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1.《算法统宗》里有这样一道题:“我问开店李三公,众客都来到店中。一房七客多七客,一房九客一房空。”李三公家的店有
8
间客房,来了63
名房客。答案
1. 李三公家的店有8间客房，来了63名房客。
解析
【分析】
这是一道古典盈亏类数学应用题，可通过建立二元一次方程组求解。首先明确两个未知量：客房数量、房客数量，再从题干提取两个等量关系：①每间房住7名房客时，总房客数=7×客房数+剩余的7名房客；②每间房住9名房客时，有1间房空着，总房客数=9×(客房数-1)。设出未知数后根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
设李三公家的店有$ x $间客房，来了$ y $名房客。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}y = 7x + 7 \\y = 9(x - 1)\end{cases}$
联立两个方程得：
$ 7x + 7 = 9(x - 1) $
展开并整理得：
$ 7x + 7 = 9x - 9 $
$ 2x = 16 $
解得$ x = 8 $
将$ x = 8 $代入$ y = 7x + 7 $，得$ y = 7×8 + 7 = 63 $
【答案】
8；63
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题以古典数学著作为背景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题意，挖掘隐藏的等量关系建立方程模型，能很好地考查学生的阅读理解能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.75
这是一道古典盈亏类数学应用题，可通过建立二元一次方程组求解。首先明确两个未知量：客房数量、房客数量，再从题干提取两个等量关系：①每间房住7名房客时，总房客数=7×客房数+剩余的7名房客；②每间房住9名房客时，有1间房空着，总房客数=9×(客房数-1)。设出未知数后根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
设李三公家的店有$ x $间客房，来了$ y $名房客。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}y = 7x + 7 \\y = 9(x - 1)\end{cases}$
联立两个方程得：
$ 7x + 7 = 9(x - 1) $
展开并整理得：
$ 7x + 7 = 9x - 9 $
$ 2x = 16 $
解得$ x = 8 $
将$ x = 8 $代入$ y = 7x + 7 $，得$ y = 7×8 + 7 = 63 $
【答案】
8；63
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题以古典数学著作为背景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题意，挖掘隐藏的等量关系建立方程模型，能很好地考查学生的阅读理解能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.75
2.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问：人数、琎价各几何？”题目大意：几个人合伙买美石，若每人出$\frac{1}{2}$钱，则会多出4钱；若每人出$\frac{1}{3}$钱，则还少3钱。问人数、石价各是多少。设人数为$x$，石价为$y$，则可列方程组为。
答案
2. 可列方程组为$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-4,\\ y=\frac{1}{3}x+3 \end{cases}$。
解析
【分析】
本题要求根据题意列二元一次方程组，解题思路如下：首先明确题目已设未知数：人数为$x$，石价为$y$；接下来提取题目中的两个等量关系：①每人出$\frac{1}{2}$钱的总出资额减去多出的4钱，等于石价；②每人出$\frac{1}{3}$钱的总出资额加上还差的3钱，等于石价；最后将未知数代入两个等量关系，即可得到方程组。
【解析】
根据“若每人出$\frac{1}{2}$钱，则会多出4钱”，总出资额为$\frac{1}{2}x$，总出资额比石价多4，因此列方程：
$y=\frac{1}{2}x - 4$
根据“若每人出$\frac{1}{3}$钱，则还少3钱”，总出资额为$\frac{1}{3}x$，总出资额比石价少3，因此列方程：
$y=\frac{1}{3}x + 3$
联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-4,\\ y=\frac{1}{3}x+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用；等量关系梳理
【点评】
本题以我国古代数学经典问题为背景，考查抽象二元一次方程组的能力，解题的关键是准确理解“盈”“不足”的含义，正确梳理数量之间的关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题要求根据题意列二元一次方程组，解题思路如下：首先明确题目已设未知数：人数为$x$，石价为$y$；接下来提取题目中的两个等量关系：①每人出$\frac{1}{2}$钱的总出资额减去多出的4钱，等于石价；②每人出$\frac{1}{3}$钱的总出资额加上还差的3钱，等于石价；最后将未知数代入两个等量关系，即可得到方程组。
【解析】
根据“若每人出$\frac{1}{2}$钱，则会多出4钱”，总出资额为$\frac{1}{2}x$，总出资额比石价多4，因此列方程：
$y=\frac{1}{2}x - 4$
根据“若每人出$\frac{1}{3}$钱，则还少3钱”，总出资额为$\frac{1}{3}x$，总出资额比石价少3，因此列方程：
