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6. (2025 昆明期中)计算$(-\dfrac{3}{m})^2 · \dfrac{m}{9}$，结果是().
A.$-\dfrac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\dfrac{1}{m}$
D.$m$
A.$-\dfrac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\dfrac{1}{m}$
D.$m$
答案
C
解析
【分析】
本题是分式的乘方与乘法混合运算题，解题遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算$(-\dfrac{3}{m})^2$，注意负数的偶次幂为正，分子、分母要分别乘方；第二步再按照分式乘法法则计算两个分式的乘积，最后约分化简即可得到结果，对应选项判断答案。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(-\dfrac{3}{m})^2 = \dfrac{(-3)^2}{m^2} = \dfrac{9}{m^2}$
再计算分式乘法：
$\dfrac{9}{m^2} · \dfrac{m}{9} = \dfrac{9 × m}{m^2 × 9}$
约去分子分母的公因式9和m，得：
$\dfrac{9 × m}{m^2 × 9} = \dfrac{1}{m}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方法则、分式乘法法则、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算法则的掌握情况，解题时需注意乘方的符号判断，约分要彻底，避免因符号错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.85
本题是分式的乘方与乘法混合运算题，解题遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算$(-\dfrac{3}{m})^2$，注意负数的偶次幂为正，分子、分母要分别乘方；第二步再按照分式乘法法则计算两个分式的乘积，最后约分化简即可得到结果，对应选项判断答案。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(-\dfrac{3}{m})^2 = \dfrac{(-3)^2}{m^2} = \dfrac{9}{m^2}$
再计算分式乘法：
$\dfrac{9}{m^2} · \dfrac{m}{9} = \dfrac{9 × m}{m^2 × 9}$
约去分子分母的公因式9和m，得：
$\dfrac{9 × m}{m^2 × 9} = \dfrac{1}{m}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方法则、分式乘法法则、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算法则的掌握情况，解题时需注意乘方的符号判断，约分要彻底，避免因符号错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.85
7. 计算$(\dfrac{a-b}{b})^2 · \dfrac{b}{a^2 - b^2}$，结果是（）.
A.$\dfrac{1}{b}$
B.$\dfrac{a-b}{ab + b^2}$
C.$\dfrac{a-b}{a + b}$
D.$\dfrac{1}{ab + b^2}$
A.$\dfrac{1}{b}$
B.$\dfrac{a-b}{ab + b^2}$
C.$\dfrac{a-b}{a + b}$
D.$\dfrac{1}{ab + b^2}$
答案
B
解析
【分析】
这是分式的乘方与乘法混合运算题，解题遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先计算分式的乘方，按照分式乘方法则，分子分母分别乘方；第二步对第二个分式分母的多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解；第三步将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，化简后对照选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算乘方：根据分式乘方法则，得$(\dfrac{a-b}{b})^2=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}$
2. 因式分解：根据平方差公式，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
3. 分式乘法运算并约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^2}{b^2} · \dfrac{b}{(a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{(a-b)^2 · b}{b^2 · (a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{a-b}{b(a+b)}\\&=\dfrac{a-b}{ab + b^2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算、平方差公式、分式乘除运算
【点评】
本题主要考查分式的乘方及乘除混合运算，解题关键是严格遵循运算顺序，先算乘方再算乘除，因式分解和约分是计算的核心步骤，计算时要注意不要漏约或多约因式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
这是分式的乘方与乘法混合运算题，解题遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先计算分式的乘方，按照分式乘方法则，分子分母分别乘方；第二步对第二个分式分母的多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解；第三步将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，化简后对照选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算乘方：根据分式乘方法则，得$(\dfrac{a-b}{b})^2=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}$
