例 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁；
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是1 050 m²，求正方形绿地的边长。

(1) 设小明今年a岁，列得方程2a+12=40。
(2) 设正方形绿地的边长为x m，列得方程x(x+5)=1 050。

【分析】
(1) 解决年龄类列方程问题，首先要找准等量关系：爸爸的年龄 = 小明年龄×2 + 12岁。我们先设小明的年龄为未知数，再把数值和未知数代入等量关系即可列出方程。
(2) 解决几何面积类列方程问题，先明确图形变化前后的量：正方形加宽后变成了长方形，长方形的宽等于原正方形的边长，长方形的长等于原正方形边长加5m，等量关系为：扩大后长方形的面积=1050m²。设原正方形边长为未知数，结合长方形面积=长×宽的公式，代入等量关系就能列出方程。
【解析】
(1) 设小明今年a岁，小明年龄的2倍为2a，比2倍大12岁即2a+12，等于爸爸的年龄40岁，因此可列出方程。
(2) 设正方形绿地的边长为$x$ m，加宽后长方形绿地的长为$(x+5)$ m，宽为$x$ m，根据长方形面积公式可得面积为$x(x+5)$，已知扩大后面积是1050 m²，因此可列出方程。
【答案】
(1) 设小明今年a岁，列得方程$2a+12=40$。
(2) 设正方形绿地的边长为$x$ m，列得方程$x(x+5)=1050$。
【知识点】
列方程解应用题；年龄问题等量关系；长方形面积公式
【点评】
本题是方程应用的基础题型，核心考查学生梳理实际问题中等量关系的能力，难度较低，只要准确找到题目中的相等关系，就能顺利列出对应方程。
【难度系数】
0.85

根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)甲种水果每千克8元，乙种水果每千克12元，用112元购买这两种水果共11 kg，两种水果各购买多少千克？
(2)小明有26本图书，小强有37本图书，若小明借给小强一些图书，则小强的图书数量是小明的2倍，小明借给了小强多少本图书？

(1) 设购买甲种水果x kg，由题意，得8x+12(11-x)=112。
(2) 设小明借给了小强x本图书，由题意，得2(26-x)=37+x。

【分析】
这两道题是列一元一次方程的基础应用题，解题核心为：先确定未知量设为x，再用含x的式子表示其他相关量，最后根据题目给出的等量关系列出方程。
(1) 题中有两个固定等量：两种水果总重量为11kg，买两种水果的总费用为112元。我们可设甲种水果重量为x，用总重量减去x表示乙种水果的重量，再根据“总费用=甲水果总费用+乙水果总费用”的关系列方程。
(2) 题的核心等量为：小明借书后剩余图书数量的2倍=小强得到图书后的总数量。我们设小明借出的图书数量为x，分别表示出借书后两人的图书数量，再根据倍数关系列方程即可。
【解析】
(1) 设购买甲种水果x kg，则乙种水果的重量为(11-x)kg。
甲水果总费用为8x元，乙水果总费用为12(11-x)元，结合总费用为112元的条件，可列方程：$8x+12(11-x)=112$。
(2) 设小明借给了小强x本图书，则小明剩余图书为(26-x)本，小强现有图书为(37+x)本。
结合“小强图书数量是小明的2倍”的条件，可列方程：$2(26-x)=37+x$。
【答案】
(1) 设购买甲种水果x kg，由题意，得$8x+12(11-x)=112$。
(2) 设小明借给了小强x本图书，由题意，得$2(26-x)=37+x$。
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 实际问题等量关系寻找
【点评】
这两道题是方程实际应用的入门题型，重点考查从文字信息中提取等量关系的能力，熟练掌握该类题的解题思路，是后续用方程解决复杂实际问题的重要基础。
【难度系数】
0.85

课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
从算式到方程
方程的定义：含有的叫作方程
实际问题 $\xrightarrow{相等关系}$ 列出方程

未知数 等式

【分析】
本题是基础概念识记题，考察方程的定义，解题时只需回忆方程的两个核心判定条件即可：一是式子中需含有未知的量即未知数，二是式子必须是含有等号的等式，两个条件缺一不可，对应定义的两个空缺直接填写这两个要素即可。
【解析】
根据数学中方程的标准定义：含有未知数的等式叫作方程，因此第一个空缺处填“未知数”，第二个空缺处填“等式”。
【答案】
未知数 等式
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于概念类基础题，主要考察对教材核心概念的掌握情况，牢记方程的两个判定要素即可快速正确作答，是方程模块的入门考点。
【难度系数】
0.9

阅读材料，完成下列探究.
幼儿园有一批苹果需要分给一些小朋友，若每人分2个，则余5个苹果；若每人分3个，则缺一个苹果. 问有多少名小朋友.
探究1：设有x名小朋友，根据题意列方程.
探究2：当x=5，x=6，x=7时，分别代入方程左、右两边，看看有什么发现？
新知生成：一般地，使方程左、右两边的值的的值，叫作方程的解.
例如，$x=2$就是方程$2x=4$的解.
求的过程，叫作解方程.
即时测评
$x=3$是方程$2x^2=32$的解吗？$x=4$呢？$x=5$呢？

探究1 由题意，得$2x+5=3x-1$.
探究2 当$x=5$时，左边=15，右边=14，左边≠右边；
当$x=6$时，左边=17，右边=17，左边=右边；
当$x=7$时，左边=19，右边=20，左边≠右边.
即时测评 $x=4$是此方程的解；$x=3$，$x=5$不是此方程的解.

【分析】
解题时首先从实际问题中找到不变量：苹果的总数量固定，据此列探究1的方程；探究2只需将x的取值分别代入方程左右两边计算后比较大小即可；新知生成可结合方程的解、解方程的基础定义直接填空；即时测评按照“将未知数的值代入方程左右两边，若两边值相等则为方程的解，否则不是”的规则判断即可。
【解析】
探究1
苹果总数量不变，每人分2个余5个，总苹果数为$2x+5$；每人分3个缺1个，总苹果数为$3x-1$，因此列方程：$2x+5=3x-1$。
探究2
当$x=5$时：左边$=2×5+5=15$，右边$=3×5-1=14$，左边≠右边；
当$x=6$时：左边$=2×6+5=17$，右边$=3×6-1=17$，左边=右边；
当$x=7$时：左边$=2×7+5=19$，右边$=3×7-1=20$，左边≠右边。
新知生成
根据方程的解、解方程的定义，三个空依次填：相等、未知数、方程的解。
即时测评
判断一个值是否为方程的解，需代入方程左右两边验证：
把$x=3$代入方程：左边$=2×3^2=18≠32$，因此$x=3$不是方程$2x^2=32$的解；
把$x=4$代入方程：左边$=2×4^2=32=$右边，因此$x=4$是方程$2x^2=32$的解；
把$x=5$代入方程：左边$=2×5^2=50≠32$，因此$x=5$不是方程$2x^2=32$的解。
【答案】
探究1：$2x+5=3x-1$
探究2：$x=5$时左边≠右边，$x=6$时左边=右边，$x=7$时左边≠右边
新知生成：相等；未知数；方程的解
即时测评：$x=4$是方程$2x^2=32$的解，$x=3$、$x=5$不是该方程的解
【知识点】
1. 一元一次方程的列写
2. 方程的解的定义
3. 检验方程的解
【点评】
本题结合实际分配场景，引导学生掌握从实际问题中提取等量关系列方程的方法，同时强化方程的解、解方程的基础概念，以及检验方程解的实操方法，侧重基础能力的考察。
【难度系数】
0.8