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11.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，即已知井的直径AD为5尺，ED⊥AD于点D，ED为5尺，连接BE交AD于点F，且FD长为4寸。设井深CD为x尺(1尺=10寸)，所列方程正确的是(
A.$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$
B.$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$
C.$\frac{x}{x+5}=\frac{5}{0.4}$
D.$\frac{5}{x}=\frac{5-0.4}{0.4}$
A
)。A.$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$
B.$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$
C.$\frac{x}{x+5}=\frac{5}{0.4}$
D.$\frac{5}{x}=\frac{5-0.4}{0.4}$
答案
A
解析
【分析】
首先统一单位，将4寸换算为0.4尺。观察图形可知四边形ABCD是矩形，对边AD与BC平行，因此FD平行于BC，可判定△EFD和△EBC相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到两组对应边：ED与EC是一组对应边，FD与BC是另一组对应边，将已知边长和未知数代入比例式即可得到正确方程。
【解析】
首先统一单位：4寸 = 0.4尺。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，即FD//BC，
∴ △EFD ∽ △EBC（平行于三角形一边的直线截三角形其他两边，所得三角形与原三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：$\frac{ED}{EC}=\frac{FD}{BC}$。
已知ED=5尺，EC=ED+DC=(5+x)尺，FD=0.4尺，BC=5尺，代入比例式得：
$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$，因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合我国古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找出相似三角形，理清对应边的关系，同时要注意计算前统一单位，避免单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
首先统一单位，将4寸换算为0.4尺。观察图形可知四边形ABCD是矩形，对边AD与BC平行，因此FD平行于BC，可判定△EFD和△EBC相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到两组对应边：ED与EC是一组对应边，FD与BC是另一组对应边，将已知边长和未知数代入比例式即可得到正确方程。
【解析】
首先统一单位：4寸 = 0.4尺。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，即FD//BC，
∴ △EFD ∽ △EBC（平行于三角形一边的直线截三角形其他两边，所得三角形与原三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：$\frac{ED}{EC}=\frac{FD}{BC}$。
已知ED=5尺，EC=ED+DC=(5+x)尺，FD=0.4尺，BC=5尺，代入比例式得：
$\frac{5}{5+x}=\frac{0.4}{5}$，因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合我国古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找出相似三角形，理清对应边的关系，同时要注意计算前统一单位，避免单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
12.一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，现只有长为60 cm和120 cm的两根木条。要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
B
）。A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合三角形三边关系确定哪根木条作为新三角形的一边：若选120cm的木条为一边，另两边从60cm木条截取，两段之和最大为60cm，小于120cm，不符合三角形两边之和大于第三边，因此只能以60cm的木条为一边，从120cm木条截两段。再结合相似三角形对应边成比例的性质，分三种情况讨论60cm边对应的原三角形的边，分别计算另两边长度，验证两段之和是否≤120cm，符合条件的即为有效截法。
【解析】
首先排除120cm作为新三角形一边的情况：若以120cm为一边，另两边从60cm木条截取，两段之和≤60cm＜120cm，不满足三角形三边关系，因此只能将60cm的木条作为新三角形的一边，设从120cm木条截得的两段长分别为x cm、y cm（x+y≤120）。
根据相似三角形对应边成比例，分三种情况讨论：
1. 当60cm的边与原三角形75cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$，则另两边长为$100×\frac{4}{5}=80\mathrm{cm}$，$120×\frac{4}{5}=96\mathrm{cm}$，两段和为$80+96=176＞120$，不符合要求，舍去；
2. 当60cm的边与原三角形100cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，则另两边长为$75×\frac{3}{5}=45\mathrm{cm}$，$120×\frac{3}{5}=72\mathrm{cm}$，两段和为$45+72=117≤120$，符合要求；
3. 当60cm的边与原三角形120cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，则另两边长为$75×\frac{1}{2}=37.5\mathrm{cm}$，$100×\frac{1}{2}=50\mathrm{cm}$，两段和为$37.5+50=87.5≤120$，符合要求。
综上，共有2种符合条件的截法。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的关键是先利用三角形三边关系排除不可能的情况，再通过分类讨论对应边的不同情况逐一验证，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合三角形三边关系确定哪根木条作为新三角形的一边：若选120cm的木条为一边，另两边从60cm木条截取，两段之和最大为60cm，小于120cm，不符合三角形两边之和大于第三边，因此只能以60cm的木条为一边，从120cm木条截两段。再结合相似三角形对应边成比例的性质，分三种情况讨论60cm边对应的原三角形的边，分别计算另两边长度，验证两段之和是否≤120cm，符合条件的即为有效截法。