2. 因式分解：根据平方差公式，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
3. 分式乘法运算并约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^2}{b^2} · \dfrac{b}{(a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{(a-b)^2 · b}{b^2 · (a+b)(a-b)}\\&=\dfrac{a-b}{b(a+b)}\\&=\dfrac{a-b}{ab + b^2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算、平方差公式、分式乘除运算
【点评】
本题主要考查分式的乘方及乘除混合运算，解题关键是严格遵循运算顺序，先算乘方再算乘除，因式分解和约分是计算的核心步骤，计算时要注意不要漏约或多约因式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
8. 计算:
(1) $(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2$；
(2) $\dfrac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \dfrac{3-x}{4x^2-16} · (\dfrac{x-2}{x+2})^2$。
(1) $(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^4}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^2$；
(2) $\dfrac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \dfrac{3-x}{4x^2-16} · (\dfrac{x-2}{x+2})^2$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \frac{6a^4}{b^3} · (\frac{-3c}{b^2})^2&=\frac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \frac{b^3}{6a^4} · \frac{9c^2}{b^4}\\&=\frac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\&=\frac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \frac{3-x}{4x^2-16} · (\frac{x-2}{x+2})^2&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{4(x-2)(x+2)}{-(x-3)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=-\frac{8(x-2)}{x+2}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \frac{6a^4}{b^3} · (\frac{-3c}{b^2})^2&=\frac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \frac{b^3}{6a^4} · \frac{9c^2}{b^4}\\&=\frac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\&=\frac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \frac{3-x}{4x^2-16} · (\frac{x-2}{x+2})^2&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{4(x-2)(x+2)}{-(x-3)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=-\frac{8(x-2)}{x+2}\end{aligned}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘方及乘除混合运算，解题思路严格遵循分式混合运算规则：
(1) 纯单项式的分式混合运算：第一步先算分式乘方，按分式乘方法则将分子、分母分别乘方；第二步把除法转化为乘法（除以分式等于乘它的倒数）；第三步将所有分子、分母分别相乘，再对系数、同底数幂依次约分，最终得到最简分式。
(2) 含多项式的分式混合运算：除遵循上述运算顺序外，首先将各分式的分子、分母中可因式分解的多项式分解因式，注意互为相反数的因式（如$3-x$和$x-3$）变形时的符号变化，再按乘除运算规则约分化简，保证结果为最简分式。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \frac{6a^4}{b^3} · (\frac{-3c}{b^2})^2&=\frac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \frac{b^3}{6a^4} · \frac{9c^2}{b^4}\\&=\frac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\&=\frac{36a^2b^9c^2}{6a^4b^4c^4d^2}\\&=\frac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各多项式，再将除法转化为乘法，处理符号后约分计算：
$\begin{aligned}\frac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \frac{3-x}{4x^2-16} · (\frac{x-2}{x+2})^2&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{4(x-2)(x+2)}{-(x-3)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=\frac{2(x-3)·4(x-2)(x+2)·(x-2)^2}{(x-2)^2·(-1)(x-3)·(x+2)^2}\\&=-\frac{8(x-2)}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{6b^5}{a^2c^2d^2}$；(2) $-\dfrac{8(x-2)}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除混合运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心考查运算顺序和运算准确性：运算时需遵循“先乘方，再乘除”的顺序，遇到多项式优先因式分解，要特别注意互为相反数的因式变形时的符号变化，约分时要确保分子分母的公因式全部约去，最终结果化为最简形式。
