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1[2025 重庆沙坪坝区校级期中,中]已知关于 x, y 的方程组 $\begin{cases}2x+y=3k+2, \\4x-3y=-k+5,\end{cases}$ 若 $x-2y=1$,则 k 的值为 ( )
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
A 【解析】$\begin{cases}2x+y=3k+2 ,①\\4x-3y=-k+5 ,②\end{cases}$ ②-①,得 $2x-4y=-4k+3$,所以 $x-2y=\frac{-4k+3}{2}$. 因为 $x-2y=1$,所以$\frac{-4k+3}{2}=1$,解得 $k=\frac{1}{4}$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先观察已知方程组和给出的条件$x-2y=1$的关系，不需要先单独求解x、y的表达式，通过对比两个方程的系数，发现用第二个方程减去第一个方程，左边可以整理出$x-2y$相关的式子，再利用已知$x-2y=1$整体代入，即可快速建立关于k的一元一次方程求解。如果想不到整体代换，也可以先把k当作常数，解出用k表示的x、y，再代入$x-2y=1$求解，不过整体代换更简便。
【解析】
将方程组标序：
$\begin{cases}2x+y=3k+2 ,①\\4x-3y=-k+5 ,②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(4x-3y)-(2x+y)=(-k+5)-(3k+2)$
去括号合并同类项得：$2x-4y=-4k+3$
等式两边同时除以2，得：$x-2y=\frac{-4k+3}{2}$
已知$x-2y=1$，代入上式可得：
$\frac{-4k+3}{2}=1$
两边同乘2得：$-4k+3=2$
移项解得：$k=\frac{1}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组含参求解；整体代入法；一元一次方程解法
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型题型，既可以用常规的先求参数表示的未知数解再代入的方法求解，也可以通过观察代数式的结构用整体代换的方法快速计算，能很好地考察学生的观察能力和整体思想的运用能力，掌握整体代换可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察已知方程组和给出的条件$x-2y=1$的关系，不需要先单独求解x、y的表达式，通过对比两个方程的系数，发现用第二个方程减去第一个方程，左边可以整理出$x-2y$相关的式子，再利用已知$x-2y=1$整体代入，即可快速建立关于k的一元一次方程求解。如果想不到整体代换，也可以先把k当作常数，解出用k表示的x、y，再代入$x-2y=1$求解，不过整体代换更简便。
【解析】
将方程组标序：
$\begin{cases}2x+y=3k+2 ,①\\4x-3y=-k+5 ,②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(4x-3y)-(2x+y)=(-k+5)-(3k+2)$
去括号合并同类项得：$2x-4y=-4k+3$
等式两边同时除以2，得：$x-2y=\frac{-4k+3}{2}$
已知$x-2y=1$，代入上式可得：
$\frac{-4k+3}{2}=1$
两边同乘2得：$-4k+3=2$
移项解得：$k=\frac{1}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组含参求解；整体代入法；一元一次方程解法
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型题型，既可以用常规的先求参数表示的未知数解再代入的方法求解，也可以通过观察代数式的结构用整体代换的方法快速计算，能很好地考察学生的观察能力和整体思想的运用能力，掌握整体代换可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
2[2025 四川资阳期末,中]已知关于a,b的方程组$\begin{cases}a - b = 6, \\ 2a + b = m\end{cases}$中，a，b互为相反数，则m= ______
答案
