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10. 先化简，再求值：
(1) $\dfrac{(a^3)^2}{a^4} - \dfrac{2a^4 · a}{a^3}$，其中 $a=-2$.
(2) $(\dfrac{a+b}{a-b})^2 ÷ \dfrac{a+b}{2a-2b} · \dfrac{a^2 - b^2}{ab}$，其中 $a=2$，$b=-1$.
(1) $\dfrac{(a^3)^2}{a^4} - \dfrac{2a^4 · a}{a^3}$，其中 $a=-2$.
(2) $(\dfrac{a+b}{a-b})^2 ÷ \dfrac{a+b}{2a-2b} · \dfrac{a^2 - b^2}{ab}$，其中 $a=2$，$b=-1$.
答案
(1) 化简得$-a^2$，当$a=-2$时，原式$=-4$
(2) 化简得$\frac{2(a+b)^2}{ab}$，当$a=2$，$b=-1$时，原式$=\frac{2×(2-1)^2}{2×(-1)}=-1$
(2) 化简得$\frac{2(a+b)^2}{ab}$，当$a=2$，$b=-1$时，原式$=\frac{2×(2-1)^2}{2×(-1)}=-1$
解析
【分析】
本题考查整式幂运算及分式乘除的化简求值，解题思路如下：
(1) 先根据幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则分别计算两个单项式，再合并同类项得到最简结果，最后代入a的值计算即可。
(2) 先将分式的除法转化为乘法，再对能因式分解的多项式（如2a-2b、a²-b²）进行因式分解，随后约分得到最简分式，最后代入a、b的值计算结果。
【解析】
(1) 计算原式：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(a^3)^2=a^{6}$，结合同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，得$\frac{(a^3)^2}{a^4}=\frac{a^6}{a^4}=a^2$；
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，得$2a^4· a=2a^5$，结合同底数幂的除法法则，得$\frac{2a^4· a}{a^3}=\frac{2a^5}{a^3}=2a^2$；
合并同类项得原式$=a^2-2a^2=-a^2$；
将$a=-2$代入最简式，得原式$=-(-2)^2=-4$。
(2) 计算原式：
先将除法转化为乘法，得原式$=(\frac{a+b}{a-b})^2 × \frac{2a-2b}{a+b} × \frac{a^2-b^2}{ab}$；
对多项式因式分解：$2a-2b=2(a-b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入后得：
原式$=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} × \frac{2(a-b)}{a+b} × \frac{(a+b)(a-b)}{ab}$；
约去分子分母的公因式后，得最简结果为$\frac{2(a+b)^2}{ab}$；
将$a=2$，$b=-1$代入最简式，得原式$=\frac{2×(2-1)^2}{2×(-1)}=\frac{2×1}{-2}=-1$。
【答案】
(1) 化简得$-a^2$，当$a=-2$时，原式$=-4$
(2) 化简得$\frac{2(a+b)^2}{ab}$，当$a=2$，$b=-1$时，原式$=-1$
【知识点】
1. 幂的运算法则
2. 分式乘除运算
3. 化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握相关运算法则，解题时要注意先化简再代值，运算过程中需格外注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
本题考查整式幂运算及分式乘除的化简求值，解题思路如下：
(1) 先根据幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则分别计算两个单项式，再合并同类项得到最简结果，最后代入a的值计算即可。
(2) 先将分式的除法转化为乘法，再对能因式分解的多项式（如2a-2b、a²-b²）进行因式分解，随后约分得到最简分式，最后代入a、b的值计算结果。
【解析】
(1) 计算原式：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(a^3)^2=a^{6}$，结合同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，得$\frac{(a^3)^2}{a^4}=\frac{a^6}{a^4}=a^2$；
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，得$2a^4· a=2a^5$，结合同底数幂的除法法则，得$\frac{2a^4· a}{a^3}=\frac{2a^5}{a^3}=2a^2$；
合并同类项得原式$=a^2-2a^2=-a^2$；
将$a=-2$代入最简式，得原式$=-(-2)^2=-4$。
(2) 计算原式：
先将除法转化为乘法，得原式$=(\frac{a+b}{a-b})^2 × \frac{2a-2b}{a+b} × \frac{a^2-b^2}{ab}$；
对多项式因式分解：$2a-2b=2(a-b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入后得：
原式$=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} × \frac{2(a-b)}{a+b} × \frac{(a+b)(a-b)}{ab}$；
约去分子分母的公因式后，得最简结果为$\frac{2(a+b)^2}{ab}$；
将$a=2$，$b=-1$代入最简式，得原式$=\frac{2×(2-1)^2}{2×(-1)}=\frac{2×1}{-2}=-1$。
【答案】
(1) 化简得$-a^2$，当$a=-2$时，原式$=-4$
(2) 化简得$\frac{2(a+b)^2}{ab}$，当$a=2$，$b=-1$时，原式$=-1$
【知识点】
1. 幂的运算法则
2. 分式乘除运算
3. 化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握相关运算法则，解题时要注意先化简再代值，运算过程中需格外注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
11. 通常情况下，$a+b$不一定等于$ab$，观察：$2+2=2×2$，$3+\frac{3}{2}=3×\frac{3}{2}$，$4+\frac{4}{3}=4×\frac{4}{3}$，….我们把符合$a+b=ab$的两个数叫作“和积数对”，已知$m$，$n$是一对“和积数对”.