【难度系数】
0.6
本题考查分式的乘方及乘除混合运算，解题思路严格遵循分式混合运算规则：
(1) 纯单项式的分式混合运算：第一步先算分式乘方，按分式乘方法则将分子、分母分别乘方；第二步把除法转化为乘法（除以分式等于乘它的倒数）；第三步将所有分子、分母分别相乘，再对系数、同底数幂依次约分，最终得到最简分式。
(2) 含多项式的分式混合运算：除遵循上述运算顺序外，首先将各分式的分子、分母中可因式分解的多项式分解因式，注意互为相反数的因式（如$3-x$和$x-3$）变形时的符号变化，再按乘除运算规则约分化简，保证结果为最简分式。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \frac{6a^4}{b^3} · (\frac{-3c}{b^2})^2&=\frac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \frac{b^3}{6a^4} · \frac{9c^2}{b^4}\\&=\frac{4a^2b^6 · b^3 · 9c^2}{c^4d^2 · 6a^4 · b^4}\\&=\frac{36a^2b^9c^2}{6a^4b^4c^4d^2}\\&=\frac{6b^5}{a^2c^2d^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各多项式，再将除法转化为乘法，处理符号后约分计算：
$\begin{aligned}\frac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ \frac{3-x}{4x^2-16} · (\frac{x-2}{x+2})^2&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{4(x-2)(x+2)}{-(x-3)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=\frac{2(x-3)·4(x-2)(x+2)·(x-2)^2}{(x-2)^2·(-1)(x-3)·(x+2)^2}\\&=-\frac{8(x-2)}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{6b^5}{a^2c^2d^2}$；(2) $-\dfrac{8(x-2)}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除混合运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心考查运算顺序和运算准确性：运算时需遵循“先乘方，再乘除”的顺序，遇到多项式优先因式分解，要特别注意互为相反数的因式变形时的符号变化，约分时要确保分子分母的公因式全部约去，最终结果化为最简形式。
【难度系数】
0.6
9. 计算$(\dfrac{a+b}{a-b})^2 ÷ (\dfrac{a+b}{a-b})^2 · \dfrac{a+b}{a-b}$，结果是（）。
A.$\dfrac{a-b}{a+b}$
B.$\dfrac{a+b}{a-b}$
C.$(\dfrac{a+b}{a-b})^2$
D.$1$
A.$\dfrac{a-b}{a+b}$
B.$\dfrac{a+b}{a-b}$
C.$(\dfrac{a+b}{a-b})^2$
D.$1$
答案
B
解析
【分析】
这是一道分式乘除混合运算题，解题时首先明确运算规则：分式乘方、乘除混合运算中，先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。观察算式可发现所有项的底数均为$\dfrac{a+b}{a-b}$，既可以利用同底数幂乘除的运算法则（底数不变，指数相加减）简化计算，也可以按常规顺序先算除法、再算乘法得出结果。
【解析】
方法1：利用同底数幂运算法则简化计算
同底数幂相乘除时，底数不变，指数相加减，可得：
$\begin{aligned}原式 &= ( \dfrac{a+b}{a-b} )^{2 - 2 + 1} \\&= ( \dfrac{a+b}{a-b} )^{1} \\&= \dfrac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
方法2：按运算顺序从左到右计算
先计算除法部分：$( \dfrac{a+b}{a-b} )^2 ÷ ( \dfrac{a+b}{a-b} )^2 = 1$
再计算乘法部分：$1 × \dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{a+b}{a-b}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算；同底数幂的运算
【点评】
本题侧重考察分式运算的运算顺序和运算技巧，熟练掌握同底数幂的运算法则可提升计算效率和准确率，计算时注意不要随意改变运算顺序，避免出现先算后面乘法再算除法的错误。
【难度系数】
0.8
这是一道分式乘除混合运算题，解题时首先明确运算规则：分式乘方、乘除混合运算中，先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。观察算式可发现所有项的底数均为$\dfrac{a+b}{a-b}$，既可以利用同底数幂乘除的运算法则（底数不变，指数相加减）简化计算，也可以按常规顺序先算除法、再算乘法得出结果。
【解析】
方法1：利用同底数幂运算法则简化计算
同底数幂相乘除时，底数不变，指数相加减，可得：
$\begin{aligned}原式 &= ( \dfrac{a+b}{a-b} )^{2 - 2 + 1} \\&= ( \dfrac{a+b}{a-b} )^{1} \\&= \dfrac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
方法2：按运算顺序从左到右计算
先计算除法部分：$( \dfrac{a+b}{a-b} )^2 ÷ ( \dfrac{a+b}{a-b} )^2 = 1$
再计算乘法部分：$1 × \dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{a+b}{a-b}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算；同底数幂的运算
【点评】
本题侧重考察分式运算的运算顺序和运算技巧，熟练掌握同底数幂的运算法则可提升计算效率和准确率，计算时注意不要随意改变运算顺序，避免出现先算后面乘法再算除法的错误。
【难度系数】
0.8
10. 下列运算中,正确的是().
