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1.(2026甘肃陇南武都区期末)在小于平角的∠AOB内部取一点C,并作射线OC,则一定有 (
A.$∠ AOC＞∠ BOC$
B.$∠ AOC=∠ BOC$
C.$∠ BOC＞∠ AOC$
D.$∠ AOB＞∠ AOC$
D
)A.$∠ AOC＞∠ BOC$
B.$∠ AOC=∠ BOC$
C.$∠ BOC＞∠ AOC$
D.$∠ AOB＞∠ AOC$
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确题目条件：射线OC在小于平角的∠AOB的内部，此时原角∠AOB被OC分为∠AOC和∠BOC两个小角。首先判断选项A、B、C：由于点C的位置没有固定，∠AOC和∠BOC的大小关系会随C的位置变化而变化，因此这三个选项的结论都不是一定成立的；再判断选项D：根据角的和差关系，原角等于两个分角的和，角的度数均为正数，因此原角一定大于任意一个分角，即可得出正确答案。
【解析】
∵ 点C在∠AOB的内部，
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，且∠BOC ＞ 0°，
∴ ∠AOB ＞ ∠AOC，同理∠AOB ＞ ∠BOC，故D选项一定成立。
对于A、B、C选项：由于点C的位置未确定，当C靠近OA时，∠AOC ＜ ∠BOC；当C靠近OB时，∠AOC ＞ ∠BOC；当OC为∠AOB的角平分线时，∠AOC = ∠BOC，因此这三个选项的结论均不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差关系；角的大小比较
【点评】
本题考查角内部射线与原角的大小关系，解题关键是明确位置不确定时两个分角的大小无法确定，而“整体大于部分”的关系是恒定成立的，易错点是误将点C当作特殊位置（如角平分线上的点）错选B。
【难度系数】
0.9
首先明确题目条件：射线OC在小于平角的∠AOB的内部，此时原角∠AOB被OC分为∠AOC和∠BOC两个小角。首先判断选项A、B、C：由于点C的位置没有固定，∠AOC和∠BOC的大小关系会随C的位置变化而变化，因此这三个选项的结论都不是一定成立的；再判断选项D：根据角的和差关系，原角等于两个分角的和，角的度数均为正数，因此原角一定大于任意一个分角，即可得出正确答案。
【解析】
∵ 点C在∠AOB的内部，
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，且∠BOC ＞ 0°，
∴ ∠AOB ＞ ∠AOC，同理∠AOB ＞ ∠BOC，故D选项一定成立。
对于A、B、C选项：由于点C的位置未确定，当C靠近OA时，∠AOC ＜ ∠BOC；当C靠近OB时，∠AOC ＞ ∠BOC；当OC为∠AOB的角平分线时，∠AOC = ∠BOC，因此这三个选项的结论均不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差关系；角的大小比较
【点评】
本题考查角内部射线与原角的大小关系，解题关键是明确位置不确定时两个分角的大小无法确定，而“整体大于部分”的关系是恒定成立的，易错点是误将点C当作特殊位置（如角平分线上的点）错选B。
【难度系数】
0.9
2.如图,用同样大小的三角尺比较∠CAD和∠EBF的大小,下列判断正确的是 (
A.∠CAD＞∠EBF
B.∠CAD＜∠EBF
C.∠CAD=∠EBF
D.没有量角器,无法确定
B
)A.∠CAD＞∠EBF
B.∠CAD＜∠EBF
C.∠CAD=∠EBF
D.没有量角器,无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
我们可以把三角尺的45°锐角作为中间参考量来比较两个角的大小。首先回忆等腰直角三角尺的两个锐角都是45°，先分别判断∠CAD、∠EBF和45°的大小关系，再推导两个角的大小关系即可。第一步先看左图：AC边在三角尺45°角的内部，说明∠CAD比45°小；第二步看右图：BE边在三角尺45°角的外部，说明∠EBF比45°大；最后对比两个角和45°的大小，就能得出两个角的大小关系。
【解析】
解：图中的三角尺是等腰直角三角尺，它的锐角大小为45°。
观察左图可得：∠CAD在三角尺45°角的内部，因此$\boldsymbol{∠CAD ＜ 45°}$；
观察右图可得：∠EBF在三角尺45°角的外部，因此$\boldsymbol{∠EBF ＞ 45°}$；
结合上述两个结论可得：$∠CAD ＜ 45° ＜ ∠EBF$，即$∠CAD ＜ ∠EBF$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较；三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础题，解题时不需要借助量角器，只要利用熟悉的三角尺的固定角度作为中间量，通过观察角与已知固定角的位置关系即可判断大小，解题的关键是牢记常见三角尺的各角度数。