（1）当$m=-10$时，求$n$的值.
（2）求代数式$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2}$的值.
（1）当$m=-10$时，求$n$的值.
（2）求代数式$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2}$的值.
答案
（1）当$m=-10$时，$-10+n=-10n$，解得$n=\frac{10}{11}$
（2）$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2} =\frac{-2(mn)^2 + 3m^2n^2}{(2mn)^2} =\frac{m^2n^2}{4m^2n^2} =\frac{1}{4}$
（2）$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2} =\frac{-2(mn)^2 + 3m^2n^2}{(2mn)^2} =\frac{m^2n^2}{4m^2n^2} =\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）首先根据“和积数对”的定义，明确m、n满足等式$m+n=mn$，将已知的$m=-10$代入该等式，即可得到关于n的一元一次方程，解方程就能求出n的值。
（2）第二问不需要求出m、n的具体值，利用“和积数对”的结论$m+n=mn$，将代数式中所有的$m+n$整体替换为$mn$，再通过化简、约分即可求出代数式的值，用整体代入的思想能简化计算。
【解析】
（1）
∵m，n是一对“和积数对”，
∴根据定义可得：$m + n = mn$
当$m=-10$时，代入上式得：$-10 + n = -10n$
移项得：$n + 10n = 10$
合并同类项得：$11n = 10$
解得：$n=\frac{10}{11}$
（2）
∵$m + n = mn$
先对代数式变形：
$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2}=\frac{-2(m+n)^2 + 3(mn)^2}{[2(m+n)]^2}$
将$m+n=mn$整体代入得：
$=\frac{-2(mn)^2 + 3m^2n^2}{(2mn)^2}=\frac{-2m^2n^2 + 3m^2n^2}{4m^2n^2}=\frac{m^2n^2}{4m^2n^2}$
由分母不为0可知$mn≠0$，约分可得：
$=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{n=\frac{10}{11}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
新定义运算、整体代入求值、分式化简
【点评】
本题以新定义“和积数对”为背景，考查了一元一次方程的求解和代数式的化简计算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，第二问运用整体代入的思想可避免复杂计算，有效提升解题效率，同时考查了学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据“和积数对”的定义，明确m、n满足等式$m+n=mn$，将已知的$m=-10$代入该等式，即可得到关于n的一元一次方程，解方程就能求出n的值。
（2）第二问不需要求出m、n的具体值，利用“和积数对”的结论$m+n=mn$，将代数式中所有的$m+n$整体替换为$mn$，再通过化简、约分即可求出代数式的值，用整体代入的思想能简化计算。
【解析】
（1）
∵m，n是一对“和积数对”，
∴根据定义可得：$m + n = mn$
当$m=-10$时，代入上式得：$-10 + n = -10n$
移项得：$n + 10n = 10$
合并同类项得：$11n = 10$
解得：$n=\frac{10}{11}$
（2）
∵$m + n = mn$
先对代数式变形：
$\frac{-2(m+n)^2 + 3m^2n^2}{(2m+2n)^2}=\frac{-2(m+n)^2 + 3(mn)^2}{[2(m+n)]^2}$
将$m+n=mn$整体代入得：
$=\frac{-2(mn)^2 + 3m^2n^2}{(2mn)^2}=\frac{-2m^2n^2 + 3m^2n^2}{4m^2n^2}=\frac{m^2n^2}{4m^2n^2}$
由分母不为0可知$mn≠0$，约分可得：
$=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{n=\frac{10}{11}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
新定义运算、整体代入求值、分式化简
【点评】
本题以新定义“和积数对”为背景，考查了一元一次方程的求解和代数式的化简计算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，第二问运用整体代入的思想可避免复杂计算，有效提升解题效率，同时考查了学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 化简 $ x^3 · ( \frac{y^3}{x} )^2 $ 的结果是（
A.$ xy^6 $
B.$ xy^5 $
C.$ x^2y^5 $
D.$ x^2y^6 $
A
）。A.$ xy^6 $
B.$ xy^5 $
C.$ x^2y^5 $
D.$ x^2y^6 $
答案
12. A
解析
【分析】