$y=\frac{1}{3}x + 3$
联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-4,\\ y=\frac{1}{3}x+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用；等量关系梳理
【点评】
本题以我国古代数学经典问题为背景，考查抽象二元一次方程组的能力，解题的关键是准确理解“盈”“不足”的含义，正确梳理数量之间的关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
3.某次夏令营活动将学生分为红、蓝两队，红队队员戴红帽子，蓝队队员戴蓝帽子。一名红队队员说：“我看见红队人数和蓝队人数相等。”一名蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍。”求红队、蓝队的人数。
答案
3. 解:设红队有x人,蓝队有y人。
根据题意,得$\begin{cases} x-1=y,\\ x=2(y-1)。 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4,\\ y=3。 \end{cases}$
答:红队有4人,蓝队有3人。
根据题意,得$\begin{cases} x-1=y,\\ x=2(y-1)。 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4,\\ y=3。 \end{cases}$
答:红队有4人,蓝队有3人。
解析
【分析】
解题时首先明确：两名队员统计人数时都看不到自己戴的帽子，因此不会把自己算入统计的人数中。红队队员统计时，看到的红队人数为实际红队人数减1，看到的蓝队人数为实际蓝队人数，可得等量关系：红队人数$-1=$蓝队人数；蓝队队员统计时，看到的蓝队人数为实际蓝队人数减1，看到的红队人数为实际红队人数，可得等量关系：红队人数$=2×$（蓝队人数$-1$）。我们设红队、蓝队人数分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设红队有$x$人，蓝队有$y$人。
根据题意，得$\begin{cases} x-1=y,\\ x=2(y-1)。 \end{cases}$
将$x=y+1$代入第二个方程，得$y+1=2(y-1)$，
解得$y=3$，
把$y=3$代入$x=y+1$，得$x=4$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3。 \end{cases}$
答：红队有4人，蓝队有3人。
【答案】
红队有4人，蓝队有3人。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的典型实际应用题，解题的关键是注意说话队员自身不纳入统计范围，找准等量关系是正确列方程组解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：两名队员统计人数时都看不到自己戴的帽子，因此不会把自己算入统计的人数中。红队队员统计时，看到的红队人数为实际红队人数减1，看到的蓝队人数为实际蓝队人数，可得等量关系：红队人数$-1=$蓝队人数；蓝队队员统计时，看到的蓝队人数为实际蓝队人数减1，看到的红队人数为实际红队人数，可得等量关系：红队人数$=2×$（蓝队人数$-1$）。我们设红队、蓝队人数分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设红队有$x$人，蓝队有$y$人。
根据题意，得$\begin{cases} x-1=y,\\ x=2(y-1)。 \end{cases}$
将$x=y+1$代入第二个方程，得$y+1=2(y-1)$，
解得$y=3$，
把$y=3$代入$x=y+1$，得$x=4$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3。 \end{cases}$
答：红队有4人，蓝队有3人。
【答案】
红队有4人，蓝队有3人。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的典型实际应用题，解题的关键是注意说话队员自身不纳入统计范围，找准等量关系是正确列方程组解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 某景点的门票价格如下表所示：
甲、乙两个旅游团的人数均多于40，且甲旅游团的人数少于乙旅游团的人数。若两个旅游团联合起来作为一个团体购票，则一共应付门票费用为10 080元。
(1)这两个旅游团共有多少人？
(2)若两个旅游团分别购票，则一共应付门票费用为13 140元，求甲、乙两个旅游团各有多少人。
甲、乙两个旅游团的人数均多于40，且甲旅游团的人数少于乙旅游团的人数。若两个旅游团联合起来作为一个团体购票，则一共应付门票费用为10 080元。
(1)这两个旅游团共有多少人？
(2)若两个旅游团分别购票，则一共应付门票费用为13 140元，求甲、乙两个旅游团各有多少人。
答案
4. 解:(1)设这两个旅游团共有m人。
当$50≤ m≤99$时,有$110m=10\ 080$。
解得$m\approx91.64$(不为整数,舍去);
当$m≥100$时,有$90m=10\ 080$。
解得$m=112$。
答:这两个旅游团共有112人。
(2)设甲旅游团有x人,乙旅游团有y人。
当$50≤ x＜y$时,有$\begin{cases} x+y=112,\\ 110(x+y)=13\ 140, \end{cases}$
方程组无解;
当$40＜x＜50＜y$时,有$\begin{cases} x+y=112,\\ 130x+110y=13\ 140, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=41,\\ y=71。 \end{cases}$