【解析】
首先排除120cm作为新三角形一边的情况：若以120cm为一边，另两边从60cm木条截取，两段之和≤60cm＜120cm，不满足三角形三边关系，因此只能将60cm的木条作为新三角形的一边，设从120cm木条截得的两段长分别为x cm、y cm（x+y≤120）。
根据相似三角形对应边成比例，分三种情况讨论：
1. 当60cm的边与原三角形75cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$，则另两边长为$100×\frac{4}{5}=80\mathrm{cm}$，$120×\frac{4}{5}=96\mathrm{cm}$，两段和为$80+96=176＞120$，不符合要求，舍去；
2. 当60cm的边与原三角形100cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，则另两边长为$75×\frac{3}{5}=45\mathrm{cm}$，$120×\frac{3}{5}=72\mathrm{cm}$，两段和为$45+72=117≤120$，符合要求；
3. 当60cm的边与原三角形120cm的边为对应边时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，则另两边长为$75×\frac{1}{2}=37.5\mathrm{cm}$，$100×\frac{1}{2}=50\mathrm{cm}$，两段和为$37.5+50=87.5≤120$，符合要求。
综上，共有2种符合条件的截法。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的关键是先利用三角形三边关系排除不可能的情况，再通过分类讨论对应边的不同情况逐一验证，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
13.如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，D是边AB上一点，且$AD=2$。如果点E在边AC上，且$△ ADE$与$△ ABC$相似，那么$AE=$
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
。答案
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题时需注意：两个三角形有公共角∠A，但题目未明确相似的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，分别计算AE的长度，避免漏解。第一步先确定公共角为对应角，第二步分别列出两种相似情况的比例式，第三步代入数值求解即可。
【解析】
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，且△ADE与△ABC相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将$AD=2$，$AB=6$，$AC=8$代入得：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{8}$
解得：$AE=\frac{2×8}{6}=\frac{8}{3}$
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
将$AD=2$，$AC=8$，$AB=6$代入得：$\frac{2}{8}=\frac{AE}{6}$
解得：$AE=\frac{2×6}{8}=\frac{3}{2}$
综上，$AE$的长度为$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，易错点是忽略相似三角形对应关系不明确的情况，导致漏解。解题关键是结合公共角的特点，分类列出不同对应关系下的比例式求解。
【难度系数】
0.6
本题考查相似三角形的性质应用，解题时需注意：两个三角形有公共角∠A，但题目未明确相似的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，分别计算AE的长度，避免漏解。第一步先确定公共角为对应角，第二步分别列出两种相似情况的比例式，第三步代入数值求解即可。
【解析】
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，且△ADE与△ABC相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将$AD=2$，$AB=6$，$AC=8$代入得：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{8}$
解得：$AE=\frac{2×8}{6}=\frac{8}{3}$
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
将$AD=2$，$AC=8$，$AB=6$代入得：$\frac{2}{8}=\frac{AE}{6}$
解得：$AE=\frac{2×6}{8}=\frac{3}{2}$
综上，$AE$的长度为$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，易错点是忽略相似三角形对应关系不明确的情况，导致漏解。解题关键是结合公共角的特点，分类列出不同对应关系下的比例式求解。
【难度系数】
0.6
14.如图，将$△ ABC$纸片按如图所示的方式折叠，使点$B$落在边$AC$上，记为点$B'$，折痕为$EF$，已知$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$。若以$B'$，$F$，$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，那么$CF$的长度是
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
。答案
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
解析
【分析】
首先由折叠的性质可得BF=B'F，先根据△ABC的三边长可确认三边满足勾股定理逆定理，∠A为直角。由于以B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似时，公共角∠C的对应角固定，但其余两组角的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论，设CF的长度为x，用x表示出B'F的长度，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
已知AB=3，AC=4，BC=5，满足$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，故$∠ A=90°$。
由折叠的性质可知：$BF=B'F$，设$CF=x$，则$BF=BC-CF=5-x$，因此$B'F=5-x$。