【难度系数】
0.8
我们可以把三角尺的45°锐角作为中间参考量来比较两个角的大小。首先回忆等腰直角三角尺的两个锐角都是45°，先分别判断∠CAD、∠EBF和45°的大小关系，再推导两个角的大小关系即可。第一步先看左图：AC边在三角尺45°角的内部，说明∠CAD比45°小；第二步看右图：BE边在三角尺45°角的外部，说明∠EBF比45°大；最后对比两个角和45°的大小，就能得出两个角的大小关系。
【解析】
解：图中的三角尺是等腰直角三角尺，它的锐角大小为45°。
观察左图可得：∠CAD在三角尺45°角的内部，因此$\boldsymbol{∠CAD ＜ 45°}$；
观察右图可得：∠EBF在三角尺45°角的外部，因此$\boldsymbol{∠EBF ＞ 45°}$；
结合上述两个结论可得：$∠CAD ＜ 45° ＜ ∠EBF$，即$∠CAD ＜ ∠EBF$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较；三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础题，解题时不需要借助量角器，只要利用熟悉的三角尺的固定角度作为中间量，通过观察角与已知固定角的位置关系即可判断大小，解题的关键是牢记常见三角尺的各角度数。
【难度系数】
0.8
3.一副三角尺按如图所示的方式放置，其中$∠ COD = 60°$，$∠ AOB = 45°$，经测量，可知$∠ BOC = 80°$，则$∠ AOD$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
B
）A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
3. B
解析
【分析】
要求∠AOD的度数，首先需要理清图中各角的和差关系：已知∠BOC的度数和∠COD的度数，可先求出∠BOD的度数；再结合∠AOB的度数，利用∠AOB与∠BOD、∠AOD的和差关系，即可求出∠AOD的度数。也可以直接根据∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD的等量关系直接计算。
【解析】
∵ ∠BOC=80°，∠COD=60°
∴ ∠BOD=∠BOC - ∠COD=80° - 60°=20°
又
∵ ∠AOB=45°，且∠AOB=∠AOD + ∠BOD
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=45° - 20°=25°
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别图形中各角的位置，理清角之间的和差关系，代入已知角度计算即可，重点考查学生的读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要求∠AOD的度数，首先需要理清图中各角的和差关系：已知∠BOC的度数和∠COD的度数，可先求出∠BOD的度数；再结合∠AOB的度数，利用∠AOB与∠BOD、∠AOD的和差关系，即可求出∠AOD的度数。也可以直接根据∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD的等量关系直接计算。
【解析】
∵ ∠BOC=80°，∠COD=60°
∴ ∠BOD=∠BOC - ∠COD=80° - 60°=20°
又
∵ ∠AOB=45°，且∠AOB=∠AOD + ∠BOD
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=45° - 20°=25°
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别图形中各角的位置，理清角之间的和差关系，代入已知角度计算即可，重点考查学生的读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
4.如图,射线OA表示的方向是北偏东$10°$,射线OB表示的方向是西北方向,若$∠AOC=∠AOB$,则射线OC表示的方向是 (
A.北偏东$85°$
B.北偏东$65°$
C.东偏北$15°$
D.东偏北$25°$
B
)A.北偏东$85°$
B.北偏东$65°$
C.东偏北$15°$
D.东偏北$25°$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确方向角的基本定义：西北方向是指北偏西45°；接下来先计算∠AOB的度数，再根据∠AOC=∠AOB得到∠AOC的度数，最后算出射线OC与正北方向的夹角，就能确定OC的方向，解题时要注意区分“北偏东”和“东偏北”的表述差异。
【解析】
