1. 已知抛物线$y = x^{2} - 2x - 8$与$x$轴交于点$A$，$B$(点$A$在点$B$左侧)，与$y$轴交于点$C$，$D$是抛物线的顶点，则点$A$的坐标为，点$B$的坐标为，点$C$的坐标为，点$D$的坐标为。

$A(-2,0)$；$B(4,0)$；$C(0,-8)$；$D(1,-9)$（按照题目顺序在相应位置填写答案）

1. 求点$A$、$B$的坐标：
抛物线与$x$轴相交时，$y = 0$，即$x^{2}-2x - 8=0$，因式分解得$(x - 4)(x + 2)=0$，则$x - 4 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。
因为点$A$在点$B$左侧，所以$A(-2,0)$，$B(4,0)$。
2. 求点$C$的坐标：
抛物线与$y$轴相交时，$x = 0$，把$x = 0$代入$y = x^{2}-2x - 8$得$y=-8$，所以$C(0,-8)$。
3. 求点$D$的坐标：
将抛物线$y = x^{2}-2x - 8$化为顶点式，$y=x^{2}-2x - 8=(x - 1)^{2}-9$，所以顶点$D$的坐标为$(1,-9)$。

2. 抛物线$y = ax^{2} + 2ax + c$的对称轴是直线。

直线$x = - 1$（题目中下划线为填空形式，答案以$x = - 1$呈现）。

对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，其对称轴公式为$x=- \frac{b}{2a}$，在抛物线$y = ax^{2} + 2ax + c$中，$b=2a$，将$b=2a$代入对称轴公式可得：$x=- \frac{2a}{2a}=-1$。

3. 已知抛物线$y = a(x - 2)(x - 3)$，该抛物线的对称轴是直线。若$A$，$B$是抛物线上两点，点$A$在对称轴左侧，且到对称轴的距离为$3$，则点$A$的横坐标为；点$B$在对称轴右侧，且到对称轴的距离为$4$，则点$B$的横坐标为。

直线$x = 2.5$；$-0.5$；$6.5$

对于抛物线$y = a(x - 2)(x - 3)$，其与$x$轴交点为$(2,0)$，$(3,0)$。
根据对称轴公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$（$x_1,x_2$为抛物线与$x$轴交点横坐标），可得对称轴为$x = \frac{2 + 3}{2}=\frac{5}{2}=2.5$。
设点$A$的横坐标为$x_A$，点$A$在对称轴左侧且到对称轴距离为$3$，则$2.5 - x_A = 3$，解得$x_A=-0.5$。
设点$B$的横坐标为$x_B$，点$B$在对称轴右侧且到对称轴距离为$4$，则$x_B - 2.5 = 4$，解得$x_B = 6.5$。

4. 已知抛物线的对称轴为直线$x = 2$，点$A$，$B$均在抛物线上，且点$A$在点$B$左侧，$AB = 4$，$AB // x$轴，则点$A$的横坐标为，点$B$的横坐标为。

0,4

因为抛物线对称轴为直线$x=2$，$AB// x$轴且$AB=4$，所以点$A$、$B$关于直线$x=2$对称。设点$A$的横坐标为$x$，则点$B$的横坐标为$2+(2 - x)=4 - x$。又因为$AB=4$，且点$A$在点$B$左侧，所以$4 - x - x=4$，解得$x=0$，则点$B$的横坐标为$4 - 0=4$。

5. 已知抛物线$y = x^{2} - 2x + 1$，当$0 \leq x \leq 5$时，$y$的最小值为，最大值为。

最小值填0；最大值填16（按照题目要求横线处依次填写0；16 ）

将抛物线$y = x^{2} - 2x + 1$化为顶点式：$y=(x - 1)^{2}$，由此可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$。
当$x = 1$时，$y$有最小值$0$；
分别计算区间端点$x = 0$和$x = 5$时的函数值，当$x = 0$时，$y=(0 - 1)^{2}=1$；当$x = 5$时，$y=(5 - 1)^{2}=16$。
比较可得当$x = 5$时，$y$有最大值$16$。

