夜间收费 $y_2=7+2.4×(10-2)+3.6(x-10)=3.6x-9.8$. 当 x = 12 时,$y_1=3×12-8=28$,$y_2=3.6×12-9.8=33.4$,所以白天收费比夜间收费少 33. 4-28 = 5. 4(元).
解析
【分析】
（1）当2＜x≤10时，白天打车费用由两部分组成：前2km的起步价6元，以及超过2km部分的费用。超过2km的路程为(x-2)km，这部分按2元/km收费，将两部分费用相加整理即可得到函数关系式。
（2）路程12km超过10km，因此白天和夜间的费用都需要分三段计算：不超过2km的起步价部分、2km到10km的部分、超过10km的部分。分别计算出12km时白天和夜间的收费，再求差值即可。
【解析】
(1) 当2＜x≤10时，白天收费包含起步价6元，以及超出2km部分的费用：
$y_1=6+2(x-2)$
化简得：$y_1=2x+2$
(2) 当行驶路程为12km（$x=12＞10$）时：
白天收费：前2km6元，2~10km共$10-2=8$km，费用为$2×8=16$元，超出10km的部分为$12-10=2$km，费用为$3×2=6$元，总费用$y_1=6+16+6=28$元；
夜间收费：前2km7元，2~10km共8km，费用为$2.4×8=19.2$元，超出10km的2km费用为$3.6×2=7.2$元，总费用$y_2=7+19.2+7.2=33.4$元；
白天比夜间少收费：$33.4-28=5.4$元。
【答案】
(1) $y_1=2x+2\quad(2＜x≤10)$
(2) 5.4元
【知识点】
分段计费问题；一次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是先判断行驶路程属于哪一个收费区间，再按照对应区间的收费标准分阶段计算费用，计算时注意不要混淆白天和夜间的收费单价，避免出错。
【难度系数】
0.6
（1）当2＜x≤10时，白天打车费用由两部分组成：前2km的起步价6元，以及超过2km部分的费用。超过2km的路程为(x-2)km，这部分按2元/km收费，将两部分费用相加整理即可得到函数关系式。
（2）路程12km超过10km，因此白天和夜间的费用都需要分三段计算：不超过2km的起步价部分、2km到10km的部分、超过10km的部分。分别计算出12km时白天和夜间的收费，再求差值即可。
【解析】
(1) 当2＜x≤10时，白天收费包含起步价6元，以及超出2km部分的费用：
$y_1=6+2(x-2)$
化简得：$y_1=2x+2$
(2) 当行驶路程为12km（$x=12＞10$）时：
白天收费：前2km6元，2~10km共$10-2=8$km，费用为$2×8=16$元，超出10km的部分为$12-10=2$km，费用为$3×2=6$元，总费用$y_1=6+16+6=28$元；
夜间收费：前2km7元，2~10km共8km，费用为$2.4×8=19.2$元，超出10km的2km费用为$3.6×2=7.2$元，总费用$y_2=7+19.2+7.2=33.4$元；
白天比夜间少收费：$33.4-28=5.4$元。
【答案】
(1) $y_1=2x+2\quad(2＜x≤10)$
(2) 5.4元
【知识点】
分段计费问题；一次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是先判断行驶路程属于哪一个收费区间，再按照对应区间的收费标准分阶段计算费用，计算时注意不要混淆白天和夜间的收费单价，避免出错。
【难度系数】
0.6
