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一、选择题
1. 下列方程中，是分式方程的是(
A.$\frac{1}{3}(x - 1) = 6$
B.$\frac{x + 2}{7} = \frac{x + 1}{5}$
C.$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$($a$，$b$为常数)
D.$\frac{x - 1}{x} = 0$
1. 下列方程中，是分式方程的是(
D
)。A.$\frac{1}{3}(x - 1) = 6$
B.$\frac{x + 2}{7} = \frac{x + 1}{5}$
C.$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$($a$，$b$为常数)
D.$\frac{x - 1}{x} = 0$
答案
1. D
解析
分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A选项：$\frac{1}{3}(x - 1) = 6$，分母为常数，不是分式方程。
B选项：$\frac{x + 2}{7} = \frac{x + 1}{5}$，分母为常数，不是分式方程。
C选项：$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$（$a$，$b$为常数），分母为常数，不是分式方程。
D选项：$\frac{x - 1}{x} = 0$，分母含有未知数$x$，是分式方程。
D
A选项：$\frac{1}{3}(x - 1) = 6$，分母为常数，不是分式方程。
B选项：$\frac{x + 2}{7} = \frac{x + 1}{5}$，分母为常数，不是分式方程。
C选项：$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$（$a$，$b$为常数），分母为常数，不是分式方程。
D选项：$\frac{x - 1}{x} = 0$，分母含有未知数$x$，是分式方程。
D
2. 方程$\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3x}{1 - x}$去分母，两边同乘$(x - 1)$后的式子为(
A.$1 + 3 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 3(x - 1) = -3x$
C.$x - 1 + 3 = -3x$
D.$1 + 3(x - 1) = 3x$
B
)。A.$1 + 3 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 3(x - 1) = -3x$
C.$x - 1 + 3 = -3x$
D.$1 + 3(x - 1) = 3x$
答案
2. B
解析
方程两边同乘$(x - 1)$，得：$1 + 3(x - 1) = -3x$，答案选B。
3. 下列说法错误的是(
A.分式方程的解等于 0，就说明这个分式方程无解
B.解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C.检验是解分式方程必不可少的步骤
D.使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的根
A
)。A.分式方程的解等于 0，就说明这个分式方程无解
B.解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C.检验是解分式方程必不可少的步骤
D.使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的根
答案
3. A
二、填空题
4. 方程$\frac{2x}{x - 2} = 1$的解是
4. 方程$\frac{2x}{x - 2} = 1$的解是
$ x = - 2 $
。答案
4. $ x = - 2 $
解析
解：方程两边同乘$x - 2$，得$2x = x - 2$，解得$x = - 2$。经检验，$x = - 2$是原方程的解。$x = - 2$
5. 若关于$x$的方程$\frac{mx - 1}{x - 1} = 3$无解，则$m$的值为
1 或 3
。答案
5. 1 或 3
解析
解：方程两边同乘$x - 1$，得$mx - 1 = 3(x - 1)$，整理得$(m - 3)x = -2$。
情况一：当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，方程$0x = -2$无解，原方程无解。
情况二：当$m - 3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$时，$x = \frac{-2}{m - 3}$。若原方程无解，则$x - 1 = 0$，即$x = 1$，所以$\frac{-2}{m - 3} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$或$3$。
情况一：当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，方程$0x = -2$无解，原方程无解。
情况二：当$m - 3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$时，$x = \frac{-2}{m - 3}$。若原方程无解，则$x - 1 = 0$，即$x = 1$，所以$\frac{-2}{m - 3} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$或$3$。
6. 若关于$x$的分式方程$\frac{m + 4}{x - 3} = \frac{3x}{x - 3} + 2$有增根，则$m$的值为
5
。答案
6. 5
解析
解：方程两边同乘$x - 3$，得$m + 4 = 3x + 2(x - 3)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$m + 4 = 3x + 2(x - 3)$，得$m + 4 = 3×3 + 2×(3 - 3)$，解得$m = 5$。
5
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$m + 4 = 3x + 2(x - 3)$，得$m + 4 = 3×3 + 2×(3 - 3)$，解得$m = 5$。
5
三、解答题
7. 解方程$\frac{2x - 5}{x - 2} = \frac{3x - 3}{x - 2} - 3$。
7. 解方程$\frac{2x - 5}{x - 2} = \frac{3x - 3}{x - 2} - 3$。
答案
7. $ x = 4 $
解析
解：方程两边同乘$x - 2$，得$2x - 5 = 3x - 3 - 3(x - 2)$，
去括号，得$2x - 5 = 3x - 3 - 3x + 6$，
合并同类项，得$2x - 5 = 3$，
移项，得$2x = 8$，
解得$x = 4$，
检验：当$x = 4$时，$x - 2 = 2 ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = 4$。
去括号，得$2x - 5 = 3x - 3 - 3x + 6$，
合并同类项，得$2x - 5 = 3$，
移项，得$2x = 8$，
解得$x = 4$，
检验：当$x = 4$时，$x - 2 = 2 ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = 4$。