3 【解析】由题意得$\begin{cases}a-b=6 ,①\\a+b=0 ,②\end{cases}$ ①+②,得2a=6,解得 a=3,把 a=3 代入①中,得 3-b=6,解得 b=-3,把 a=3,b=-3 代入方程 2a+b=m中,得 2×3+(-3)=m,解得 m=3. 故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“a，b互为相反数”的条件，根据相反数的性质可得到隐藏方程a+b=0。先将这个方程和已知的a-b=6联立，用加减消元法解出a、b的具体值，再把a、b代入含参数m的方程2a+b=m中，即可求出m的数值。
【解析】
由a、b互为相反数，可得：$a + b = 0$ ②
联立已知方程$a - b = 6$ ①，得到方程组：
$\begin{cases}a - b = 6 ① \\ a + b = 0 ② \end{cases}$
①+②，得：$2a = 6$，解得$a = 3$
把$a = 3$代入①式，得：$3 - b = 6$，解得$b = -3$
将$a=3$，$b=-3$代入$2a + b = m$，得：
$m = 2×3 + (-3) = 3$
【答案】
3
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入求参数
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的基础题型，解题的突破口是利用相反数的性质挖掘出隐藏的等量关系，联立求解后代入即可得到参数值，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干中“a，b互为相反数”的条件，根据相反数的性质可得到隐藏方程a+b=0。先将这个方程和已知的a-b=6联立，用加减消元法解出a、b的具体值，再把a、b代入含参数m的方程2a+b=m中，即可求出m的数值。
【解析】
由a、b互为相反数，可得：$a + b = 0$ ②
联立已知方程$a - b = 6$ ①，得到方程组：
$\begin{cases}a - b = 6 ① \\ a + b = 0 ② \end{cases}$
①+②，得：$2a = 6$，解得$a = 3$
把$a = 3$代入①式，得：$3 - b = 6$，解得$b = -3$
将$a=3$，$b=-3$代入$2a + b = m$，得：
$m = 2×3 + (-3) = 3$
【答案】
3
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入求参数
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的基础题型，解题的突破口是利用相反数的性质挖掘出隐藏的等量关系，联立求解后代入即可得到参数值，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3[2025浙江温州质检,中]若关于$x,y$的两个方程组$\begin{cases}2x - y = b, \\x - y = a\end{cases}$与$\begin{cases}3x - 2y = b + 1, \\3y - 5x = a - 8\end{cases}$有相同的解，则$(a,b)$在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A 【解析】方程组$\begin{cases}2x-y=b ,①\\x-y=a ,②\end{cases}$ ①+②得 3x-2y=a+b. 因为 3x-2y=b+1,所以 a+b=b+1,解得 a=1,所以 x-y=1,即 x=1+y. 因为 3y-5x=a-8,所以 3y-5(1+y)=-7,解得 y=1,所以x=1+1=2. 因为 2x-y=b,所以 b=4-1=3,所以点(a,b)即(1,3)在第一象限. 故选 A.
解析
【分析】
首先明确两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先利用第一个方程组的两个方程消元得到$3x-2y$的表达式，结合第二个方程组中$3x-2y=b+1$的条件先求出参数$a$的值；再把$a$的值代入相关方程，用代入消元法求出$y$、$x$的值，最后代入第一个方程求出$b$的值，得到$(a,b)$的坐标后判断所在象限即可。
【解析】
已知两个方程组有相同的解，先看第一个方程组：
$\begin{cases}2x-y=b \quad ①\\x-y=a \quad ②\end{cases}$
将①+②，可得：$3x-2y=a+b$
又因为第二个方程组中$3x-2y=b+1$，所以$a+b=b+1$，化简得$a=1$。