△B'FC与△ABC有公共角$∠ C$，分两种相似情况讨论：
1. 当$△ B'FC ∽ △ ABC$（即$∠ B'FC=∠ A=90°$）时，对应边成比例：
$\frac{CF}{CB}=\frac{B'F}{AB}$，代入得$\frac{x}{5}=\frac{5-x}{3}$
交叉相乘得：$3x=25-5x$，解得$x=\frac{25}{8}$。
2. 当$△ FB'C ∽ △ ABC$（即$∠ FB'C=∠ A=90°$）时，对应边成比例：
$\frac{CF}{CA}=\frac{B'F}{AB}$，代入得$\frac{x}{4}=\frac{5-x}{3}$
交叉相乘得：$3x=20-4x$，解得$x=\frac{20}{7}$。
经检验，两个解均符合题意。
【答案】
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是明确相似三角形对应关系不唯一时要分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后对应边相等的性质建立边长关系。
【难度系数】
0.6
首先由折叠的性质可得BF=B'F，先根据△ABC的三边长可确认三边满足勾股定理逆定理，∠A为直角。由于以B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似时，公共角∠C的对应角固定，但其余两组角的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论，设CF的长度为x，用x表示出B'F的长度，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
已知AB=3，AC=4，BC=5，满足$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，故$∠ A=90°$。
由折叠的性质可知：$BF=B'F$，设$CF=x$，则$BF=BC-CF=5-x$，因此$B'F=5-x$。
△B'FC与△ABC有公共角$∠ C$，分两种相似情况讨论：
1. 当$△ B'FC ∽ △ ABC$（即$∠ B'FC=∠ A=90°$）时，对应边成比例：
$\frac{CF}{CB}=\frac{B'F}{AB}$，代入得$\frac{x}{5}=\frac{5-x}{3}$
交叉相乘得：$3x=25-5x$，解得$x=\frac{25}{8}$。
2. 当$△ FB'C ∽ △ ABC$（即$∠ FB'C=∠ A=90°$）时，对应边成比例：
$\frac{CF}{CA}=\frac{B'F}{AB}$，代入得$\frac{x}{4}=\frac{5-x}{3}$
交叉相乘得：$3x=20-4x$，解得$x=\frac{20}{7}$。
经检验，两个解均符合题意。
【答案】
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是明确相似三角形对应关系不唯一时要分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后对应边相等的性质建立边长关系。
【难度系数】
0.6
15.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$。点$P$从点$C$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CA$向点$A$匀速运动，同时点$Q$从点$B$出发，以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$向点$C$匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动。
（1）经过几秒，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$？
（2）经过几秒，$△ PCQ$与$△ ABC$相似？
（1）经过几秒，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$？
（2）经过几秒，$△ PCQ$与$△ ABC$相似？
答案
(1)设经过 $t\ \mathrm{s},△ PCQ$ 的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$，
则 $PC=2t,BQ=t,CQ=5-t$，
$\therefore \frac{1}{2}× 2t× (5-t)=\frac{1}{2}× 12× 5× \frac{1}{5}$，
整理得 $t^2-5t+6=0$，
解得 $t_1=2,t_2=3$。
$\because 0＜t＜5$，
$\therefore$ 经过 $2\ \mathrm{s}$ 或 $3\ \mathrm{s},△ PCQ$ 的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
(2)①设经过 $x\ \mathrm{s},△ PCQ∽△ ACB$，
$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB},\therefore \frac{2x}{12}=\frac{5-x}{5}$，
解得 $x=\frac{30}{11}$。
②设经过 $x\ \mathrm{s},△ PCQ∽△ BCA$，
$\therefore \frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA},\therefore \frac{2x}{5}=\frac{5-x}{12}$，
解得 $x=\frac{25}{29}$。
综上,经过 $\frac{30}{11}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{25}{29}\ \mathrm{s},△ PCQ$ 与 $△ ABC$ 相似。
则 $PC=2t,BQ=t,CQ=5-t$，
$\therefore \frac{1}{2}× 2t× (5-t)=\frac{1}{2}× 12× 5× \frac{1}{5}$，
整理得 $t^2-5t+6=0$，
解得 $t_1=2,t_2=3$。
$\because 0＜t＜5$，
$\therefore$ 经过 $2\ \mathrm{s}$ 或 $3\ \mathrm{s},△ PCQ$ 的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
(2)①设经过 $x\ \mathrm{s},△ PCQ∽△ ACB$，
$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB},\therefore \frac{2x}{12}=\frac{5-x}{5}$，
解得 $x=\frac{30}{11}$。
②设经过 $x\ \mathrm{s},△ PCQ∽△ BCA$，
$\therefore \frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA},\therefore \frac{2x}{5}=\frac{5-x}{12}$，
解得 $x=\frac{25}{29}$。
