7.【例3】如图，海岸上有A,B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等，那么海岛C,D到观测点A,B所在海岸的距离CA,DB相等.请你说明理由.

7. 解:
∵ ∠CAB = ∠DBA = 90°, ∠CAD = ∠CBD,
∴ ∠CAB - ∠CAD = ∠DBA - ∠CBD,即∠DAB = ∠CBA.
在△ABC 和△BAD 中,$\begin{cases} ∠CAB = ∠DBA, \\ AB = BA, \\ ∠CBA = ∠DAB, \end{cases}$
∴ △ABC≌△BAD(ASA).
∴ CA = DB.

【分析】
要证明线段CA=DB，可通过证明两条线段所在的△ABC与△BAD全等来实现。首先根据方位描述，C在A正北方、B在A正东方、D在B正北方，可得∠CAB和∠DBA均为90°；结合已知∠CAD=∠CBD，利用角的和差关系可推出∠CBA=∠DAB；两个三角形有公共边AB，再加上两组对应角相等，即可用ASA判定三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
∵ ∠CAB = ∠DBA = 90°，∠CAD = ∠CBD，
∴ ∠CAB - ∠CAD = ∠DBA - ∠CBD，即∠DAB = ∠CBA。
在△ABC 和△BAD 中，
$\begin{cases} ∠CAB = ∠DBA, \\ AB = BA, \\ ∠CBA = ∠DAB, \end{cases}$
∴ △ABC≌△BAD(ASA)。
∴ CA = DB。
【答案】
CA和DB相等，理由如上。
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的典型应用，通过方位信息得到直角条件，结合已知角相等推导全等所需的角等量关系，解题时要注意挖掘公共边这类隐含条件，熟练掌握全等判定和性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7

1. 如图，AC平分∠BAD和∠BCD，则△ABC≌△ADC的依据是（）

A.ASA 或 AAS
B.SAS
C.AAA
D.SSS

1. A

【分析】
解题第一步先梳理题干给出的条件：AC平分∠BAD和∠BCD，首先根据角平分线的定义可得到两组相等的角，其次观察图形可知△ABC和△ADC有公共边AC，是天然的相等边。接下来结合全等三角形的判定定理分析：有两组相等的角+一组相等的边，既可以用“两角及其夹边对应相等（ASA）”判定全等，也可以先通过三角形内角和推导得到第三组角相等，再用“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”判定全等，两种判定方式都成立，对应选项即可选出答案。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
又
∵AC是△ABC和△ADC的公共边，
∴AC=AC。
方法1：在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAC=∠ DAC\\ AC=AC\\ ∠ BCA=∠ DCA\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（ASA）。
方法2：由三角形内角和为180°可得：
∠B=180°-∠BAC-∠BCA，∠D=180°-∠DAC-∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴∠B=∠D，
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D\\ ∠ BCA=∠ DCA\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（AAS）。
因此△ABC≌△ADC的依据是ASA或AAS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题的关键是利用角平分线性质得到相等的角，同时注意挖掘图形中隐含的公共边相等的条件，熟练掌握全等三角形的各类判定定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$∠ ABC = ∠ DEF$，$AB = DE$，若以“AAS”为依据，说明$△ ABC ≌ △ DEF$，还需添加的条件为。

2. ∠ACB = ∠F(答案不唯一)

【分析】
首先明确三角形全等的"AAS"判定规则：两个角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。接下来梳理题干已知条件：△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF，AB=DE，其中AB是△ABC中∠ACB的对边，DE是△DEF中∠F的对边。当前已满足一组边相等、一组角相等，要符合"AAS"判定要求，只需再添加另一组角相等，且该组角不能和已知角构成夹边AB、DE的两组角（否则为ASA判定），因此可添加∠ACB=∠F。
【解析】
解：三角形全等"AAS"判定的内容是：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
已知在△ABC和△DEF中：
∠ABC=∠DEF，AB=DE，
若要以"AAS"为依据证明全等，还需要一组角相等，且这组角为相等边所对的角，即∠ACB=∠F。
此时满足：∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠F，AB=DE，完全符合AAS的判定条件。
【答案】
∠ACB = ∠F(答案不唯一)
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题关键是准确区分AAS和ASA的判定差异，结合已知条件匹配对应的判定要素即可得出结果。
【难度系数】
0.8

3. 如图,已知点E,F为AC上两点,AD//BC,∠1=∠2,AE=CF,试说明:△ADF≌△CBE.

3. 解:
∵ AD//BC,
∴ ∠A = ∠C.
∵ AE = CF,
∴ AE + EF = CF + EF,即 AF = CE.
在△ADF 和△CBE 中,$\begin{cases}∠A = ∠C,\\AF = CE,\\∠1 = ∠2,\end{cases}$
∴ △ADF≌△CBE(ASA).