把$a=1$代入②式，得$x-y=1$，变形为$x=1+y$；同时第二个方程组中$3y-5x=a-8$，代入$a=1$和$x=1+y$可得：
$3y-5(1+y)=1-8$
展开计算：$3y-5-5y=-7$
合并同类项：$-2y=-2$，解得$y=1$。
把$y=1$代入$x=1+y$，得$x=2$。
再把$x=2$，$y=1$代入①式$2x-y=b$，得$b=2×2 -1=3$。
所以点$(a,b)$为$(1,3)$，横坐标、纵坐标均为正数，因此在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组同解问题
2. 代入消元法
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是二元一次方程组含参的典型题型，核心是抓住“同解”的性质，即公共解满足所有方程，通过方程之间的等量关系先求出其中一个参数，再逐步推导剩余未知量，整体逻辑清晰，对学生理解同解含义和消元法的应用有较好的考查作用。
【难度系数】
0.65
首先明确两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先利用第一个方程组的两个方程消元得到$3x-2y$的表达式，结合第二个方程组中$3x-2y=b+1$的条件先求出参数$a$的值；再把$a$的值代入相关方程，用代入消元法求出$y$、$x$的值，最后代入第一个方程求出$b$的值，得到$(a,b)$的坐标后判断所在象限即可。
【解析】
已知两个方程组有相同的解，先看第一个方程组：
$\begin{cases}2x-y=b \quad ①\\x-y=a \quad ②\end{cases}$
将①+②，可得：$3x-2y=a+b$
又因为第二个方程组中$3x-2y=b+1$，所以$a+b=b+1$，化简得$a=1$。
把$a=1$代入②式，得$x-y=1$，变形为$x=1+y$；同时第二个方程组中$3y-5x=a-8$，代入$a=1$和$x=1+y$可得：
$3y-5(1+y)=1-8$
展开计算：$3y-5-5y=-7$
合并同类项：$-2y=-2$，解得$y=1$。
把$y=1$代入$x=1+y$，得$x=2$。
再把$x=2$，$y=1$代入①式$2x-y=b$，得$b=2×2 -1=3$。
所以点$(a,b)$为$(1,3)$，横坐标、纵坐标均为正数，因此在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组同解问题
2. 代入消元法
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是二元一次方程组含参的典型题型，核心是抓住“同解”的性质，即公共解满足所有方程，通过方程之间的等量关系先求出其中一个参数，再逐步推导剩余未知量，整体逻辑清晰，对学生理解同解含义和消元法的应用有较好的考查作用。
【难度系数】
0.65
4 [2025湖北黄冈质检,中]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=7, \\ mx+ny=5\end{cases}$和方程组$\begin{cases}5x-2y=8, \\ \dfrac{nx}{3}+my=3\end{cases}$的解相同.
(1)求$m,n$的值.
(2)求$3m-2mn+m^2-1$的值.
(1)求$m,n$的值.
(2)求$3m-2mn+m^2-1$的值.
答案
【解】(1) 根据题意得$\begin{cases}2x+3y=7 ,①\\5x-2y=8 ,②\end{cases}$ ①×2 + ②×3,得 19x=38,所以 x=2,把 x=2 代入①,得 4 + 3y = 7,所以 y = 1. 把 $\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$ 代入$\begin{cases}mx+ny=5,\\\dfrac{nx}{3}+my=3,\end{cases}$得$\begin{cases}2m+n=5,\\m+\dfrac{2}{3}n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=3.\end{cases}$
(2)$3m-2mn+m^2-1=3-2×1×3+1-1=3-6+1-1=-3.$
＞思路分析
(1) 把方程组中的两个已知方程组合求解,再代入另外两个方程,从而求出 m,n 的值.
(2)$3m-2mn+m^2-1=3-2×1×3+1-1=3-6+1-1=-3.$
＞思路分析
(1) 把方程组中的两个已知方程组合求解,再代入另外两个方程,从而求出 m,n 的值.