1. 先确定射线OB的方向角：西北方向对应北偏西45°，已知射线OA表示北偏东10°，因此正北方向两侧的角度相加可得∠AOB的度数：$∠ AOB=45°+10°=55°$。
2. 由题设$∠ AOC=∠ AOB$，可得$∠ AOC=55°$。
3. 计算OC与正北方向的夹角：OA在正北东侧10°位置，OC在OA东侧，因此OC和正北方向的夹角为$10°+55°=65°$，即射线OC表示的方向是北偏东65°。
【答案】
B
【知识点】
方向角的概念，角的和差运算
【点评】
本题考查方向角的相关计算，解题核心是熟记方向角的基本规定，准确分析角的和差关系，同时注意方向角的常规表述习惯。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确方向角的基本定义：西北方向是指北偏西45°；接下来先计算∠AOB的度数，再根据∠AOC=∠AOB得到∠AOC的度数，最后算出射线OC与正北方向的夹角，就能确定OC的方向，解题时要注意区分“北偏东”和“东偏北”的表述差异。
【解析】
1. 先确定射线OB的方向角：西北方向对应北偏西45°，已知射线OA表示北偏东10°，因此正北方向两侧的角度相加可得∠AOB的度数：$∠ AOB=45°+10°=55°$。
2. 由题设$∠ AOC=∠ AOB$，可得$∠ AOC=55°$。
3. 计算OC与正北方向的夹角：OA在正北东侧10°位置，OC在OA东侧，因此OC和正北方向的夹角为$10°+55°=65°$，即射线OC表示的方向是北偏东65°。
【答案】
B
【知识点】
方向角的概念，角的和差运算
【点评】
本题考查方向角的相关计算，解题核心是熟记方向角的基本规定，准确分析角的和差关系，同时注意方向角的常规表述习惯。
【难度系数】
0.7
5. ❶易错 在同一平面内，$∠ AOB=70°52'$，$∠ BOC=35°20'$，则$∠ AOC$的度数是
35°32′或106°12′
。答案
5. 35°32′或106°12′
分OC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论.
分OC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论.
解析
【分析】
本题未明确给出射线OC的位置，因此需要分类讨论两种情况：①射线OC在∠AOB的内部，此时∠AOC为∠AOB与∠BOC的差；②射线OC在∠AOB的外部，此时∠AOC为∠AOB与∠BOC的和。运算时注意度分秒为60进制，满60分需进位为1度。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70°52' - 35°20' = 35°32'$
2. 当OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70°52' + 35°20' = 105°72' = 106°12'$
综上，$∠ AOC$的度数为$35°32'$或$106°12'$。
【答案】
$35°32'$或$106°12'$
【知识点】
角的和差运算；度分秒的换算；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，无配图的几何题要考虑所有符合题意的位置情况，避免漏解；度分秒运算要遵循60进制规则，加减时注意正确进位、借位。
【难度系数】
0.6
本题未明确给出射线OC的位置，因此需要分类讨论两种情况：①射线OC在∠AOB的内部，此时∠AOC为∠AOB与∠BOC的差；②射线OC在∠AOB的外部，此时∠AOC为∠AOB与∠BOC的和。运算时注意度分秒为60进制，满60分需进位为1度。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70°52' - 35°20' = 35°32'$
2. 当OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70°52' + 35°20' = 105°72' = 106°12'$
综上，$∠ AOC$的度数为$35°32'$或$106°12'$。
【答案】
$35°32'$或$106°12'$
【知识点】
角的和差运算；度分秒的换算；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，无配图的几何题要考虑所有符合题意的位置情况，避免漏解；度分秒运算要遵循60进制规则，加减时注意正确进位、借位。
【难度系数】
0.6
6. 新趋势·回归教材（第174页练习3题变式）
计算：
(1) $39°48'+31°17'$；
(2) $67.27° -28°41'24''$
计算：
(1) $39°48'+31°17'$；
(2) $67.27° -28°41'24''$
答案
6. 解:(1) $39°48'+31°17'=70°65'=71°5'$.