综上,经过 $\frac{30}{11}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{25}{29}\ \mathrm{s},△ PCQ$ 与 $△ ABC$ 相似。
解析
【分析】
这是一道动点类几何综合题，解题先确定运动时间的取值范围：点P走完全程需要$12÷2=6\ \mathrm{s}$，点Q走完全程需要$5÷1=5\ \mathrm{s}$，因此运动时间的取值范围是$0＜t≤5$。
（1）为面积等量关系问题：先分别用含时间的代数式表示出$\mathrm{Rt}△ PCQ$的两条直角边$PC$、$CQ$的长度，再根据“$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$”列方程求解，最后验证解是否在时间范围内即可。
（2）为相似三角形存在性问题：因为$∠ C$是两个三角形的公共直角，所以相似需分两种对应情况讨论：①$△ PCQ ∽ △ ACB$，此时$PC$和$AC$对应、$CQ$和$CB$对应；②$△ PCQ ∽ △ BCA$，此时$PC$和$BC$对应、$CQ$和$CA$对应，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
（1）设经过$t\ \mathrm{s}$，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
由题意得：$PC=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，因此$CQ=BC-BQ=(5-t)\ \mathrm{cm}$。
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×5=30\ \mathrm{cm^2}$，根据面积等量关系列方程：
$\frac{1}{2}×2t×(5-t)=30×\frac{1}{5}$
整理得$t^2-5t+6=0$，解得$t_1=2$，$t_2=3$。
验证：$0＜2＜5$，$0＜3＜5$，均符合题意。
（2）设经过$x\ \mathrm{s}$，$△ PCQ$与$△ ABC$相似，$∠ C$为两个三角形的公共直角，分两种情况讨论：
①当$△ PCQ ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，代入边长得：
$\frac{2x}{12}=\frac{5-x}{5}$
解得$x=\frac{30}{11}$，符合$0＜\frac{30}{11}＜5$。
②当$△ PCQ ∽ △ BCA$时，对应边成比例$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，代入边长得：
$\frac{2x}{5}=\frac{5-x}{12}$
解得$x=\frac{25}{29}$，符合$0＜\frac{25}{29}＜5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$；
（2）$\boldsymbol{\frac{25}{29}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{30}{11}\ \mathrm{s}}$。
【知识点】
三角形面积计算，相似三角形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何的常规题型，考查了动点背景下的面积计算和相似三角形的分类讨论思想，解题核心是用含时间的代数式准确表示相关线段的长度，注意相似三角形对应关系不唯一时要分类讨论避免漏解，最后要检验所求的解是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.65
这是一道动点类几何综合题，解题先确定运动时间的取值范围：点P走完全程需要$12÷2=6\ \mathrm{s}$，点Q走完全程需要$5÷1=5\ \mathrm{s}$，因此运动时间的取值范围是$0＜t≤5$。
（1）为面积等量关系问题：先分别用含时间的代数式表示出$\mathrm{Rt}△ PCQ$的两条直角边$PC$、$CQ$的长度，再根据“$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$”列方程求解，最后验证解是否在时间范围内即可。
（2）为相似三角形存在性问题：因为$∠ C$是两个三角形的公共直角，所以相似需分两种对应情况讨论：①$△ PCQ ∽ △ ACB$，此时$PC$和$AC$对应、$CQ$和$CB$对应；②$△ PCQ ∽ △ BCA$，此时$PC$和$BC$对应、$CQ$和$CA$对应，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
（1）设经过$t\ \mathrm{s}$，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{5}$。
由题意得：$PC=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，因此$CQ=BC-BQ=(5-t)\ \mathrm{cm}$。
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×5=30\ \mathrm{cm^2}$，根据面积等量关系列方程：
$\frac{1}{2}×2t×(5-t)=30×\frac{1}{5}$
整理得$t^2-5t+6=0$，解得$t_1=2$，$t_2=3$。
验证：$0＜2＜5$，$0＜3＜5$，均符合题意。
（2）设经过$x\ \mathrm{s}$，$△ PCQ$与$△ ABC$相似，$∠ C$为两个三角形的公共直角，分两种情况讨论：
①当$△ PCQ ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，代入边长得：
$\frac{2x}{12}=\frac{5-x}{5}$
解得$x=\frac{30}{11}$，符合$0＜\frac{30}{11}＜5$。
②当$△ PCQ ∽ △ BCA$时，对应边成比例$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，代入边长得：
$\frac{2x}{5}=\frac{5-x}{12}$
解得$x=\frac{25}{29}$，符合$0＜\frac{25}{29}＜5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$；
（2）$\boldsymbol{\frac{25}{29}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{30}{11}\ \mathrm{s}}$。
【知识点】
三角形面积计算，相似三角形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何的常规题型，考查了动点背景下的面积计算和相似三角形的分类讨论思想，解题核心是用含时间的代数式准确表示相关线段的长度，注意相似三角形对应关系不唯一时要分类讨论避免漏解，最后要检验所求的解是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.65
