1. (2025 郑州联考)如图，直线 $l_1// l_2// l_3$，直线 $AC$ 分别交 $l_1,l_2,l_3$ 于点 $A,B,C$；直线 $DF$ 分别交 $l_1,l_2,l_3$ 于点 $D,E,F$；$AC$ 与 $DF$ 相交于点 $H$，且 $AH = 4$，$HB = 2$，$BC = 10$，则 $\frac{DE}{EF} =$ (
A.$\frac{3}{5}$
B.$2$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
A
)A.$\frac{3}{5}$
B.$2$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
因为$l_1// l_2// l_3$，AC与DF交于点H。
由$l_1// l_2$，得$\triangle HAD\sim\triangle HBE$，相似比$\frac{AH}{HB}=\frac{4}{2}=2$，故$\frac{HD}{HE}=2$，设$HE=x$，则$HD=2x$，$DE=HD+HE=3x$。
由$l_2// l_3$，得$\triangle HBE\sim\triangle HCF$，相似比$\frac{HB}{HC}=\frac{2}{2+10}=\frac{1}{6}$，故$\frac{HE}{HF}=\frac{1}{6}$，则$HF=6x$，$EF=HF-HE=5x$。
因此$\frac{DE}{EF}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
由$l_1// l_2$，得$\triangle HAD\sim\triangle HBE$，相似比$\frac{AH}{HB}=\frac{4}{2}=2$，故$\frac{HD}{HE}=2$，设$HE=x$，则$HD=2x$，$DE=HD+HE=3x$。
由$l_2// l_3$，得$\triangle HBE\sim\triangle HCF$，相似比$\frac{HB}{HC}=\frac{2}{2+10}=\frac{1}{6}$，故$\frac{HE}{HF}=\frac{1}{6}$，则$HF=6x$，$EF=HF-HE=5x$。
因此$\frac{DE}{EF}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
2. 【跨学科】如图，五线谱是由五条等距离的平行横线组成的，同一条直线上的三个点 $A,B,C$ 都在横线上。若 $AB = 6$，则线段 $BC$ 的长是(
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
B
)A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
答案
B
解析
过点A作五线谱横线的垂线，设相邻横线距离为d，直线AC与横线夹角为θ。则AB在垂线上投影为AB·sinθ=6sinθ，对应2条间隔距离2d；BC在垂线上投影为BC·sinθ，对应1条间隔距离d。由6sinθ=2d，BC·sinθ=d，得BC=3。
3. (2025 河南，6)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，$\triangle ABC$ 的三个顶点均在网格线的交点上，点 $D,E$ 分别是边 $BA,CA$ 与网格线的交点，连接 $DE$，则 $DE$ 的长为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
B
解析
以点C为原点建立平面直角坐标系，可得各点坐标：C(0,0)，B(0,2)，A(4,2)。直线BA的解析式为y=2，直线CA的解析式为y=0.5x。点D是BA与网格线x=2的交点，故D(2,2)；点E是CA与网格线x=2的交点，将x=2代入CA解析式得y=1，故E(2,1)。DE的长为两点纵坐标差的绝对值，即|2-1|=1。
4. (2025 南阳三联)如图，已知 $\angle 1 =\angle 2$，添加下列各选项中的条件后，不能判定 $\triangle ABC∼\triangle ADE$ 的是(
A.$\angle B =\angle ADE$
B.$\angle C =\angle E$
C.$\frac{AB}{AD} =\frac{AC}{AE}$
D.$\frac{AB}{AD} =\frac{BC}{DE}$
D
)A.$\angle B =\angle ADE$
B.$\angle C =\angle E$
C.$\frac{AB}{AD} =\frac{AC}{AE}$
D.$\frac{AB}{AD} =\frac{BC}{DE}$
答案
D
解析
由∠1=∠2，可得∠BAC=∠DAE（∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠2+∠DAC）。
选项A：∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，两角对应相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项B：∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，两角对应相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项C：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE（夹角相等），两边成比例且夹角相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项D：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，BC与DE不是∠BAC和∠DAE的夹边，无法判定相似。
