1. 「2025 浙江杭州月考」下列方程中,属于二元一次方程的是 ()

A.$ x + y = 2 $
B.$ x^{2} + y = 0 $
C.$ xy = 2 $
D.$ x - y = 2z $

1. A $x + y = 2$是整式方程，且含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程；$x^{2} + y = 0$中$x^{2}$的次数是2，不是二元一次方程；$xy = 2$中$xy$的次数是2，不是二元一次方程；$x - y = 2z$中含有3个未知数，不是二元一次方程. 故选A.

2. 「2025 北京钱学森中学教育集团期中」下列方程组：
① $ \begin{cases} x + y = -2z, \\ y + z = 3, \end{cases} $
② $ \begin{cases} 2x + \dfrac{1}{y} = 1, \\ x - 3y = 0, \end{cases} $
③ $ \begin{cases} 3x - y = 4, \\ y = 4 - x, \end{cases} $
其中是二元一次方程组的是 ()

A.①②
B.②③
C.①③
D.③

2. D ①$\begin{cases}x + y = - 2z,\\y + z = 3\end{cases}$中含有3个未知数，不是二元一次方程组；②$\begin{cases}2x + \frac{1}{y} = 1,\\x - 3y = 0\end{cases}$中第一个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组；③$\begin{cases}3x - y = 4,\\y = 4 - x\end{cases}$是二元一次方程组. 故选D.

3. 学科 易错题 「2025 山东潍坊青州月考」若 $ (m - 3)x + 2y^{m - 2} + 6 = 0 $ 是关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程,则 $ m $ =.

3. 答案 1
解析 由题意得$|m - 2| = 1$且$m - 3 ≠ 0$，解得$m = 1$.
易错警示 漏掉$m - 3 ≠ 0$的条件，使方程可能变为一元一次方程.

4. 「2025 江苏扬州仪征三模」有一道古算题,大意是 1 亩好田的价钱是 300 钱,7 亩坏田的价钱是 500 钱,一人买了好田、坏田一共 100 亩,花费了 10 000 钱,问他各买了多少亩好田和坏田? 设买了好田 $ x $ 亩,坏田 $ y $ 亩,根据题意可列方程组为.

4. 答案 $\begin{cases}x + y = 100\\300x + 500×(y ÷ 7) = 10000\end{cases}$
解析 $\because$好田、坏田一共买了100亩，$\therefore x + y = 100$，$\because 1$亩好田是300钱，7亩坏田是500钱，且共花费了10000钱，$\therefore 300x + 500×(y ÷ 7) = 10000$，$\therefore$列出方程组为$\begin{cases}x + y = 100,\\300x + 500×(y ÷ 7) = 10000.\end{cases}$

5. 「2025 福建三明永安期末」下列四组数值中,不是二元一次方程 $ 3x - y = 6 $ 的解的是 ()

A.$ \begin{cases} x = 0 \\ y = 6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = -3 \\ y = -15 \end{cases} $

5. A 把四个选项中$x$，$y$的值分别代入方程进行判断即可.

6. 学科 教材变式 「2025 江苏南通期中」下列方程组中,解是 $ \begin{cases}x = -2, \\ y = -1\end{cases}$ 的是 ( )

A.$ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - 2y = 1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} 2x = y \\ x + y = -3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 0 \\ 3x - y = 5 \end{cases} $

6. C A. 当$x = - 2$，$y = - 1$时，$x + y = - 3$，$x - 2y = 0$，不符合题意；B. 当$x = - 2$，$y = - 1$时，$2x = - 4 ≠ - 1$，不符合题意；C. 当$x = - 2$，$y = - 1$时，$x + y = - 3$，$x - y = - 1$，符合题意；D. 当$x = - 2$，$y = - 1$时，$x + y = - 3 ≠ 0$，不符合题意. 故选C.

7. 「2025 北京昌平期末改编」已知 $ \begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$ 是方程 $ 3x + my = 5 $ 的解,则 $ m $ 的值为 ______ .