6. 已知抛物线$y = x^{2} + 2x + 1$，若点$D(m, 2m + 2)$在抛物线上，则点$D$的坐标为。

$(1,4)$或$(-1,0)$（按照题目要求这里应写坐标形式，若为选择题需根据选项填字母）

因为点$D(m,2m + 2)$在抛物线$y = x^{2}+2x + 1$上，所以将点$D$的坐标代入抛物线方程可得：$2m + 2=m^{2}+2m + 1$，移项可得$m^{2}=1$，解得$m=\pm1$。当$m = 1$时，$2m+2=2×1 + 2=4$；当$m=-1$时，$2m + 2=2×(-1)+2=0$。所以点$D$的坐标为$(1,4)$或$(-1,0)$。

7. 将抛物线$y = (x + 2)^{2} + 1$先向左平移$2$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是。

$(-4,-2)$

原抛物线$y=(x + 2)^2 + 1$的顶点坐标为$(-2,1)$。向左平移$2$个单位长度，顶点横坐标变为$-2 - 2 = -4$；再向下平移$3$个单位长度，顶点纵坐标变为$1 - 3 = -2$。得到的抛物线的顶点坐标是$(-4,-2)$。

8. 如图，已知抛物线$y = x^{2} - 4x - 12$，点$P(-4, 2)$向右平移$k$个单位长度得到点$Q$，则点$Q$的坐标为(用含$k$的式子表示)。若点$Q$恰好在抛物线上，当点$Q$落在点$Q_{1}$的位置时，$k$的值为，当点$Q$落在点$Q_{2}$的位置时，$k$的值为。

(-4+k,2)；6-3√2；6+3√2

点P(-4,2)向右平移k个单位长度，横坐标加k，纵坐标不变，所以点Q的坐标为(-4+k,2)。若点Q在抛物线上，则将Q坐标代入抛物线方程得2=(-4+k)²-4(-4+k)-12，化简得(k-4)²+16-4k-12=2，即k²-8k+16+4-4k=2，k²-12k+18=0，解得k=6±3√2。由图可知Q₁在y轴左侧，Q₂在y轴右侧，所以k₁=6-3√2，k₂=6+3√2。

1. （2025 辽宁节选）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y_{1} = -\frac{1}{4}(x - 1)^{2} + 1$的图象与$x$轴的正半轴相交于点$A$，二次函数$y_{2} = ax^{2} + c$的图象经过点$A$，且与二次函数$y_{1}$的图象的另一个交点为$B$，点$B$的横坐标为$-\frac{7}{3}$。
（1）求点$A$的坐标及$a$，$c$的值。

（2）二次函数$y_{1} = -\frac{1}{4}(x - 1)^{2} + 1\left(-\frac{7}{3} \leq x ＜ 3\right)$与二次函数$y_{2} = ax^{2} + c(x \geq 3)$组成新函数$y_{3}$，当$-\frac{7}{3} \leq x \leq t - n$时，函数$y_{3}$的最小值为$\frac{11}{9} - \frac{5}{t}$，最大值为$\frac{8}{3} - t$，求$n$的取值范围。

（3）在抛物线上任取两点$(x_{1}, y_{1})$，$(x_{2}, y_{2})$，当$a \leq x_{1} ＜ x_{2} \leq a + 2$时，总有$y_{1} ＞ y_{2}$，求$a$的取值范围。

（1）$A(3,0)$，$a=\frac{1}{2}$，$c=-\frac{9}{2}$；（2）$[-\frac{4}{3},\frac{2}{3}]$；（3）$a\geq1$

（1）令$y_1=0$，则$-\frac{1}{4}(x-1)^2+1=0$，解得$x=3$或$x=-1$，$A(3,0)$。将$A(3,0)$代入$y_2=ax^2+c$得$9a+c=0$。当$x=-\frac{7}{3}$时，$y_1=-\frac{16}{9}$，代入$y_2$得$\frac{49}{9}a+c=-\frac{16}{9}$，联立解得$a=\frac{1}{2}$，$c=-\frac{9}{2}$。
（2）$y_3$在$[-\frac{7}{3},3)$为$y_1$（顶点$(1,1)$，$B(-\frac{7}{3},-\frac{16}{9})$），在$[3,+\infty)$为$y_2$（递增）。由最值得$t=\frac{5}{3}$，$t-n\in[1,3]$，解得$n\in[-\frac{4}{3},\frac{2}{3}]$。
（3）$y_1$开口向下，对称轴$x=1$。区间$[a,a+2]$递减需$a\geq1$，故$a\geq1$。