(2) $67. 27° - 28°41'24'' = 67°16'12'' - 28°41'24'' = 66°75'72''-28°41'24'' = 38°34'48''$.
(2) $67. 27° - 28°41'24'' = 67°16'12'' - 28°41'24'' = 66°75'72''-28°41'24'' = 38°34'48''$.
解析
【分析】
本题考查度分秒的加减运算，核心规则是度、分、秒之间为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。解题思路如下：(1)角度加法运算时，先将同单位的度与度相加、分与分相加，若分的计算结果大于等于60，需要将满60的部分进位为度；(2)角度减法运算时，先统一两个数的单位，把小数形式的度数转化为度分秒的复合形式，再按同单位相减，若当前单位的数不够减，就向前一个单位借1当作60，再进行减法计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算度、分的和：
$39°+31°=70°$，$48'+17'=65'$
根据60进制规则，$65'=1°5'$，因此总和为$70°+1°5'=71°5'$。
(2) 先将$67.27°$转化为度分秒形式：
$0.27°=0.27×60'=16.2'$，$0.2'=0.2×60''=12''$，因此$67.27°=67°16'12''$。
观察发现被减数的分、秒均小于减数，需要借位：
$67°16'12''=66°75'72''$
再分别计算度、分、秒的差：
$66°-28°=38°$，$75'-41'=34'$，$72''-24''=48''$
因此结果为$38°34'48''$。
【答案】
(1) $\boxed{71°5'}$；(2) $\boxed{38°34'48''}$
【知识点】
1. 度分秒的换算；2. 度分秒的加减运算
【点评】
本题是角度运算的基础题，重点考查度分秒60进制规则的应用，运算时需注意先统一单位，遵循加法满60进1、减法借1当60的原则，熟练掌握换算规则即可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查度分秒的加减运算，核心规则是度、分、秒之间为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。解题思路如下：(1)角度加法运算时，先将同单位的度与度相加、分与分相加，若分的计算结果大于等于60，需要将满60的部分进位为度；(2)角度减法运算时，先统一两个数的单位，把小数形式的度数转化为度分秒的复合形式，再按同单位相减，若当前单位的数不够减，就向前一个单位借1当作60，再进行减法计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算度、分的和：
$39°+31°=70°$，$48'+17'=65'$
根据60进制规则，$65'=1°5'$，因此总和为$70°+1°5'=71°5'$。
(2) 先将$67.27°$转化为度分秒形式：
$0.27°=0.27×60'=16.2'$，$0.2'=0.2×60''=12''$，因此$67.27°=67°16'12''$。
观察发现被减数的分、秒均小于减数，需要借位：
$67°16'12''=66°75'72''$
再分别计算度、分、秒的差：
$66°-28°=38°$，$75'-41'=34'$，$72''-24''=48''$
因此结果为$38°34'48''$。
【答案】
(1) $\boxed{71°5'}$；(2) $\boxed{38°34'48''}$
【知识点】
1. 度分秒的换算；2. 度分秒的加减运算
【点评】
本题是角度运算的基础题，重点考查度分秒60进制规则的应用，运算时需注意先统一单位，遵循加法满60进1、减法借1当60的原则，熟练掌握换算规则即可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.7
7.用一副三角尺不能画出的角的度数是（
A.$105°$
B.$75°$
C.$35°$
D.$15°$
C
）A.$105°$
B.$75°$
C.$35°$
D.$15°$
答案
7. C
解析
【分析】
要判断用一副三角尺能不能画出某个角，首先需要明确一副三角尺自带的所有角度：分别是30°、45°、60°、90°。我们能画出的角，都是通过这些角度相加或者相减得到的，因此可画出的角的度数一定是15°的整数倍（因为30、45、60、90的最大公因数是15）。接下来只需要逐一判断每个选项是否满足是15°的整数倍，或者能否通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
