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12. 计算：$(-a^{3})^{4}÷ a^{6}=$
$a^{6}$
。答案
12. $a^{6}$
13. 若$3^{m}=4$，$3^{m-4n}=\frac{4}{81}$，则$2025^{n}=$
2025
。答案
13. 2025
14. 若$10^{m}=0.2$，$10^{n}=4$，则$3^{n}÷9^{m}=$
9
。答案
14. 9 解析：因为 $10^{m} = 0.2$，$10^{n} = 4$，所以 $10 × 10^{m} = 2$，$10^{n} = 2^{2}$，所以 $10^{m + 1} = 2$，则 $10^{n} = (10^{m + 1})^{2}$，所以 $10^{n} = 10^{2m + 2}$，所以 $n = 2m + 2$，所以 $n - 2m = 2$，所以 $3^{n} ÷ 9^{m} = 3^{n} ÷ 3^{2m} = 3^{n - 2m} = 3^{2} = 9$．
15. 计算：
（1）$[a^{3}·(-a^{4})]^{3}÷(a^{2})^{3}$；
（2）$(x+y)^{6}÷(x+y)^{4}-[(x+y)^{4}]^{2}÷(y+x)^{6}$。
（1）$[a^{3}·(-a^{4})]^{3}÷(a^{2})^{3}$；
（2）$(x+y)^{6}÷(x+y)^{4}-[(x+y)^{4}]^{2}÷(y+x)^{6}$。
答案
15. （1）原式 $= (-a^{7})^{3} ÷ a^{6} = -a^{21} ÷ a^{6} = -a^{15}$．
（2）原式 $= (x + y)^{2} - (x + y)^{8} ÷ (x + y)^{6} = (x + y)^{2} - (x + y)^{2} = 0$．
（2）原式 $= (x + y)^{2} - (x + y)^{8} ÷ (x + y)^{6} = (x + y)^{2} - (x + y)^{2} = 0$．
16. 已知$5×100^{x}=1$，$10^{y}=200$，求$3^{y}÷9^{x}$的值。
答案
16. 因为 $5 × 100^{x} = 1$，所以 $100^{x} = \dfrac{1}{5}$，所以 $(10^{2})^{x} = \dfrac{1}{5}$，所以 $10^{2x} = \dfrac{1}{5}$．因为 $10^{y} = 200$，所以 $10^{y} ÷ 10^{2x} = 1000$，所以 $10^{y - 2x} = 10^{3}$，所以 $y - 2x = 3$，所以 $3^{y} ÷ 9^{x} = 3^{y} ÷ 3^{2x} = 3^{y - 2x} = 3^{3} = 27$．
17. 已知$a^{3m}=64$，$a^{n}=8$，求代数式$(a^{3n-2m}-33)^{201}$的值。
答案
17. 因为 $a^{3m} = 64$，所以 $a^{m} = 4$．因为 $a^{n} = 8$，所以 $a^{3n - 2m} = a^{3n} ÷ a^{2m} = (a^{n})^{3} ÷ (a^{m})^{2} = 8^{3} ÷ 4^{2} = 32$，所以 $(a^{3n - 2m} - 33)^{201} = (32 - 33)^{201} = (-1)^{201} = -1$．
18. 已知$3^{2}·9^{2x+1}÷27^{x+1}=81$，则$x$的值为(
A.2
B.3
C.4
D.6
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案
18. B 解析：因为 $3^{2} · 9^{2x + 1} ÷ 27^{x + 1} = 81$，所以 $3^{2} · 3^{4x + 2} ÷ 3^{3x + 3} = 81$，所以 $3^{4x + 4} ÷ 3^{3x + 3} = 3^{4}$，所以 $3^{x + 1} = 3^{4}$，所以 $x + 1 = 4$，解得 $x = 3$．
19. (2025·江苏盐城期中)如果$2^{x}÷16^{y}=8$，那么$2x-8y=$
6
。答案
19. 6 解析：因为 $2^{x} ÷ 16^{y} = 8$，所以 $2^{x} ÷ 2^{4y} = 2^{3}$，所以 $2^{x - 4y} = 2^{3}$，所以 $x - 4y = 3$，所以 $2x - 8y = 2(x - 4y) = 2 × 3 = 6$．
20. 新素养 抽象能力 我们知道，同底数幂的除法法则为$a^{m}÷ a^{n}=a^{m-n}$(其中$a≠0$，$m$，$n$为正整数，$m＞n$)。类似地，现规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$h(m-n)=h(m)÷ h(n)$。若$h(1)=2$，则$h(2025)÷ h(2017)=$
256
。答案
20. 256 解析：因为 $h(m - n) = h(m) ÷ h(n)$，所以 $h(1) = h(2 - 1) = h(2) ÷ h(1) = 2$，所以 $h(2) = 4 = 2^{2}$．同理，得 $h(1) = h(3 - 2) = h(3) ÷ h(2) = 2$，则 $h(3) = 2^{3}$．依此类推，得 $h(n) = 2^{n}$，所以 $h(2025) ÷ h(2017) = 2^{2025} ÷ 2^{2017} = 2^{8} = 256$．
21. 新素养 推理能力 阅读下列材料，解答问题。