A.$m^2 ÷ m^2 = 0$
B.$(m-n)^2 = m^2 -n^2$
C.$( \dfrac{n}{2m} )^3 = \dfrac{n^3}{2m^3}$
D.$mn ÷ \dfrac{n}{m} = m^2$
A.$m^2 ÷ m^2 = 0$
B.$(m-n)^2 = m^2 -n^2$
C.$( \dfrac{n}{2m} )^3 = \dfrac{n^3}{2m^3}$
D.$mn ÷ \dfrac{n}{m} = m^2$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查整式与分式的基本运算，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。具体思考路径：先回忆每个选项对应的运算规则，再代入计算对比，判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，且非零数的0次幂等于1，可得$m^2÷ m^2=m^{2-2}=m^0=1$（$m≠0$），故A选项错误。
B选项：根据完全平方公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，因此$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，$m^2-n^2$是平方差公式$(m+n)(m-n)$的结果，二者不能混淆，故B选项错误。
C选项：根据分式乘方的法则，分式乘方要把分子、分母分别乘方，因此$(\dfrac{n}{2m})^3=\dfrac{n^3}{(2m)^3}=\dfrac{n^3}{8m^3}$，故C选项错误。
D选项：根据分式除法的法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，因此$mn÷\dfrac{n}{m}=mn×\dfrac{m}{n}$，约去公因式$n$（$n≠0$）后可得$m× m=m^2$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；完全平方公式；分式的乘方
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查对常见代数运算法则的掌握情况，易错点在于容易混淆完全平方公式和平方差公式、分式乘方时遗漏系数的乘方，做题时只要逐一核对运算法则就能准确作答。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式与分式的基本运算，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。具体思考路径：先回忆每个选项对应的运算规则，再代入计算对比，判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，且非零数的0次幂等于1，可得$m^2÷ m^2=m^{2-2}=m^0=1$（$m≠0$），故A选项错误。
B选项：根据完全平方公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，因此$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，$m^2-n^2$是平方差公式$(m+n)(m-n)$的结果，二者不能混淆，故B选项错误。
C选项：根据分式乘方的法则，分式乘方要把分子、分母分别乘方，因此$(\dfrac{n}{2m})^3=\dfrac{n^3}{(2m)^3}=\dfrac{n^3}{8m^3}$，故C选项错误。
D选项：根据分式除法的法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，因此$mn÷\dfrac{n}{m}=mn×\dfrac{m}{n}$，约去公因式$n$（$n≠0$）后可得$m× m=m^2$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；完全平方公式；分式的乘方
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查对常见代数运算法则的掌握情况，易错点在于容易混淆完全平方公式和平方差公式、分式乘方时遗漏系数的乘方，做题时只要逐一核对运算法则就能准确作答。
【难度系数】
0.8
11. 在解答题目“已知 $ x = 2026 $，求 $ \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \dfrac{x^2 + 2x}{2x^3} · ( \dfrac{1}{x} )^2 $ 的值”时，小明误将 $ x = 2026 $ 看成了 $ x = 2027 $，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？
答案
解：
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \frac{x^2 + 2x}{2x^3} · ( \frac{1}{x} )^2 \\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2} \\=&\frac{(x+2)(x-2) · 2x^3}{(x-2) · x(x+2) · x^2} \\=&2\end{aligned}$
化简后的结果是常数2，与x的取值无关（只要原式有意义，即$x≠0$且$x≠2$），因此无论小明把x取为2026还是2027，最终的计算结果都是2，所以他算出的结果仍然正确。