一副三角尺的角的度数分别为30°、45°、60°、90°：
选项A：$105°=60°+45°$，可以用三角尺画出；
选项B：$75°=30°+45°$，可以用三角尺画出；
选项C：$35°$无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能用三角尺画出；
选项D：$15°=45°-30°$（或$60°-45°$），可以用三角尺画出。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角尺的固有角度，理解通过拼接作角的本质是角的和差运算，记住“三角尺能画出的角都是15°的整数倍”这一规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断用一副三角尺能不能画出某个角，首先需要明确一副三角尺自带的所有角度：分别是30°、45°、60°、90°。我们能画出的角，都是通过这些角度相加或者相减得到的，因此可画出的角的度数一定是15°的整数倍（因为30、45、60、90的最大公因数是15）。接下来只需要逐一判断每个选项是否满足是15°的整数倍，或者能否通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
一副三角尺的角的度数分别为30°、45°、60°、90°：
选项A：$105°=60°+45°$，可以用三角尺画出；
选项B：$75°=30°+45°$，可以用三角尺画出；
选项C：$35°$无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能用三角尺画出；
选项D：$15°=45°-30°$（或$60°-45°$），可以用三角尺画出。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角尺的固有角度，理解通过拼接作角的本质是角的和差运算，记住“三角尺能画出的角都是15°的整数倍”这一规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.在$6×6$的网格中,网格线的交点称为格点.如图,点$O,A,B,C,D$都在格点上.若$∠AOC$的度数为$m$,$∠BOC$的度数为$n$,则$∠AOD$的度数可以表示为
$m+n$
.(用含$m,n$的代数式表示)答案
8. $m+n$
解析
【分析】
解题时首先观察网格中角的位置特征：首先看∠BOC和∠COD，点B和点D关于水平直线OC对称，因此这两个角大小相等，都为n。再分析∠AOD的组成，它由位于OC上方的∠AOC和位于OC下方的∠COD共同组成，因此只需将两个角的度数相加即可得到∠AOD的度数。
【解析】
根据网格的特征可知，点B与点D关于直线OC对称，因此$∠ COD = ∠ BOC = n$。
观察角的位置可得：$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD$，
将$∠ AOC = m$，$∠ COD = n$代入，得$∠ AOD = m + n$。
【答案】
$m+n$
【知识点】
角的和差运算，相等角的判定
【点评】
本题属于网格背景下的角的运算基础题，解题的核心是通过观察网格特征找到相等的角，再结合角的和差关系求解，能够锻炼学生的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察网格中角的位置特征：首先看∠BOC和∠COD，点B和点D关于水平直线OC对称，因此这两个角大小相等，都为n。再分析∠AOD的组成，它由位于OC上方的∠AOC和位于OC下方的∠COD共同组成，因此只需将两个角的度数相加即可得到∠AOD的度数。
【解析】
根据网格的特征可知，点B与点D关于直线OC对称，因此$∠ COD = ∠ BOC = n$。
观察角的位置可得：$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD$，
将$∠ AOC = m$，$∠ COD = n$代入，得$∠ AOD = m + n$。
【答案】
$m+n$
【知识点】
角的和差运算，相等角的判定
【点评】
本题属于网格背景下的角的运算基础题，解题的核心是通过观察网格特征找到相等的角，再结合角的和差关系求解，能够锻炼学生的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
9.已知α,β都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算$\frac{1}{6}(α+β)$的结果分别是$28°,48°,60°,88°$,其中只有一人计算正确,他是