【分析】
要证明△ADF≌△CBE，可结合已知条件逐步推导全等判定所需的条件：
1. 由AD//BC，根据平行线的性质可推出一组内错角∠A=∠C，得到第一组对应角相等；
2. 已知∠1=∠2，已有两组对应角相等，只需再证明一组对应边相等即可满足全等判定条件；
3. 已知AE=CF，观察线段关系可知AF=AE+EF、CE=CF+EF，根据等式性质可推出AF=CE，这组边恰好是两组等角的夹边，符合ASA的全等判定要求，即可完成证明。
【解析】
解：
∵ AD//BC，
∴ ∠A = ∠C。
∵ AE = CF，
∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE。
在△ADF 和△CBE 中，
$\begin{cases}∠A = ∠C,\\AF = CE,\\∠1 = ∠2,\end{cases}$
∴ △ADF≌△CBE（ASA）。
【答案】
△ADF≌△CBE
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，解题核心是熟练掌握平行线性质和全等判定定理，难点在于通过线段和差关系推导出待证全等三角形的对应边相等。
【难度系数】
0.8

4. 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他可以只带号碎片去，就能配一块与原来一样的三角形模具。小明这样做的依据是。

4. 1 ASA

【分析】
要配出和原来完全一样的三角形模具，本质是要得到和原三角形全等的三角形，因此需要判断哪块碎片保留的元素能满足全等三角形的判定条件。首先分别观察三块碎片保留的原三角形的边、角信息：1号碎片保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角的公共夹边；2号碎片没有完整保留原三角形的任意一组对应边和角的组合；3号碎片仅保留了原三角形的1个内角和部分不完整的边。结合全等三角形的判定定理，即可判断带哪块碎片符合要求。
【解析】
已知全等三角形的判定定理中，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
1号碎片：保留了原三角形的两个内角，以及这两个角的夹边，满足ASA的判定条件，可据此还原出和原三角形全等的三角形；
2号碎片：无完整的对应边角组合，无法满足全等判定条件，不能还原原三角形；
3号碎片：仅保留1个内角和部分边，不满足全等判定条件，不能还原原三角形。
因此只需带1号碎片，依据是角边角（ASA）判定定理。
【答案】
1；ASA
【知识点】
全等三角形判定、ASA定理
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用类题目，解题的关键是结合图形分析每块碎片保留的原三角形的边角信息，再对应全等判定定理判断即可，题型贴近生活，能帮助学生理解数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.8

5. 如图所示,工人赵师傅用10块高度都是1.5 m的相同长方体新型建筑材料,垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH,点P在BE上,已知AP = PF,∠APF = 90°.
(1)求证:$△ ABP ≌ △ PEF$;
(2)求BE的长.

5. (1)证明:
∵ ∠ABP = ∠PEF = 90°,∠APF = 90°,
∴ ∠PFE + ∠EPF = 90°,∠APB + ∠EPF = 90°.
∴ ∠PFE = ∠APB.
在△ABP 和△PEF 中,$\begin{cases}∠ABP = ∠PEF,\\∠APB = ∠PFE,\\AP = PF,\end{cases}$
∴ △ABP≌△PEF(AAS).
(2)解:由题意,得 AB = 1.5 × 3 = 4.5(m),
EF = 1.5 × 7 = 10.5(m).
由(1),知△ABP≌△PEF.
∴ BP = EF = 10.5 m,PE = AB = 4.5 m.
∴ BE = BP + PE = 15(m).

【分析】
(1) 要证明△ABP≌△PEF，首先由两墙与地面垂直可得∠ABP=∠PEF=90°，已有一组直角相等，且题目给出AP=PF，因此只需再推导一组对应角相等即可；由∠APF=90°，可得∠APB+∠EPF=90°，结合直角三角形两锐角互余，可知∠PFE+∠EPF=90°，根据同角的余角相等就能得到∠APB=∠PFE，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要求BE的长，观察图形可知BE=BP+PE，因此需要先求出BP、PE的长度；先根据每块材料高度1.5m，分别计算两墙的高度AB、EF，再利用(1)中全等三角形的对应边相等，可得BP=EF，PE=AB，代入相加即可算出BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ABP = ∠PEF = 90°，∠APF = 90°，
∴ ∠PFE + ∠EPF = 90°，∠APB + ∠EPF = 90°，
∴ ∠PFE = ∠APB。
在△ABP 和△PEF 中，
$\begin{cases}∠ABP = ∠PEF,\\∠APB = ∠PFE,\\AP = PF,\end{cases}$
∴ △ABP≌△PEF(AAS)。
(2) 解：由题意，得AB为3块材料的总高度，EF为7块材料的总高度，
AB = 1.5 × 3 = 4.5(m)，
EF = 1.5 × 7 = 10.5(m)。
由(1)知△ABP≌△PEF，根据全等三角形对应边相等，
∴ BP = EF = 10.5 m，PE = AB = 4.5 m，
∴ BE = BP + PE = 10.5 + 4.5 = 15(m)。
【答案】
(1) △ABP≌△PEF得证；
(2) BE的长为15 m。
【知识点】
1. AAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查全等三角形的判定与性质应用，解题核心是利用同角的余角相等推导全等所需的对应角关系，再通过全等性质转化线段长度求解，侧重基础几何知识的实际应用能力考查。
【难度系数】
0.7