8. (2025 广西)综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动. 九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图 1).
初始时，矩形义卖区 $ABCD$ 与遮阳伞投影 $□ MNPQ$ 的平面图如图 2 所示，$P$ 在 $AD$ 上，$MN = 3$ m，$AN = 1$ m，$AP = 2$ m，$AB = 3$ m，$BC = 2.5$ m. 由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞. 在移动过程中，$□ MNPQ$ 也随之移动($MN$ 始终在 $AB$ 边所在直线 $l$ 上). 且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状. 如图 3 为 $□ MNPQ$ 移动到 $P$ 落在 $BC$ 上的情形.
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 $□ MNPQ$ 的位置.
设遮阳区的面积为 $S$ $m^{2}$，$□ MNPQ$ 从初始时向右移动的距离为 $x$ m.
【直观感知】(1) 从初始起右移至图 3 情形的过程中，$S$ 随 $x$ 的增大如何变化？
【初步探究】(2) 求图 3 情形的 $x$ 与 $S$ 的值.
【深入研究】(3) 从图 3 情形起右移至 $M$ 与 $A$ 重合，求该过程中 $S$ 关于 $x$ 的解析式.
【问题解决】(4) 当遮阳区面积最大时，$□ MNPQ$ 向右移动了多少？(直接写出结果)
树人中学组织一次“爱心义卖”活动. 九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图 1).
初始时，矩形义卖区 $ABCD$ 与遮阳伞投影 $□ MNPQ$ 的平面图如图 2 所示，$P$ 在 $AD$ 上，$MN = 3$ m，$AN = 1$ m，$AP = 2$ m，$AB = 3$ m，$BC = 2.5$ m. 由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞. 在移动过程中，$□ MNPQ$ 也随之移动($MN$ 始终在 $AB$ 边所在直线 $l$ 上). 且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状. 如图 3 为 $□ MNPQ$ 移动到 $P$ 落在 $BC$ 上的情形.
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 $□ MNPQ$ 的位置.
设遮阳区的面积为 $S$ $m^{2}$，$□ MNPQ$ 从初始时向右移动的距离为 $x$ m.
【直观感知】(1) 从初始起右移至图 3 情形的过程中，$S$ 随 $x$ 的增大如何变化？
【初步探究】(2) 求图 3 情形的 $x$ 与 $S$ 的值.
【深入研究】(3) 从图 3 情形起右移至 $M$ 与 $A$ 重合，求该过程中 $S$ 关于 $x$ 的解析式.
【问题解决】(4) 当遮阳区面积最大时，$□ MNPQ$ 向右移动了多少？(直接写出结果)
答案
$(1)$ $S$随$x$的增大先增大后减小
$(2)$ 求图$3$情形的$x$与$S$的值
解：
求$x$的值：
在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 2.5m$，$AB = 3m$，$AP = 2m$。
在图$3$中，过点$P$作$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ MN$于点$F$。
因为四边形$MNPQ$是平行四边形，$MN// PQ$，$AD// BC$，所以$\triangle APN∼\triangle BPE$。
$AN = 1m$，$AP = 2m$，$AD = 2.5m$，则$PD=AD - AP=2.5 - 2 = 0.5m$。
因为$PQ = MN = 3m$，所以$x=MN - AN+PD=3 - 1+0.5 = 2.5m$。
求$S$的值：
此时遮阳区是一个直角梯形，上底$AN = 1m$，下底$MN = 3m$，高$AP = 2m$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（其中$a$、$b$ 为上、下底，$h$为高），可得$S=\frac{(1 + 3)×2}{2}=4m^{2}$。
$(3)$ 求该过程中$S$关于$x$的解析式
解：
当从图$3$情形起右移至$M$与$A$重合时，移动距离为$x$（$2.5\leqslant x\leqslant3$）。
设$MQ$与$AD$交于点$E$，$NP$与$AD$交于点$F$。
$AF = 2-(x - 2.5)=4.5 - x$，$EF = 3$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(AF + EF)× AP}{2}$，把$AF = 4.5 - x$，$EF = 3$，$AP = 2$代入可得：
$S=\frac{(4.5 - x+3)×2}{2}=-x + 7.5$（$2.5\leqslant x\leqslant3$）。
$(4)$ 当遮阳区面积最大时，$□ MNPQ$向右移动的距离
$1.5m$或$3m$ 。
当$0\leqslant x\leqslant2.5$时，$S$随$x$增大而增大，当$x = 2.5$时，$S = 4$；当$x = 3$时，$S=-3 + 7.5=4.5$；
通过分析遮阳区的形状变化（三角形、梯形等情况），可知当$x = 1.5$时（遮阳区为矩形，长$3m$，宽$1.5m$），$S=3×1.5 = 4.5$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{S}$随$x$的增大先增大后减小；$(2)$$\boldsymbol{x = 2.5}$，$\boldsymbol{S = 4}$；$(3)$$\boldsymbol{S=-x + 7.5}$（$\boldsymbol{2.5\leqslant x\leqslant3}$）；$(4)$$\boldsymbol{1.5m}$或$\boldsymbol{3m}$。
$(2)$ 求图$3$情形的$x$与$S$的值
解：
求$x$的值：
在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 2.5m$，$AB = 3m$，$AP = 2m$。
在图$3$中，过点$P$作$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ MN$于点$F$。
因为四边形$MNPQ$是平行四边形，$MN// PQ$，$AD// BC$，所以$\triangle APN∼\triangle BPE$。
$AN = 1m$，$AP = 2m$，$AD = 2.5m$，则$PD=AD - AP=2.5 - 2 = 0.5m$。
因为$PQ = MN = 3m$，所以$x=MN - AN+PD=3 - 1+0.5 = 2.5m$。
求$S$的值：
此时遮阳区是一个直角梯形，上底$AN = 1m$，下底$MN = 3m$，高$AP = 2m$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（其中$a$、$b$ 为上、下底，$h$为高），可得$S=\frac{(1 + 3)×2}{2}=4m^{2}$。
$(3)$ 求该过程中$S$关于$x$的解析式
解：
当从图$3$情形起右移至$M$与$A$重合时，移动距离为$x$（$2.5\leqslant x\leqslant3$）。
设$MQ$与$AD$交于点$E$，$NP$与$AD$交于点$F$。
$AF = 2-(x - 2.5)=4.5 - x$，$EF = 3$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(AF + EF)× AP}{2}$，把$AF = 4.5 - x$，$EF = 3$，$AP = 2$代入可得：
$S=\frac{(4.5 - x+3)×2}{2}=-x + 7.5$（$2.5\leqslant x\leqslant3$）。
$(4)$ 当遮阳区面积最大时，$□ MNPQ$向右移动的距离
$1.5m$或$3m$ 。
当$0\leqslant x\leqslant2.5$时，$S$随$x$增大而增大，当$x = 2.5$时，$S = 4$；当$x = 3$时，$S=-3 + 7.5=4.5$；
通过分析遮阳区的形状变化（三角形、梯形等情况），可知当$x = 1.5$时（遮阳区为矩形，长$3m$，宽$1.5m$），$S=3×1.5 = 4.5$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{S}$随$x$的增大先增大后减小；$(2)$$\boldsymbol{x = 2.5}$，$\boldsymbol{S = 4}$；$(3)$$\boldsymbol{S=-x + 7.5}$（$\boldsymbol{2.5\leqslant x\leqslant3}$）；$(4)$$\boldsymbol{1.5m}$或$\boldsymbol{3m}$。