乙
.答案
9. 乙
解析
【分析】
解题的核心是先明确钝角的取值范围，先根据钝角的定义分别得到α、β的取值范围，再推导得出α+β的取值范围，进而求出$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围，最后将四人的计算结果与该范围对比，落在范围内的即为正确答案。
【解析】
已知大于90°且小于180°的角是钝角，因为α、β都是钝角，所以：
$90°＜α＜180°$，$90°＜β＜180°$
将两个不等式相加，可得：
$90°+90°＜α+β＜180°+180°$，即$180°＜α+β＜360°$
给不等式三边同时乘$\frac{1}{6}$，不等号方向不变：
$180°×\frac{1}{6}＜\frac{1}{6}(α+β)＜360°×\frac{1}{6}$
计算得：$30°＜\frac{1}{6}(α+β)＜60°$
对比四人的结果：28°＜30°，不符合；48°在30°~60°之间，符合；60°不在开区间范围内，不符合；88°＞60°，不符合。因此只有乙的计算结果正确。
【答案】
乙
【知识点】
1. 钝角的定义
2. 角的和差运算
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是基础的范围推导类题型，解题关键是牢记钝角的取值范围，通过不等式运算缩小所求代数式的取值范围，即可快速匹配出正确结果，需要注意取值范围为开区间，不包含端点值。
【难度系数】
0.75
解题的核心是先明确钝角的取值范围，先根据钝角的定义分别得到α、β的取值范围，再推导得出α+β的取值范围，进而求出$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围，最后将四人的计算结果与该范围对比，落在范围内的即为正确答案。
【解析】
已知大于90°且小于180°的角是钝角，因为α、β都是钝角，所以：
$90°＜α＜180°$，$90°＜β＜180°$
将两个不等式相加，可得：
$90°+90°＜α+β＜180°+180°$，即$180°＜α+β＜360°$
给不等式三边同时乘$\frac{1}{6}$，不等号方向不变：
$180°×\frac{1}{6}＜\frac{1}{6}(α+β)＜360°×\frac{1}{6}$
计算得：$30°＜\frac{1}{6}(α+β)＜60°$
对比四人的结果：28°＜30°，不符合；48°在30°~60°之间，符合；60°不在开区间范围内，不符合；88°＞60°，不符合。因此只有乙的计算结果正确。
【答案】
乙
【知识点】
1. 钝角的定义
2. 角的和差运算
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是基础的范围推导类题型，解题关键是牢记钝角的取值范围，通过不等式运算缩小所求代数式的取值范围，即可快速匹配出正确结果，需要注意取值范围为开区间，不包含端点值。
【难度系数】
0.75
10. 新趋势·定义新概念（2026山东临沂兰陵县期末）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图1中共有3个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”。如图2，∠MPN=80°，若射线PE绕点P从边PN所在的位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，∠EPN首次为180°时停止旋转，设旋转的时间为t（单位：s），则当t为
$\frac{10}{3}$或5或20
时，射线PN是∠EPM的妙分线。答案
10. $\frac{10}{3}$或5或20 解析 由题意,可分四种情况讨论.
①当$∠MPN = 3 ∠EPN$时,易得$∠EPN = 80°÷3 = (\frac{80}{3})°$. 因为$(\frac{80}{3})° ÷ 8° = \frac{10}{3}$, 所以$t = \frac{10}{3}$; ②当$∠MPE = 3 ∠EPN$时,易得$∠EPN = 80° ÷ 2 = 40°$. 因为$40°÷8° = 5$, 所以$t = 5$; ③当$∠MPE = 3 ∠MPN$时,易得$∠EPN = 80°×2 = 160°$. 因为$160°÷8° = 20$, 所以$t = 20$; ④当$∠EPN = 3 ∠MPN$时, $∠EPN = 80°×3 = 240°$, 不符合题意, 舍去. 综上所述, 当$t$为$\frac{10}{3}$或5或20时, 射线$PN$是$∠EPM$的妙分线.
