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8. 新趋势 传统文化 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十. 今将钱三十，得酒二斗. 问醇、行酒各得几何?”其大意如下：今有醇酒(优质酒)1 斗，价值 50 钱；行酒(劣质酒)1 斗，价值 10 钱. 现用 30 钱，买得 2 斗酒. 问醇酒、行酒各能买得多少? 设醇酒为 $ x $ 斗，行酒为 $ y $ 斗，根据题意，可列方程组为.
答案
8. $\{\begin{array}{l} x + y = 2,\\ 50x + 10y = 30\end{array} $
9. 新趋势 情境素材 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为 3 km，超过 3 km 的部分按路程(不足 1 km 按 1 km 计算)另收费. 甲说：“我乘这种出租车行驶了 11 km，付了 20 元.”乙说：“我乘这种出租车行驶了 23 km，付了 38 元.”这种出租车的起步价是
8
元，超过 3 km 后每千米收费1.5
元.答案
9. 8 1.5
10. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它自身长度的$\frac{1}{3}$，另一根露出水面的长度是它自身长度的$\frac{1}{5}$. 若两根铁棒长度之和为 220 cm，则此时木桶中水的深度为
80
cm.答案
10. 80 解析:设较长铁棒的长度为x cm,较短铁棒的长度为y cm.由题意,得$\{\begin{array}{l} x + y = 220,\\ \frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 120,\\ y = 100,\end{array} $则$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3}×120 = 80$.故此时木桶中水的深度为80 cm.
·易错警示·
要找准题中的等量关系.
·易错警示·
要找准题中的等量关系.
11. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两. 问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银子；2 头牛、5 只羊，值 16 两银子. 问每头牛、每只羊分别值多少两银子?”根据以上译文，解答以下两个问题：
(1) 每头牛、每只羊各值多少两银子?
(2) 若某商人准备用 19 两银子买牛和羊(要求既有牛又有羊，且银两恰好全部用完)，则该商人共有几种购买方法? 列出所有的可能.
(1) 每头牛、每只羊各值多少两银子?
(2) 若某商人准备用 19 两银子买牛和羊(要求既有牛又有羊，且银两恰好全部用完)，则该商人共有几种购买方法? 列出所有的可能.
答案
11. (1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子.由题意,得$\{\begin{array}{l} 5x + 2y = 19,\\ 2x + 5y = 16,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 2.\end{array} $故每头牛值3两银子,每只羊值2两银子.
(2)设该商人购买a头牛和b只羊.由题意,得$3a + 2b = 19$.因为a,b都是正整数,所以$\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = 8\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 3,\\ b = 5\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 5,\\ b = 2.\end{array} $故该商人共有3种购买方法:①1头牛和8只羊;②3头牛和5只羊;③5头牛和2只羊.
(2)设该商人购买a头牛和b只羊.由题意,得$3a + 2b = 19$.因为a,b都是正整数,所以$\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = 8\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 3,\\ b = 5\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 5,\\ b = 2.\end{array} $故该商人共有3种购买方法:①1头牛和8只羊;②3头牛和5只羊;③5头牛和2只羊.
12. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是 7. 如果把这个两位数加上 45，恰好等于把个位上的数字和十位上的数字对调后组成的数，那么这个两位数是(
A.16
B.25
C.52
D.61
A
)A.16
B.25
C.52
D.61
答案
12. A 解析:设这个两位数十位和个位上的数字分别为x和y.由题意,得$\{\begin{array}{l} x + y = 7,\\ 10x + y + 45 = 10y + x,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 6.\end{array} $故这个两位数是16.
13. (2023·山东泰安改编)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何?”意思如下：甲袋中装有黄金 9 枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银 11 枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两? 设每枚黄金重 $ x $ 两，每枚白银重 $ y $ 两，根据题意可列方程组为.
答案
13. $\{\begin{array}{l} 9x = 11y,\\ (10y + x) - (8x + y) = 13\end{array} $
14. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒 10 支，如果整盒买比单支买每支可优惠 0.5 元. 小贤要买 3 支笔芯和 2 本笔记本，需花费 19 元；小艺要买 7 支笔芯和 1 本笔记本，需花费 26 元.
(1) 求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
(2) 小贤和小艺都还想再买一件单价为 3 元/件的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩 2 元钱. 他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过计算说明.
(1) 求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
(2) 小贤和小艺都还想再买一件单价为 3 元/件的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩 2 元钱. 他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过计算说明.
答案
14. (1)设笔记本的单价为x元/本,单独购买一支笔芯的价格为y元.由题意,得$\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 19,\\ x + 7y = 26,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 3.\end{array} $故笔记本的单价为5元/本,单独购买一支笔芯的价格为3元.
(2)由题意,得小贤和小艺带的总钱数为$19 + 26 + 2 = 47$(元),两人合起来需购买$3 + 7 = 10$(支)笔芯和$2 + 1 = 3$(本)笔记本,需花费$5×3 + (3 - 0.5)×10 = 40$(元),所以两人还剩下$47 - 40 = 7$(元).因为$3×2 = 6$(元),且$6 ＜ 7$,所以两人合起来购买笔记本和笔芯,才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品.
(2)由题意,得小贤和小艺带的总钱数为$19 + 26 + 2 = 47$(元),两人合起来需购买$3 + 7 = 10$(支)笔芯和$2 + 1 = 3$(本)笔记本,需花费$5×3 + (3 - 0.5)×10 = 40$(元),所以两人还剩下$47 - 40 = 7$(元).因为$3×2 = 6$(元),且$6 ＜ 7$,所以两人合起来购买笔记本和笔芯,才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品.