解析
【分析】
两个方程组解相同，说明这组解同时满足四个方程。我们可以先将不含参数m、n的两个方程联立，求解得到x、y的公共解；再将公共解代入含m、n的两个方程，得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可得到m、n的值。第二问直接将求得的m、n代入代数式，按运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由两个方程组解相同，先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x+3y=7 \ \ \ ①\\5x-2y=8 \ \ \ ②\end{cases}$
①×2得：$4x+6y=14$ ③
②×3得：$15x-6y=24$ ④
③+④得：$19x=38$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2×2+3y=7$，解得$y=1$
将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入含m、n的方程，得：
$\begin{cases}2m+n=5 \\ m+\dfrac{2}{3}n=3\end{cases}$
将第二个方程两边同乘3得：$3m+2n=9$ ⑤
第一个方程两边同乘2得：$4m+2n=10$ ⑥
⑥-⑤得：$m=1$
把$m=1$代入$2m+n=5$得：$2×1+n=5$，解得$n=3$
所以$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$
(2) 将$m=1$，$n=3$代入$3m-2mn+m^2-1$：
原式$=3×1 - 2×1×3 + 1^2 -1$
$=3 - 6 +1 -1$
$=-3$
【答案】
(1) $m=1$，$n=3$；(2) $-3$
【知识点】
二元一次方程组的公共解，消元法解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求解无参方程组得到公共解，再代入求参数，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解和消元法的运用能力。
【难度系数】
0.7
两个方程组解相同，说明这组解同时满足四个方程。我们可以先将不含参数m、n的两个方程联立，求解得到x、y的公共解；再将公共解代入含m、n的两个方程，得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可得到m、n的值。第二问直接将求得的m、n代入代数式，按运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由两个方程组解相同，先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x+3y=7 \ \ \ ①\\5x-2y=8 \ \ \ ②\end{cases}$
①×2得：$4x+6y=14$ ③
②×3得：$15x-6y=24$ ④
③+④得：$19x=38$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2×2+3y=7$，解得$y=1$
将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入含m、n的方程，得：
$\begin{cases}2m+n=5 \\ m+\dfrac{2}{3}n=3\end{cases}$
将第二个方程两边同乘3得：$3m+2n=9$ ⑤
第一个方程两边同乘2得：$4m+2n=10$ ⑥
⑥-⑤得：$m=1$
把$m=1$代入$2m+n=5$得：$2×1+n=5$，解得$n=3$
所以$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$
(2) 将$m=1$，$n=3$代入$3m-2mn+m^2-1$：
原式$=3×1 - 2×1×3 + 1^2 -1$
$=3 - 6 +1 -1$
$=-3$
【答案】
(1) $m=1$，$n=3$；(2) $-3$
【知识点】
二元一次方程组的公共解，消元法解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求解无参方程组得到公共解，再代入求参数，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解和消元法的运用能力。
【难度系数】
0.7
5[2026河南平顶山质检,中]小明在解关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases} ax - by = 5, \\ cx + ay = 4 \end{cases}$时，只抄对了$a=1$，$b=-2$，求出的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为________。
答案
