1. (2025 开封一模)日晷仪也称日晷,是观测日影计时的仪器.它根据日影的位置,指定当时的时辰或刻数,是我国古代较为普遍使用的计时仪器.小东为了探究日晷的奥秘,在不同时刻对日晷进行了观察.如图,日晷的平面是以点 $ O $ 为圆心的圆,线段 $ BC $ 是日晷的底座,点 $ D $ 为日晷与底座的接触点(即 $ BC $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $ ).点 $ A $ 在 $ \odot O $ 上,$ OA $ 为某一时刻晷针的影长,$ AO $ 的延长线与 $ \odot O $ 交于点 $ E $,与 $ BC $ 交于点 $ B $,连接 $ AC $,$ OC $,$ CE $,已知 $ BD = CD = 3 \mathrm{dm} $,$ OA ⊥ AC $.
(1)求证:$ \angle B = \angle ACO $;
(2)求 $ CE $ 的长.

(1)见解析；(2)√3

(1)∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC，即∠ODB=90°。∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°。
∵BD=CD=3，OD⊥BC，∴OC²=OD²+CD²=OD²+9。
∵OA=OD=r（半径），在Rt△OAC中，OC²=OA²+AC²=r²+AC²，∴AC²=9，AC=3。
在Rt△OBD中，tan∠B=OD/BD=r/3；在Rt△OAC中，tan∠ACO=OA/AC=r/3。
∵∠B、∠ACO为锐角，∴∠B=∠ACO。
(2)∵B、O、A、E共线，AE为直径，∴∠ACE=90°（直径所对圆周角）。
∵∠BAC=180°-∠OAC=90°（OA⊥AC），在Rt△BAC中，BC=6，AC=3，
∴BA=√(BC²-AC²)=√(36-9)=3√3。设OA=OD=r，BO=x，则x+r=3√3。
在Rt△ODB中，x²-r²=BD²=9，即(x-r)(x+r)=9，∴x-r=9/(3√3)=√3。
联立{x+r=3√3, x-r=√3}，解得r=√3，∴AE=2r=2√3。
在Rt△ACE中，CE=√(AE²-AC²)=√[(2√3)²-3²]=√(12-9)=√3。

2. (2020 河南,20)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图 1 是它的示意图,其中 $ AB $ 与半圆 $ O $ 的直径 $ BC $ 在同一直线上,且 $ AB $ 的长度与半圆的半径相等,$ DB $ 与 $ AC $ 垂直于点 $ B $,$ DB $ 足够长.
使用方法如图 2 所示,若要把 $ \angle MEN $ 三等分,只需适当放置三分角器,使 $ DB $ 经过 $ \angle MEN $ 的顶点 $ E $,点 $ A $ 落在边 $ EM $ 上,半圆 $ O $ 与另一边 $ EN $ 恰好相切,切点为 $ F $,则 $ EB $,$ EO $ 就把 $ \angle MEN $ 三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图 2,点 $ A $,$ B $,$ O $,$ C $ 在同一直线上,$ EB ⊥ AC $,垂足为点 $ B $,.
求证:.

已知补充：AB=OB，点A在EM上，EN与半圆O相切于点F；求证：∠MEB=∠BEO=∠OEN。

已知补充：AB=OB，点A在EM上，EN与半圆O相切于点F。求证：∠MEB=∠BEO=∠OEN。
证明：设半圆O半径为r，则OB=OF=r。∵AB=OB，∴AB=r。∵EB⊥AC，∴∠EBA=∠EBO=90°。在Rt△EBA和Rt△EBO中，EA=√(EB²+AB²)=√(EB²+r²)，EO=√(EB²+OB²)=√(EB²+r²)，∴EA=EO，故∠EAO=∠EOA。∵∠EAO+∠MEB=90°，∠EOA+∠BEO=90°，∴∠MEB=∠BEO。∵EN切半圆O于F，∴OF⊥EN，∠OFE=90°。在Rt△EBO和Rt△EFO中，OB=OF，EO=EO，∴Rt△EBO≌Rt△EFO（HL），∴∠BEO=∠OEN。综上，∠MEB=∠BEO=∠OEN。