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任务 利用方程解决选择方案问题
阅读材料，完成下列探究.
某化工厂每天产生的工业废水超过100 t. 为使排放的工业废水达到国家排放标准，工厂建设了一座工业废水处理站. 该处理站每天需支付固定设备维护费用200元，且处理废水还需其他费用5元/吨. 随着生产规模的扩大，废水量增加，该废水处理站已无法完成当天的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表所示.
探究1：设某天有m t废水在该处理站处理，直接写出该处理站处理废水产生的总费用.
探究2：根据表格，设需要第三方企业处理废水n t，分别写出当n在第一、二、三阶梯时的收费.
探究3：若某天该工厂一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量.
即时测评
冬季来临，实验中学准备组织七年级学生参观冰雪大世界. 已知学生票价为160元，冰雪大世界经营方向学校推出两种优惠方案.
方案一：所有学生门票一律九折；
方案二：若学生人数超过100人，则超出的部分打八折.
若参观学生为x（x＞100）人，请回答下列问题.
(1)方案一需要付款
(2)求参观学生为多少人时，两种方案购买门票的费用一样；
(3)若七年级共有240名学生参观冰雪大世界，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
阅读材料，完成下列探究.
某化工厂每天产生的工业废水超过100 t. 为使排放的工业废水达到国家排放标准，工厂建设了一座工业废水处理站. 该处理站每天需支付固定设备维护费用200元，且处理废水还需其他费用5元/吨. 随着生产规模的扩大，废水量增加，该废水处理站已无法完成当天的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表所示.
探究1：设某天有m t废水在该处理站处理，直接写出该处理站处理废水产生的总费用.
探究2：根据表格，设需要第三方企业处理废水n t，分别写出当n在第一、二、三阶梯时的收费.
探究3：若某天该工厂一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量.
即时测评
冬季来临，实验中学准备组织七年级学生参观冰雪大世界. 已知学生票价为160元，冰雪大世界经营方向学校推出两种优惠方案.
方案一：所有学生门票一律九折；
方案二：若学生人数超过100人，则超出的部分打八折.
若参观学生为x（x＞100）人，请回答下列问题.
(1)方案一需要付款
144x
元，方案二需要付款128x+3 200
元；(均用含x的代数式表示)(2)求参观学生为多少人时，两种方案购买门票的费用一样；
(3)若七年级共有240名学生参观冰雪大世界，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
答案
探究1. (200+5m)元
探究2. 当n在第一阶梯时，费用为500元；当n在第二阶梯时，费用为500+5(n-50)=(5n+250)元；当n在第三阶梯时，费用为500+250+4(n-100)=(4n+350)元
探究3. 设这一天该工厂产生的废水总量为x t，根据“工厂每天产生的工业废水超过100 t”可知x＞100。由探究2可知：①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有200+5×x/2=5×x/2+250。该方程无解，故舍去；②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有200+5×x/2=4×x/2+350。解得x=300。答：这一天该工厂产生的废水总量为300 t。
(1) 144x，128x+3200
(2) 参观学生为200人时，两种方案购买门票的费用一样。
(3) 方案一费用为144×240=34560(元)；方案二费用为128×240+3200=33920(元)。因为33920＜34560，所以学校采用方案二购买门票更省钱。
探究2. 当n在第一阶梯时，费用为500元；当n在第二阶梯时，费用为500+5(n-50)=(5n+250)元；当n在第三阶梯时，费用为500+250+4(n-100)=(4n+350)元
探究3. 设这一天该工厂产生的废水总量为x t，根据“工厂每天产生的工业废水超过100 t”可知x＞100。由探究2可知：①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有200+5×x/2=5×x/2+250。该方程无解，故舍去；②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有200+5×x/2=4×x/2+350。解得x=300。答：这一天该工厂产生的废水总量为300 t。
(1) 144x，128x+3200
(2) 参观学生为200人时，两种方案购买门票的费用一样。
(3) 方案一费用为144×240=34560(元)；方案二费用为128×240+3200=33920(元)。因为33920＜34560，所以学校采用方案二购买门票更省钱。
解析
【分析】
1. 探究1：处理站总费用由固定维护费和按量收取的处理费组成，固定费200元，每吨处理费5元，将两部分费用求和即可。
2. 探究2：第三方为阶梯收费，需按对应区间分段计算费用：第一阶梯直接取固定费用；第二阶梯先收第一阶梯费用，再加超出50t部分的费用；第三阶梯先收前两阶梯总费用，再加超出100t部分的费用，分别化简即可。
3. 探究3：设总废水量为x t，由题知x＞100，因此一半废水量x/2＞50，分x/2在第二阶梯、第三阶梯两种情况，令处理站费用等于第三方费用列方程，舍去不符合区间的解即可。
4. 即时测评(1)：方案一所有门票打九折，总费用=票价×折扣×人数；方案二x＞100，前100人全价，超出部分打八折，分别计算求和化简即可。
(2) 令两种方案的费用代数式相等，解一元一次方程即可得到对应人数。
(3) 将x=240分别代入两个费用代数式计算，比较大小即可选出更省钱的方案。
【解析】
探究部分
探究1：处理站固定维护费200元，m吨废水的处理费为5m元，因此总费用为$\boldsymbol{200+5m}$元。