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(1550—1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系。
对数的定义：一般地，如果$a^{x}=N$($a＞0$且$a≠1$)，那么$x$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_{a}N$。比如指数式$2^{4}=16$可以转化为对数式$4=\log_{2}16$，对数式$2=\log_{5}25$可以转化为指数式$5^{2}=25$。
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：$\log_{a}(M· N)=\log_{a}M+\log_{a}N$($a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)。理由如下：设$\log_{a}M=m$，$\log_{a}N=n$，则$M=a^{m}$，$N=a^{n}$，所以$M· N=a^{m}· a^{n}=a^{m+n}$。由对数的定义，得$m+n=\log_{a}(M· N)$。又$m+n=\log_{a}M+\log_{a}N$，所以$\log_{a}(M· N)=\log_{a}M+\log_{a}N$。
(1)将指数式$3^{4}=81$转化为对数式是
(2)试说明：$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$($a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)；
(3)拓展运用：计算$\log_{6}9+\log_{6}8-\log_{6}2$的结果是
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(1550—1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系。
对数的定义：一般地，如果$a^{x}=N$($a＞0$且$a≠1$)，那么$x$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_{a}N$。比如指数式$2^{4}=16$可以转化为对数式$4=\log_{2}16$，对数式$2=\log_{5}25$可以转化为指数式$5^{2}=25$。
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：$\log_{a}(M· N)=\log_{a}M+\log_{a}N$($a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)。理由如下：设$\log_{a}M=m$，$\log_{a}N=n$，则$M=a^{m}$，$N=a^{n}$，所以$M· N=a^{m}· a^{n}=a^{m+n}$。由对数的定义，得$m+n=\log_{a}(M· N)$。又$m+n=\log_{a}M+\log_{a}N$，所以$\log_{a}(M· N)=\log_{a}M+\log_{a}N$。
(1)将指数式$3^{4}=81$转化为对数式是
$4 = \log_{3}81$
；(2)试说明：$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$($a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)；
(3)拓展运用：计算$\log_{6}9+\log_{6}8-\log_{6}2$的结果是
2
。答案
21. （1）$4 = \log_{3}81$
（2）设 $\log_{a}M = m$，$\log_{a}N = n$，则 $M = a^{m}$，$N = a^{n}$，所以 $\dfrac{M}{N} = \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$．由对数的定义，得 $m - n = \log_{a}\dfrac{M}{N}$．又 $m - n = \log_{a}M - \log_{a}N$，所以 $\log_{a}\dfrac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N(a ＞ 0$ 且 $a ≠ 1$，$M ＞ 0$，$N ＞ 0)$．
（3）2 解析：由题意，得原式 $= \log_{6}(9 × 8 ÷ 2) = \log_{6}36 = 2$．
（2）设 $\log_{a}M = m$，$\log_{a}N = n$，则 $M = a^{m}$，$N = a^{n}$，所以 $\dfrac{M}{N} = \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$．由对数的定义，得 $m - n = \log_{a}\dfrac{M}{N}$．又 $m - n = \log_{a}M - \log_{a}N$，所以 $\log_{a}\dfrac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N(a ＞ 0$ 且 $a ≠ 1$，$M ＞ 0$，$N ＞ 0)$．
（3）2 解析：由题意，得原式 $= \log_{6}(9 × 8 ÷ 2) = \log_{6}36 = 2$．
