10. 「新考向数学文化」如图所示的是由七巧板拼成的小船，若点$A$的坐标为$(-1,2)$，点$B$的坐标为$(1,0)$，则点$C$的坐标为.

10.答案 (-2,-3)
解析 由点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(1,0),建立坐标系如图,则点C的坐标为(-2,-3).

11. 「2025青海西宁期末」在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(a,5)$，$B(0,b)$的距离为$4$，且直线$AB// x$轴，则$a + b$的算术平方根为.

11.答案 3或1
解析
∵点A(a,5),B(0,b)的距离为4,且直线AB //x轴,
∴|a - 0| = 4,b = 5,
∴a = 4或 - 4.
当a = 4时,a + b = 4 + 5 = 9,
∴a + b的算术平方根为3.
当a = - 4时,a + b = (-4) + 5 = 1,
∴a + b的算术平方根为1.
综上,a + b的算术平方根为3或1.

12. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$在$x$轴上，点$B(0,10)$，将$△ ABO$向右平移$4$个单位得到$△ CDF$，边$CD$与$y$轴交于点$E$，若图中阴影部分面积为$24$，则$C$点坐标为.

12.答案 (-1,0)
解析
∵△ABO向右平移4个单位得到△CDF,B(0,10),
∴D(4,10),AC = OF = 4,AB = CD,OB = DF = 10,由平移可得S△ABO = S△CDF,
∴S阴影 = S梯形OEDF = $\frac{1}{2}$(OE + DF)·OF = $\frac{1}{2}$(OE + 10)×4 = 24,
∴OE = 2,设OC = m,则OA = m + 4,
∴S阴影 = S△ABO - S△CEO = $\frac{1}{2}$×10(m + 4) - $\frac{1}{2}$×2m = 24,解得m = 1,
∴C(-1,0).

三、解答题(共36分)
13. 「2025河北承德兴隆期中」(12分)如图，这是某学校的平面示意图，大门的位置为$(3,-1)$，食堂的位置为$(-2,4)$.
(1) 根据所给的条件在图中建立适当的平面直角坐标系.
(2) 在图中标出图书馆$(5,4)$的位置.
(3) 用坐标表示位置：宿舍楼，实验室.

13.解析 (1)建立的平面直角坐标系如图所示.

(2)图书馆的位置如图所示.
(3)由图可知,宿舍楼的坐标为(-3,1),实验室的坐标为(4,3).

14. 「2025河南商丘民权期中」(12分)如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4,0)，C点的坐标为(0,5)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O—C—B—A—O的路线移动(即沿着长方形移动一周).
(1) 写出点B的坐标：()，).
(2) 当点P移动了4秒时，求点P的坐标.
(3) 在点P移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间.

14.解析 (1)4;5.
(2)当点P移动了4秒时,点P移动了4×2 = 8个单位长度,
∵C点的坐标为(0,5),
∴OC = 5,
∵8 - 5 = 3,
∴点P在线段BC上,且CP = 3,
∴点P的坐标为(3,5).
(3)当点P在OC上时,OP = 4,
此时所用时间为4÷2 = 2(秒);
当点P在AB上时,AP = 4,BP = 1,
∵A点的坐标为(4,0),
∴OA = CB = 4,
∵C点的坐标为(0,5),
∴OC = 5,
∴OC + CB + BP = 5 + 4 + 1 = 10,
∴所用时间为10÷2 = 5(秒).
综上所述,当点P移动2秒或5秒时,点P到x轴的距离为4个单位长度.

15. (12分)如图，将三角形$ABC$平移，得到三角形$A_1B_1C_1$，三角形$ABC$上任意一点$P(x_0,y_0)$平移后的对应点为$P_1(x_0 - 2,y_0 + 3)$.
(1) $A_1$，$B_1$，$C_1$三点的坐标分别为，，，画出三角形$A_1B_1C_1$.
(2) 三角形$ABC$的面积为.
(3) 已知点$Q$在$y$轴上，且三角形$QAB$的面积等于三角形$ABC$的面积，求点$Q$的坐标.

15.解析 (1)
∵点P(x₀,y₀)平移后的对应点为P₁(x₀ - 2,y₀ + 3),
∴三角形ABC向左平移2个单位,再向上平移3个单位后,得到三角形A₁B₁C₁,
∴A₁(-2,5),B₁(2,3),C₁(-3,2).
三角形A₁B₁C₁如图所示:

(2)三角形ABC的面积 = 3×5 - $\frac{1}{2}$×1×3 - $\frac{1}{2}$×4×2 - $\frac{1}{2}$×5×1 = 7,故答案为7.
(3)设点Q的坐标为(0,y),
则三角形QAB的面积 = $\frac{1}{2}$×|y - 2|×4 = 7,
解得y = $\frac{11}{2}$或y = - $\frac{3}{2}$,
∴点Q的坐标为(0,$\frac{11}{2}$)或(0,- $\frac{3}{2}$).