选项A：∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，两角对应相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项B：∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，两角对应相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项C：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE（夹角相等），两边成比例且夹角相等，可判定△ABC∽△ADE；
选项D：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，BC与DE不是∠BAC和∠DAE的夹边，无法判定相似。
5. (2024 河南，6)如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 为 $OC$ 的中点，$EF// AB$ 交 $BC$ 于点 $F$。若 $AB = 4$，则 $EF$ 的长为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
答案
B
解析
在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，所以AO=OC。点E为OC中点，故OE=EC=1/4AC。因为EF//AB，所以△CEF∽△CAB，相似比为CE/CA=1/4。又AB=4，所以EF=AB×1/4=1。
变式 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 边的中点，$AE$ 交对角线 $BD$ 于点 $F$，若 $S_{\triangle BEF} = 8$，则 $\triangle ADF$ 的面积为(
A.$9$
B.$18$
C.$32$
D.$36$
C
)A.$9$
B.$18$
C.$32$
D.$36$
答案
C
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC。
∵E是BC中点，∴BE=1/2BC=1/2AD，即AD:BE=2:1。
∵AD//BC，∴∠ADF=∠EBF，∠AFD=∠EFB（对顶角相等），
∴△ADF∽△EBF（两角对应相等，两三角形相似）。
相似比k=AD/BE=2，面积比为k²=4:1。
∵S△BEF=8，∴S△ADF=8×4=32。
∵E是BC中点，∴BE=1/2BC=1/2AD，即AD:BE=2:1。
∵AD//BC，∴∠ADF=∠EBF，∠AFD=∠EFB（对顶角相等），
∴△ADF∽△EBF（两角对应相等，两三角形相似）。
相似比k=AD/BE=2，面积比为k²=4:1。
∵S△BEF=8，∴S△ADF=8×4=32。
6. (2025 登封一模)小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是 $1:2$，若烛焰 $AC$ 的高是 $4\ cm$，则实像 $DB$ 的高是(
A.$12\ cm$
B.$8\ cm$
C.$6\ cm$
D.$5\ cm$
B
)A.$12\ cm$
B.$8\ cm$
C.$6\ cm$
D.$5\ cm$
答案
B
解析
根据题意，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比为 $1:2$。
设蜡烛到挡板的距离为 $x$，则挡板到屏幕的距离为 $2x$。
由于小孔成像的原理，烛焰 $AC$ 与其实像 $DB$ 之间的比例关系可以通过相似三角形的性质得出。
设实像 $DB$ 的高为 $h$，则根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AC}{DB} = \frac{x}{2x}$，
代入已知的 $AC = 4\mathrm{ cm}$，得：
$\frac{4}{h} = \frac{1}{2}$，
解这个方程，得到：
$h = 8\mathrm{ cm}$。
设蜡烛到挡板的距离为 $x$，则挡板到屏幕的距离为 $2x$。
由于小孔成像的原理，烛焰 $AC$ 与其实像 $DB$ 之间的比例关系可以通过相似三角形的性质得出。
设实像 $DB$ 的高为 $h$，则根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AC}{DB} = \frac{x}{2x}$，
代入已知的 $AC = 4\mathrm{ cm}$，得：
$\frac{4}{h} = \frac{1}{2}$，
解这个方程，得到：
$h = 8\mathrm{ cm}$。
7. (2025 长春)将直角三角形纸片 $ABC(\angle C = 90^{\circ})$ 按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是(
A.$MN// DE// PQ$
B.$BC = 2DE = 4MN$
C.$AN = BQ =\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE} =\frac{DE}{PQ} =\frac{PQ}{BC}$
D
)A.$MN// DE// PQ$
B.$BC = 2DE = 4MN$
C.$AN = BQ =\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE} =\frac{DE}{PQ} =\frac{PQ}{BC}$
答案
D
解析
由折叠性质及平行线分线段成比例定理，可知MN//DE//PQ（A正确）。设BC=a，折叠后DE为△ABC中位线，则DE=1/2a，MN为△ADE中位线，则MN=1/2DE=1/4a，故BC=2DE=4MN（B正确）。设AB上点N、E、Q，AN=1/4AB，QB=1/4AB，NQ=1/2AB，故AN=BQ=1/2NQ（C正确）。MN/DE=1/2，DE/PQ=1（若PQ=DE）或2/3（若PQ=3/4BC），PQ/BC=1/2或3/4，比例不相等（D错误）。