化简该式需遵循混合运算顺序，先算乘方，再算乘法。第一步先处理分式的乘方，按照分式乘方法则将分子、分母分别乘方；第二步再把乘方的结果与$x^3$相乘，结合同底数幂的运算规则约分计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$( \frac{y^3}{x} )^2 = \frac{(y^3)^2}{x^2} = \frac{y^{3×2}}{x^2} = \frac{y^6}{x^2}$
再计算乘法运算：
$x^3 · \frac{y^6}{x^2} = x^{3-2} · y^6 = xy^6$
因此化简结果对应选项A。
【答案】A
【知识点】
分式乘方、幂的乘方、同底数幂运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题，主要考察运算顺序和幂相关运算法则的应用，只要牢记先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握对应运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
化简该式需遵循混合运算顺序，先算乘方，再算乘法。第一步先处理分式的乘方，按照分式乘方法则将分子、分母分别乘方；第二步再把乘方的结果与$x^3$相乘，结合同底数幂的运算规则约分计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$( \frac{y^3}{x} )^2 = \frac{(y^3)^2}{x^2} = \frac{y^{3×2}}{x^2} = \frac{y^6}{x^2}$
再计算乘法运算：
$x^3 · \frac{y^6}{x^2} = x^{3-2} · y^6 = xy^6$
因此化简结果对应选项A。
【答案】A
【知识点】
分式乘方、幂的乘方、同底数幂运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题，主要考察运算顺序和幂相关运算法则的应用，只要牢记先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握对应运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
13. 计算：$(-\dfrac{a^2}{b^3})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 = $
-a
答案
13. -a
解析
【分析】
本题是分式的乘方与乘法混合运算，解题时遵循先乘方、再乘法的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则分别计算两个乘方，计算乘方时要注意负数乘方的符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负），结合幂的乘方法则算出两个乘方的结果；第二步将两个乘方的结果做分式乘法运算，通过约去分子分母的公因式化简得到最终结果。
【解析】
解：先分别计算乘方：
$(-\dfrac{a^2}{b^3})^2 = \dfrac{(a^2)^2}{(b^3)^2} = \dfrac{a^4}{b^6}$（负数的偶次幂为正，分子分母分别乘方）
$(-\dfrac{b^2}{a})^3 = -\dfrac{(b^2)^3}{a^3} = -\dfrac{b^6}{a^3}$（负数的奇次幂为负，分子分母分别乘方）
再计算分式乘法：
原式$=\dfrac{a^4}{b^6} · (-\dfrac{b^6}{a^3})$
$=-\dfrac{a^4 · b^6}{b^6 · a^3}$
约去分子分母的公因式$a^3$和$b^6$，得：
原式$=-a$
【答案】
$-a$
【知识点】
1. 分式乘方运算
2. 分式乘法运算
3. 幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的易错点是乘方运算时符号判断错误、幂的乘方指数计算错误，计算时需严格遵循运算顺序，熟练掌握分式运算和幂运算的相关法则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
本题是分式的乘方与乘法混合运算，解题时遵循先乘方、再乘法的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则分别计算两个乘方，计算乘方时要注意负数乘方的符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负），结合幂的乘方法则算出两个乘方的结果；第二步将两个乘方的结果做分式乘法运算，通过约去分子分母的公因式化简得到最终结果。
【解析】
解：先分别计算乘方：
$(-\dfrac{a^2}{b^3})^2 = \dfrac{(a^2)^2}{(b^3)^2} = \dfrac{a^4}{b^6}$（负数的偶次幂为正，分子分母分别乘方）
$(-\dfrac{b^2}{a})^3 = -\dfrac{(b^2)^3}{a^3} = -\dfrac{b^6}{a^3}$（负数的奇次幂为负，分子分母分别乘方）
再计算分式乘法：
原式$=\dfrac{a^4}{b^6} · (-\dfrac{b^6}{a^3})$
$=-\dfrac{a^4 · b^6}{b^6 · a^3}$
约去分子分母的公因式$a^3$和$b^6$，得：
原式$=-a$
【答案】
$-a$
【知识点】
1. 分式乘方运算
2. 分式乘法运算
3. 幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的易错点是乘方运算时符号判断错误、幂的乘方指数计算错误，计算时需严格遵循运算顺序，熟练掌握分式运算和幂运算的相关法则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