答:甲旅游团有41人,乙旅游团有71人。
当$50≤ m≤99$时,有$110m=10\ 080$。
解得$m\approx91.64$(不为整数,舍去);
当$m≥100$时,有$90m=10\ 080$。
解得$m=112$。
答:这两个旅游团共有112人。
(2)设甲旅游团有x人,乙旅游团有y人。
当$50≤ x＜y$时,有$\begin{cases} x+y=112,\\ 110(x+y)=13\ 140, \end{cases}$
方程组无解;
当$40＜x＜50＜y$时,有$\begin{cases} x+y=112,\\ 130x+110y=13\ 140, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=41,\\ y=71。 \end{cases}$
答:甲旅游团有41人,乙旅游团有71人。
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先明确团体购票对应两种票价区间：50~99人对应110元/人，100人及以上对应90元/人。设总人数为$ m $，分别按两个区间列方程求解，结合人数为正整数的实际要求舍去不符合的解，即可得到总人数。
(2) 解决第二问时，已知总人数为112，且两团人数都大于40、甲团人数少于乙团，因此分两种情况讨论：①两团人数都在50~99区间，均按110元/人购票，对比总费用和已知值判断是否成立；②甲团人数在41~49区间（票价130元/人），乙团人数在50以上（票价110元/人），列二元一次方程组求解，验证解符合人数限制即可。
【解析】
(1) 设两个旅游团共有$ m $人。
① 当$ 50 ≤ m ≤ 99 $时，单人票价为110元，列方程：
$ 110m = 10080 $
解得$ m \approx 91.64 $，人数不为整数，不符合实际，舍去。
② 当$ m ≥ 100 $时，单人票价为90元，列方程：
$ 90m = 10080 $
解得$ m = 112 $，符合实际要求。
(2) 设甲旅游团有$ x $人，乙旅游团有$ y $人，由题意得$ x+y=112 $，且$ 40 ＜ x ＜ y $。
① 当$ 50 ≤ x ＜ y $时，两团均按110元/人购票，总费用为$ 110(x+y)=110 × 112 = 12320 ≠ 13140 $，该情况无解。
② 当$ 40 ＜ x ＜ 50 ＜ y $时，甲团票价130元/人，乙团票价110元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 112 \\130x + 110y = 13140\end{cases}$
将$ y=112-x $代入第二个方程，得：
$ 130x + 110(112 - x) = 13140 $
化简得$ 20x = 820 $，解得$ x=41 $，则$ y=112-41=71 $，符合人数限制条件。
【答案】
(1) 这两个旅游团共有112人；
(2) 甲旅游团有41人，乙旅游团有71人。
【知识点】
二元一次方程组应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题核心是先根据团体购票总费用确定总人数的区间，再结合两团人数的大小关系分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合题目的人数限制，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问时，首先明确团体购票对应两种票价区间：50~99人对应110元/人，100人及以上对应90元/人。设总人数为$ m $，分别按两个区间列方程求解，结合人数为正整数的实际要求舍去不符合的解，即可得到总人数。
(2) 解决第二问时，已知总人数为112，且两团人数都大于40、甲团人数少于乙团，因此分两种情况讨论：①两团人数都在50~99区间，均按110元/人购票，对比总费用和已知值判断是否成立；②甲团人数在41~49区间（票价130元/人），乙团人数在50以上（票价110元/人），列二元一次方程组求解，验证解符合人数限制即可。
【解析】
(1) 设两个旅游团共有$ m $人。
① 当$ 50 ≤ m ≤ 99 $时，单人票价为110元，列方程：
$ 110m = 10080 $
解得$ m \approx 91.64 $，人数不为整数，不符合实际，舍去。
② 当$ m ≥ 100 $时，单人票价为90元，列方程：
$ 90m = 10080 $
解得$ m = 112 $，符合实际要求。
(2) 设甲旅游团有$ x $人，乙旅游团有$ y $人，由题意得$ x+y=112 $，且$ 40 ＜ x ＜ y $。
① 当$ 50 ≤ x ＜ y $时，两团均按110元/人购票，总费用为$ 110(x+y)=110 × 112 = 12320 ≠ 13140 $，该情况无解。
② 当$ 40 ＜ x ＜ 50 ＜ y $时，甲团票价130元/人，乙团票价110元/人，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 112 \\130x + 110y = 13140\end{cases}$
将$ y=112-x $代入第二个方程，得：
$ 130x + 110(112 - x) = 13140 $
化简得$ 20x = 820 $，解得$ x=41 $，则$ y=112-41=71 $，符合人数限制条件。
【答案】
(1) 这两个旅游团共有112人；
(2) 甲旅游团有41人，乙旅游团有71人。
【知识点】
二元一次方程组应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题核心是先根据团体购票总费用确定总人数的区间，再结合两团人数的大小关系分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合题目的人数限制，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