$\begin{cases} x=\dfrac{3}{5}, \\ y=\dfrac{11}{5} \end{cases}$ 【解析】由题意可得$\begin{cases}x+2y=5,\\(c-1)x+y=4,\end{cases}$此方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$所以 c-1+2=4,解得c=3,所以原方程组为$\begin{cases}x+2y=5 ,①\\3x+y=4 ,②\end{cases}$ ②×2-①,得 $x=\dfrac{3}{5}$,把 $x=\dfrac{3}{5}$代入①,得 $y=\dfrac{11}{5}$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$ 故答案为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
解析
【分析】
解题时先明确已知条件的适用范围：小明抄对了a、b的值，他求出的解满足自己抄写的方程组，因此可以先代入a、b确定第一个方程的表达式；又因为他抄的c比原方程组的c小1，将他求出的解代入抄写的第二个方程，就能计算出原方程组中c的正确值，得到完整原方程组后用加减消元法求解即可。
【解析】
第一步：代入已知的a、b，确定第一个方程
将$a=1$，$b=-2$代入$ax-by=5$，得$x+2y=5$。
第二步：求原方程组中c的正确值
小明抄的c比原c小1，即他使用的c为$c-1$，且他求出的解$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$满足他抄写的第二个方程$(c-1)x+ay=4$，把$a=1$、$x=1$、$y=2$代入得：
$(c-1)×1 + 1×2 = 4$
解得$c=3$。
第三步：解原方程组
原方程组为$\begin{cases}x + 2y = 5&①\\3x + y = 4&②\end{cases}$
②×2 - ①，得：
$6x+2y - (x+2y) = 8 - 5$
化简得$5x=3$，解得$x=\frac{3}{5}$。
把$x=\frac{3}{5}$代入①，得：
$\frac{3}{5}+2y=5$
解得$y=\frac{11}{5}$。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{3}{5}, \\ y=\dfrac{11}{5} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典含参题型，解题核心是理清错误解的适用范围，通过错误的解反推正确的参数值，再求解原方程组，既考查对概念的理解，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先明确已知条件的适用范围：小明抄对了a、b的值，他求出的解满足自己抄写的方程组，因此可以先代入a、b确定第一个方程的表达式；又因为他抄的c比原方程组的c小1，将他求出的解代入抄写的第二个方程，就能计算出原方程组中c的正确值，得到完整原方程组后用加减消元法求解即可。
【解析】
第一步：代入已知的a、b，确定第一个方程
将$a=1$，$b=-2$代入$ax-by=5$，得$x+2y=5$。
第二步：求原方程组中c的正确值
小明抄的c比原c小1，即他使用的c为$c-1$，且他求出的解$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$满足他抄写的第二个方程$(c-1)x+ay=4$，把$a=1$、$x=1$、$y=2$代入得：
$(c-1)×1 + 1×2 = 4$
解得$c=3$。
第三步：解原方程组
原方程组为$\begin{cases}x + 2y = 5&①\\3x + y = 4&②\end{cases}$
②×2 - ①，得：
$6x+2y - (x+2y) = 8 - 5$
化简得$5x=3$，解得$x=\frac{3}{5}$。
把$x=\frac{3}{5}$代入①，得：
$\frac{3}{5}+2y=5$
解得$y=\frac{11}{5}$。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{3}{5}, \\ y=\dfrac{11}{5} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典含参题型，解题核心是理清错误解的适用范围，通过错误的解反推正确的参数值，再求解原方程组，既考查对概念的理解，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.6
6[2026四川巴中期末,中]小明和小文同解一个二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=12,①\\bx+ay=3,②\end{cases}$小明把方程①抄错,求得的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=3,\end{cases}$小文把方程②抄错,求得的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(1)求$a,b$的值；
(2)求原方程组的解.
(1)求$a,b$的值；
(2)求原方程组的解.
答案
【解】(1) 由题意得$\begin{cases}-b+3a=3 ,①\\3a+2b=12 ,②\end{cases}$ ②-①,得2b-(-b)=12-3,解得 b=3. 把 b=3 代入①,得-3+3a=3,解得 a=2,所以 a,b 的值分别为2,3.