①当$∠MPN = 3 ∠EPN$时,易得$∠EPN = 80°÷3 = (\frac{80}{3})°$. 因为$(\frac{80}{3})° ÷ 8° = \frac{10}{3}$, 所以$t = \frac{10}{3}$; ②当$∠MPE = 3 ∠EPN$时,易得$∠EPN = 80° ÷ 2 = 40°$. 因为$40°÷8° = 5$, 所以$t = 5$; ③当$∠MPE = 3 ∠MPN$时,易得$∠EPN = 80°×2 = 160°$. 因为$160°÷8° = 20$, 所以$t = 20$; ④当$∠EPN = 3 ∠MPN$时, $∠EPN = 80°×3 = 240°$, 不符合题意, 舍去. 综上所述, 当$t$为$\frac{10}{3}$或5或20时, 射线$PN$是$∠EPM$的妙分线.
解析
【分析】
首先理解“妙分线”的定义：若射线在一个角的内部，形成的3个角中存在一个角的度数是另一个角的3倍，则该射线是这个角的妙分线。本题中射线PE从PN出发顺时针旋转，∠EPN的度数随时间t变化为8t°，且旋转停止时∠EPN≤180°。要使PN是∠EPM的妙分线，需保证PN在∠EPM内部，此时存在三个角：∠EPN=8t°、∠MPN=80°、∠EPM=(8t+80)°，分符合倍角关系的情况讨论，排除不符合旋转限制的情况即可求出t的值。
【解析】
由题意得：射线PE旋转过程中，∠EPN=8t°，且旋转停止条件为∠EPN≤180°，即t≤22.5。
要使PN是∠EPM的“妙分线”，分情况讨论三个角的倍角关系：
① 当∠MPN=3∠EPN时：
$80 = 3× 8t$
解得 $t=\frac{10}{3}$，符合题意；
② 当∠MPE=3∠EPN时：
$8t + 80 = 3× 8t$
$16t = 80$
解得 $t=5$，符合题意；
③ 当∠MPE=3∠MPN时：
$8t + 80 = 3× 80$
$8t = 160$
解得 $t=20$，符合题意；
④ 当∠EPN=3∠MPN时：
$8t = 3× 80 = 240$
解得 $t=30$，此时∠EPN=240°＞180°，不符合旋转限制，舍去。
综上，符合条件的t值为$\frac{10}{3}$或5或20。
【答案】
$\frac{10}{3}$或$5$或$20$
【知识点】
角的和差运算；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题属于角度动态类的新定义题型，核心是准确理解新定义的内涵，结合动态变化过程中角度的数量关系分类讨论，解题时要注意题目的限制条件，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.4
首先理解“妙分线”的定义：若射线在一个角的内部，形成的3个角中存在一个角的度数是另一个角的3倍，则该射线是这个角的妙分线。本题中射线PE从PN出发顺时针旋转，∠EPN的度数随时间t变化为8t°，且旋转停止时∠EPN≤180°。要使PN是∠EPM的妙分线，需保证PN在∠EPM内部，此时存在三个角：∠EPN=8t°、∠MPN=80°、∠EPM=(8t+80)°，分符合倍角关系的情况讨论，排除不符合旋转限制的情况即可求出t的值。
【解析】
由题意得：射线PE旋转过程中，∠EPN=8t°，且旋转停止条件为∠EPN≤180°，即t≤22.5。
要使PN是∠EPM的“妙分线”，分情况讨论三个角的倍角关系：
① 当∠MPN=3∠EPN时：
$80 = 3× 8t$
解得 $t=\frac{10}{3}$，符合题意；
② 当∠MPE=3∠EPN时：
$8t + 80 = 3× 8t$
$16t = 80$
解得 $t=5$，符合题意；
③ 当∠MPE=3∠MPN时：
$8t + 80 = 3× 80$
$8t = 160$
解得 $t=20$，符合题意；
④ 当∠EPN=3∠MPN时：
$8t = 3× 80 = 240$
解得 $t=30$，此时∠EPN=240°＞180°，不符合旋转限制，舍去。
综上，符合条件的t值为$\frac{10}{3}$或5或20。
【答案】
$\frac{10}{3}$或$5$或$20$
【知识点】
角的和差运算；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题属于角度动态类的新定义题型，核心是准确理解新定义的内涵，结合动态变化过程中角度的数量关系分类讨论，解题时要注意题目的限制条件，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.4