7. 答案 1
解析 将$x = 1$，$y = 2$代入方程$3x + my = 5$，得$3 + 2m = 5$，解得$m = 1$.

8. 新 考向 数学文化 「2025 四川广安中考, ★☆」《九章算术》中有一道题,原文:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何?”译文:假设多人共同买东西,如果每人出 8 钱,盈余 3 钱;每人出 7 钱,不足 4 钱.问:人数、物价各多少? 设人数为 $ x $,物价为 $ y $ 钱,则可列方程组为 ()

A.$ \begin{cases} y = 8x + 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x - 4 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} y = 8x + 3 \\ y = 7x - 4 \end{cases} $

8. B 因为“每人出8钱，盈余3钱”，所以$y + 3 = 8x$，即$y = 8x - 3$. 因为“每人出7钱，不足4钱”，所以$y - 4 = 7x$，即$y = 7x + 4$. 所以可列方程组为$\begin{cases}y = 8x - 3,\\y = 7x + 4.\end{cases}$故选B.

9. 「2025 北京育英学校期末, ★☆」已知 $ \begin{cases}x = -1, \\ y = -2,\end{cases}\begin{cases}x = 1, \\ y = 2,\end{cases}\begin{cases}x = 3, \\ y = 6\end{cases}$ 是二元一次方程 $ 2x - y = 0 $ 的三个解, $ \begin{cases}x = -1, \\ y = 3,\end{cases}\begin{cases}x = 1, \\ y = 2,\end{cases}\begin{cases}x = 3, \\ y = 1\end{cases}$ 是二元一次方程 $ x + 2y = 5 $ 的三个解,则二元一次方程组 $ \begin{cases}2x - y = 0, \\ x + 2y = 5\end{cases}$ 的解是 ( )

A.$ \begin{cases} x = -1 \\ y = -2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} $

9. B $\begin{cases}x = - 1,\\y = - 2,\end{cases}$ $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$ $\begin{cases}x = 3,\\y = 6\end{cases}$是方程$2x - y = 0$的解，$\begin{cases}x = - 1,\\y = 3,\end{cases}$ $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$ $\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$是方程$x + 2y = 5$的解，则二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 0,\\x + 2y = 5\end{cases}$的解是两个方程的公共解，即$\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases}$故选B.

10. 「★☆」为提高学生学习兴趣,增强动手实践能力,某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 150 cm 的导线,将其全部截成 10 cm 和 20 cm 两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根),则截取方案共有 ()

A.5 种
B.6 种
C.7 种
D.8 种

10. C 设截成$x$根10cm的导线，截成$y$根20cm的导线，根据题意得$10x + 20y = 150$，$\therefore x = 15 - 2y$，$\because x$，$y$是正整数，$\therefore \begin{cases}x = 13,\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 11,\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 9,\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 7,\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 5,\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3,\\y = 6\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1,\\y = 7,\end{cases}$即截取方案共有7种. 故选C.

11. 学科 整体 「2025 江苏泰州期末, ★☆」已知方程组 $ \begin{cases}ax + by = 2, \\ cx + dy = 3\end{cases}$ 的解是 $ \begin{cases}x = 2, \\ y = 3,\end{cases}$ 则方程组 $ \begin{cases}a(x - 1) + b(y - 1) = 2, \\ c(x - 1) + d(y - 1) = 3\end{cases}$ 的解为 ______ .

11. 答案 $\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$
解析 $\because$方程组$\begin{cases}ax + by = 2,\\cx + dy = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$ $\therefore$在方程组$\begin{cases}a(x - 1) + b(y - 1) = 2,\\c(x - 1) + d(y - 1) = 3\end{cases}$中，可得$x - 1 = 2$，$y - 1 = 3$，解得$x = 3$，$y = 4$，$\therefore$方程组$\begin{cases}a(x - 1) + b(y - 1) = 2,\\c(x - 1) + d(y - 1) = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 4.\end{cases}$