(2) 把$\begin{cases}a=2,\\b=3\end{cases}$代入原方程组得$\begin{cases}2x+3y=12 ,①\\3x+2y=3 ,②\end{cases}$①×3-②×2,得 9y-4y=36-6,解得 y=6. 把y=6 代入①,得 2x+3×6=12,解得 x=-3,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=6.\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases}a=2,\\b=3\end{cases}$代入原方程组得$\begin{cases}2x+3y=12 ,①\\3x+2y=3 ,②\end{cases}$①×3-②×2,得 9y-4y=36-6,解得 y=6. 把y=6 代入①,得 2x+3×6=12,解得 x=-3,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=6.\end{cases}$
解析
【分析】
解本题的核心是理解二元一次方程组解的意义：抄错某一个方程时，求得的解仍然满足未抄错的另一个方程。（1）小明抄错了方程①，因此他的解符合未抄错的方程②，代入②可得到关于a、b的一个方程；小文抄错了方程②，因此他的解符合未抄错的方程①，代入①可得到关于a、b的另一个方程，联立两个方程得到关于a、b的二元一次方程组，用消元法求解即可得到a、b的值。（2）将求出的a、b代入原方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的解。
【解析】
(1) 由题意，将小明的解代入方程②，小文的解代入方程①，可得：
$\begin{cases}-b+3a=3 ,①\\3a+2b=12 ,②\end{cases}$
用②-①，得$3a + 2b - (-b + 3a) = 12 - 3$，化简得$3b=9$，解得$b=3$。
把$b=3$代入①，得$-3+3a=3$，解得$a=2$。
(2) 把$\begin{cases}a=2,\\b=3\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x+3y=12 ,①\\3x+2y=3 ,②\end{cases}$
①×3得$6x + 9y = 36$ ③，②×2得$6x + 4y = 6$ ④，用③-④得$5y=30$，解得$y=6$。
把$y=6$代入①，得$2x + 3×6 = 12$，解得$x=-3$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$；
(2) 原方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=6\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的常考题型，解题关键是抓住“抄错一个方程时，解仍满足未抄错的方程”这一要点建立参数方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解本题的核心是理解二元一次方程组解的意义：抄错某一个方程时，求得的解仍然满足未抄错的另一个方程。（1）小明抄错了方程①，因此他的解符合未抄错的方程②，代入②可得到关于a、b的一个方程；小文抄错了方程②，因此他的解符合未抄错的方程①，代入①可得到关于a、b的另一个方程，联立两个方程得到关于a、b的二元一次方程组，用消元法求解即可得到a、b的值。（2）将求出的a、b代入原方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的解。
【解析】
(1) 由题意，将小明的解代入方程②，小文的解代入方程①，可得：
$\begin{cases}-b+3a=3 ,①\\3a+2b=12 ,②\end{cases}$
用②-①，得$3a + 2b - (-b + 3a) = 12 - 3$，化简得$3b=9$，解得$b=3$。
把$b=3$代入①，得$-3+3a=3$，解得$a=2$。
(2) 把$\begin{cases}a=2,\\b=3\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x+3y=12 ,①\\3x+2y=3 ,②\end{cases}$
①×3得$6x + 9y = 36$ ③，②×2得$6x + 4y = 6$ ④，用③-④得$5y=30$，解得$y=6$。
把$y=6$代入①，得$2x + 3×6 = 12$，解得$x=-3$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$；
(2) 原方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=6\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的常考题型，解题关键是抓住“抄错一个方程时，解仍满足未抄错的方程”这一要点建立参数方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7[2025 山东潍坊期中,中]方程组$\begin{cases}x+ay=5, \\ y-x=1\end{cases}$有正整数解,则正整数$a=$ ______ .
答案
1或2 【解析】两个方程相加得(1+a)y=6.因为方程组有正整数解,所以 x,y 均为正整数. 因为 a 为正整数,所以当 a=5 时,y=1,则x=0,与 x 为正整数矛盾,舍去;当 a=2 时,y=2,则 x=1;当 a=1 时,y=3,则 x=2,所以 a=1或2.