探究2：分三类情况：
① 当n在第一阶梯（$0＜n\le50$）时，收费为500元；
② 当n在第二阶梯（$50＜n\le100$）时，费用为$500+5(n-50)=5n+250$元；
③ 当n在第三阶梯（$n＞100$）时，费用为$500+5×(100-50)+4(n-100)=4n+350$元。
探究3：设总废水量为x t，由题意得$x＞100$，因此第三方处理量$\frac{x}{2}＞50$，分情况讨论：
① 若$\frac{x}{2}$在第二阶梯（$100＜x\le200$），列方程：$200+5×\frac{x}{2}=5×\frac{x}{2}+250$，化简得$200=250$，矛盾，方程无解，舍去该情况；
② 若$\frac{x}{2}$在第三阶梯（$x＞200$），列方程：$200+5×\frac{x}{2}=4×\frac{x}{2}+350$，解得$x=300$，符合$x＞200$的条件。
即时测评部分
(1) 方案一：总费用$=160×0.9× x=144x$元；
方案二：总费用$=160×100+160×0.8×(x-100)=128x+3200$元。
(2) 令两种方案费用相等：$144x=128x+3200$，解得$x=200$。
(3) 当$x=240$时：
方案一费用：$144×240=34560$元；
方案二费用：$128×240+3200=33920$元。
因为$33920＜34560$，所以方案二更省钱。
【答案】
探究1. $\boldsymbol{(200+5m)}$元
探究2. 当n在第一阶梯时，费用为500元；当n在第二阶梯时，费用为$\boldsymbol{(5n+250)}$元；当n在第三阶梯时，费用为$\boldsymbol{(4n+350)}$元
探究3. 这一天该工厂产生的废水总量为$\boldsymbol{300\ \mathrm{t}}$。
(1) $\boldsymbol{144x}$，$\boldsymbol{128x+3200}$
(2) 参观学生为$\boldsymbol{200}$人时，两种方案购买门票的费用一样。
(3) 学校采用方案二购买门票更省钱。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，阶梯计费问题
【点评】
本题结合工业废水处理、购票优惠两个实际场景，考查分段计费的费用计算方法，以及通过列一元一次方程解决费用等值判断、方案优选的问题，解题时需注意分段区间的边界条件，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 探究1：处理站总费用由固定维护费和按量收取的处理费组成，固定费200元，每吨处理费5元，将两部分费用求和即可。
2. 探究2：第三方为阶梯收费，需按对应区间分段计算费用：第一阶梯直接取固定费用；第二阶梯先收第一阶梯费用，再加超出50t部分的费用；第三阶梯先收前两阶梯总费用，再加超出100t部分的费用，分别化简即可。
3. 探究3：设总废水量为x t，由题知x＞100，因此一半废水量x/2＞50，分x/2在第二阶梯、第三阶梯两种情况，令处理站费用等于第三方费用列方程，舍去不符合区间的解即可。
4. 即时测评(1)：方案一所有门票打九折，总费用=票价×折扣×人数；方案二x＞100，前100人全价，超出部分打八折，分别计算求和化简即可。
(2) 令两种方案的费用代数式相等，解一元一次方程即可得到对应人数。
(3) 将x=240分别代入两个费用代数式计算，比较大小即可选出更省钱的方案。
【解析】
探究部分
探究1：处理站固定维护费200元，m吨废水的处理费为5m元，因此总费用为$\boldsymbol{200+5m}$元。
探究2：分三类情况：
① 当n在第一阶梯（$0＜n\le50$）时，收费为500元；
② 当n在第二阶梯（$50＜n\le100$）时，费用为$500+5(n-50)=5n+250$元；
③ 当n在第三阶梯（$n＞100$）时，费用为$500+5×(100-50)+4(n-100)=4n+350$元。
探究3：设总废水量为x t，由题意得$x＞100$，因此第三方处理量$\frac{x}{2}＞50$，分情况讨论：
① 若$\frac{x}{2}$在第二阶梯（$100＜x\le200$），列方程：$200+5×\frac{x}{2}=5×\frac{x}{2}+250$，化简得$200=250$，矛盾，方程无解，舍去该情况；
② 若$\frac{x}{2}$在第三阶梯（$x＞200$），列方程：$200+5×\frac{x}{2}=4×\frac{x}{2}+350$，解得$x=300$，符合$x＞200$的条件。
即时测评部分
(1) 方案一：总费用$=160×0.9× x=144x$元；
方案二：总费用$=160×100+160×0.8×(x-100)=128x+3200$元。
(2) 令两种方案费用相等：$144x=128x+3200$，解得$x=200$。
(3) 当$x=240$时：
方案一费用：$144×240=34560$元；
方案二费用：$128×240+3200=33920$元。
因为$33920＜34560$，所以方案二更省钱。
【答案】
探究1. $\boldsymbol{(200+5m)}$元
探究2. 当n在第一阶梯时，费用为500元；当n在第二阶梯时，费用为$\boldsymbol{(5n+250)}$元；当n在第三阶梯时，费用为$\boldsymbol{(4n+350)}$元
探究3. 这一天该工厂产生的废水总量为$\boldsymbol{300\ \mathrm{t}}$。
(1) $\boldsymbol{144x}$，$\boldsymbol{128x+3200}$
(2) 参观学生为$\boldsymbol{200}$人时，两种方案购买门票的费用一样。
(3) 学校采用方案二购买门票更省钱。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，阶梯计费问题
【点评】
本题结合工业废水处理、购票优惠两个实际场景，考查分段计费的费用计算方法，以及通过列一元一次方程解决费用等值判断、方案优选的问题，解题时需注意分段区间的边界条件，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