解析
【分析】
这是含参数的二元一次方程组求正整数解的问题，解题思路如下：第一步先利用加减消元法消去x，得到只含a和y的等式；第二步根据a、x、y都是正整数的条件，分析得出1+a是6的正因数，列举所有符合要求的因数取值；第三步分别计算每种取值对应的a、x、y的值，验证x是否为正整数，排除不符合的情况，最终得到a的正确值。
【解析】
解：将方程组中两个方程分别标记为：
$\begin{cases}x+ay=5 \quad \mathrm{①} \\ y-x=1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①+②消去x，可得：$y + ay = 5 + 1$，整理得$(1+a)y=6$。
∵ 方程组有正整数解，且a为正整数，
∴ x、y均为正整数，$1+a$是大于等于2的正整数，即$1+a$是6的正因数。
6的正因数有1、2、3、6，结合$1+a≥2$，分情况讨论：
1. 当$1+a=2$时，$a=1$，此时$y=6÷2=3$，代入②得$x=y-1=3-1=2$，x、y均为正整数，符合要求；
2. 当$1+a=3$时，$a=2$，此时$y=6÷3=2$，代入②得$x=y-1=2-1=1$，x、y均为正整数，符合要求；
3. 当$1+a=6$时，$a=5$，此时$y=6÷6=1$，代入②得$x=y-1=1-1=0$，x不是正整数，舍去。
综上，正整数a的值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
加减消元法，方程组正整数解，含参方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型考题，核心考查消元法的应用，解题时需紧扣“正整数”这一限制条件，对所有可能的取值逐一验证，避免因忽略x的取值要求而错写a=5的情况。
【难度系数】
0.6
这是含参数的二元一次方程组求正整数解的问题，解题思路如下：第一步先利用加减消元法消去x，得到只含a和y的等式；第二步根据a、x、y都是正整数的条件，分析得出1+a是6的正因数，列举所有符合要求的因数取值；第三步分别计算每种取值对应的a、x、y的值，验证x是否为正整数，排除不符合的情况，最终得到a的正确值。
【解析】
解：将方程组中两个方程分别标记为：
$\begin{cases}x+ay=5 \quad \mathrm{①} \\ y-x=1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①+②消去x，可得：$y + ay = 5 + 1$，整理得$(1+a)y=6$。
∵ 方程组有正整数解，且a为正整数，
∴ x、y均为正整数，$1+a$是大于等于2的正整数，即$1+a$是6的正因数。
6的正因数有1、2、3、6，结合$1+a≥2$，分情况讨论：
1. 当$1+a=2$时，$a=1$，此时$y=6÷2=3$，代入②得$x=y-1=3-1=2$，x、y均为正整数，符合要求；
2. 当$1+a=3$时，$a=2$，此时$y=6÷3=2$，代入②得$x=y-1=2-1=1$，x、y均为正整数，符合要求；
3. 当$1+a=6$时，$a=5$，此时$y=6÷6=1$，代入②得$x=y-1=1-1=0$，x不是正整数，舍去。
综上，正整数a的值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
加减消元法，方程组正整数解，含参方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组含参问题的典型考题，核心考查消元法的应用，解题时需紧扣“正整数”这一限制条件，对所有可能的取值逐一验证，避免因忽略x的取值要求而错写a=5的情况。
【难度系数】
0.6
8[2025 湖南长沙调研,较难]若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}mx - 2y = 9, \\ 3x - 2y = 5\end{cases}$的解为整数,则满足条件的所有整数$m$的值的和为 ______ 。
答案
6 【解析】$\begin{cases}mx-2y=9 ,①\\3x-2y=5 ,②\end{cases}$ ①-②,得(m-3)x=4,所以 $x=\dfrac{4}{m-3}$. 因为 x,y 为整数,所以 m-3=±1 或±2 或±4. 当 m-3=1 时,m=4,x=4,把 x=4 代入②,得 3×4-2y=5,解得 $y=\dfrac{7}{2}$,舍去;当 m-3=-1 时,m=2,x=-4,把 x=-4 代入②,得 3×(-4)-2y=5,解得 $y=-\dfrac{17}{2}$,舍去;当 m-3=2 时,m=5,x=2,把 x=2 代入②,得3×2-2y=5,解得 $y=\dfrac{1}{2}$,舍去;当 m-3=-2 时,m=1,x=-2,把 x=-2 代入②,得 3×(-2)-2y=5,解得 $y=-\dfrac{11}{2}$,舍去;当 m-3=4 时,m=7,x=1,把 x=1 代入②,得 3×1-2y=5,解得y=-1;当 m-3=-4 时,m=-1,x=-1,把 x=-1代入②,得 3×(-1)-2y=5,解得 y=-4. 综上所述,当 m=7 或-1 时,方程组$\begin{cases}mx-2y=9,\\3x-2y=5\end{cases}$的解是整数,所以满足条件的所有整数 m 的值的和为 7+(-1)=6. 故答案为 6.
解析
【分析】
遇到含参二元一次方程组求整数解的问题，首先观察方程组的系数特点，本题中两个方程的y的系数都是-2，所以优先用加减消元法消去y，得到只含x和参数m的等式，进而写出x关于m的表达式。因为方程组的解x、y都是整数，首先x必须是整数，所以m-3是4的整数因数，列举出所有可能的m值后，还要代入原方程验证y是否也为整数，排除不符合的情况，最后将符合条件的整数m相加即可得到结果。
【解析】
解：将方程组记为$\begin{cases}mx - 2y = 9&① \\ 3x - 2y = 5&②\end{cases}$
用①-②消去y，可得：$(m-3)x = 4$，即$x=\dfrac{4}{m-3}$。
∵方程组的解x、y均为整数，
∴$m-3$是4的整数因数，即$m-3=\pm1,\pm2,\pm4$，分情况讨论：
1. 当$m-3=1$时，$m=4$，此时$x=4$，代入②得$3×4-2y=5$，解得$y=\dfrac{7}{2}$，不是整数，舍去；
2. 当$m-3=-1$时，$m=2$，此时$x=-4$，代入②得$3×(-4)-2y=5$，解得$y=-\dfrac{17}{2}$，不是整数，舍去；
3. 当$m-3=2$时，$m=5$，此时$x=2$，代入②得$3×2-2y=5$，解得$y=\dfrac{1}{2}$，不是整数，舍去；
4. 当$m-3=-2$时，$m=1$，此时$x=-2$，代入②得$3×(-2)-2y=5$，解得$y=-\dfrac{11}{2}$，不是整数，舍去；
5. 当$m-3=4$时，$m=7$，此时$x=1$，代入②得$3×1-2y=5$，解得$y=-1$，是整数，符合条件；
6. 当$m-3=-4$时，$m=-1$，此时$x=-1$，代入②得$3×(-1)-2y=5$，解得$y=-4$，是整数，符合条件。
综上，符合条件的整数m为7和-1，它们的和为$7+(-1)=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 含参方程组整数解问题
3. 整数因数的应用
【点评】
本题是含参二元一次方程组整数解的经典题型，解题关键是先通过消元得到未知数关于参数的表达式，再结合整数解的要求列举参数的可能值，易错点是容易忽略验证另一个未知数是否也为整数，导致多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.4
遇到含参二元一次方程组求整数解的问题，首先观察方程组的系数特点，本题中两个方程的y的系数都是-2，所以优先用加减消元法消去y，得到只含x和参数m的等式，进而写出x关于m的表达式。因为方程组的解x、y都是整数，首先x必须是整数，所以m-3是4的整数因数，列举出所有可能的m值后，还要代入原方程验证y是否也为整数，排除不符合的情况，最后将符合条件的整数m相加即可得到结果。
【解析】
解：将方程组记为$\begin{cases}mx - 2y = 9&① \\ 3x - 2y = 5&②\end{cases}$
用①-②消去y，可得：$(m-3)x = 4$，即$x=\dfrac{4}{m-3}$。
∵方程组的解x、y均为整数，
∴$m-3$是4的整数因数，即$m-3=\pm1,\pm2,\pm4$，分情况讨论：
1. 当$m-3=1$时，$m=4$，此时$x=4$，代入②得$3×4-2y=5$，解得$y=\dfrac{7}{2}$，不是整数，舍去；
2. 当$m-3=-1$时，$m=2$，此时$x=-4$，代入②得$3×(-4)-2y=5$，解得$y=-\dfrac{17}{2}$，不是整数，舍去；
3. 当$m-3=2$时，$m=5$，此时$x=2$，代入②得$3×2-2y=5$，解得$y=\dfrac{1}{2}$，不是整数，舍去；
4. 当$m-3=-2$时，$m=1$，此时$x=-2$，代入②得$3×(-2)-2y=5$，解得$y=-\dfrac{11}{2}$，不是整数，舍去；
5. 当$m-3=4$时，$m=7$，此时$x=1$，代入②得$3×1-2y=5$，解得$y=-1$，是整数，符合条件；
6. 当$m-3=-4$时，$m=-1$，此时$x=-1$，代入②得$3×(-1)-2y=5$，解得$y=-4$，是整数，符合条件。
综上，符合条件的整数m为7和-1，它们的和为$7+(-1)=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 含参方程组整数解问题
3. 整数因数的应用
【点评】
本题是含参二元一次方程组整数解的经典题型，解题关键是先通过消元得到未知数关于参数的表达式，再结合整数解的要求列举参数的可能值，易错点是容易忽略验证另一个未知数是否也为整数，导致多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.4