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \frac{x^2 + 2x}{2x^3} · ( \frac{1}{x} )^2 \\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2} \\=&\frac{(x+2)(x-2) · 2x^3}{(x-2) · x(x+2) · x^2} \\=&2\end{aligned}$
化简后的结果是常数2，与x的取值无关（只要原式有意义，即$x≠0$且$x≠2$），因此无论小明把x取为2026还是2027，最终的计算结果都是2，所以他算出的结果仍然正确。
解析
【分析】
遇到“代入字母的值看错，但结果仍正确”的问题，首先考虑原式化简后与字母的取值无关。解题时先按照分式运算规则化简原式：先算乘方，再将除法转化为乘法，接着对分子分母中能因式分解的多项式因式分解，之后约去所有公因式得到最简结果，若结果为常数，则说明原式的值在分式有意义的前提下与x的取值无关，即可解释原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \frac{x^2 + 2x}{2x^3} · ( \frac{1}{x} )^2 \\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x - 2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2} \\=&\frac{(x+2)(x-2) · 2x^3}{(x-2) · x(x+2) · x^2} \\=&2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，要使原式有意义，需满足$x≠0$且$x≠2$。由于2026和2027都满足分式有意义的条件，因此无论x取2026还是2027，计算结果都为2，所以小明误看x的值算出的结果仍然正确。
【答案】
原式化简后为常数2，在$x≠0$且$x≠2$的前提下取值与x无关，因此误将x=2026看成x=2027结果仍正确。
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题侧重考查分式的运算能力和逻辑分析能力，解题关键是先将分式化简为最简形式，无需代入数值计算即可判断结果的取值规律，是分式化简求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到“代入字母的值看错，但结果仍正确”的问题，首先考虑原式化简后与字母的取值无关。解题时先按照分式运算规则化简原式：先算乘方，再将除法转化为乘法，接着对分子分母中能因式分解的多项式因式分解，之后约去所有公因式得到最简结果，若结果为常数，则说明原式的值在分式有意义的前提下与x的取值无关，即可解释原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \frac{x^2 + 2x}{2x^3} · ( \frac{1}{x} )^2 \\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x - 2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2} \\=&\frac{(x+2)(x-2) · 2x^3}{(x-2) · x(x+2) · x^2} \\=&2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，要使原式有意义，需满足$x≠0$且$x≠2$。由于2026和2027都满足分式有意义的条件，因此无论x取2026还是2027，计算结果都为2，所以小明误看x的值算出的结果仍然正确。
【答案】
原式化简后为常数2，在$x≠0$且$x≠2$的前提下取值与x无关，因此误将x=2026看成x=2027结果仍正确。
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题侧重考查分式的运算能力和逻辑分析能力，解题关键是先将分式化简为最简形式，无需代入数值计算即可判断结果的取值规律，是分式化简求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
12. (推理能力)给定下面一列分式:$\frac{x^3}{y}, -\frac{x^5}{y^2}, \frac{x^7}{y^3}, -\frac{x^9}{y^4}, ···$(其中$x≠0,y≠0$).
(1)从第二个分式起,用任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式,你发现了什么规律?
(2)根据你发现的规律,试写出给定的这列分式中的第2 026个分式.
(1)从第二个分式起,用任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式,你发现了什么规律?
(2)根据你发现的规律,试写出给定的这列分式中的第2 026个分式.
答案
解：
(1) 计算相邻分式的商：
$-\frac{x^5}{y^2} ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} · \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} · (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
$-\frac{x^9}{y^4} ÷ \frac{x^7}{y^3} = -\frac{x^9}{y^4} · \frac{y^3}{x^7} = -\frac{x^2}{y}$
规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$。
(2) 观察分式序列可得第$n$个分式的通式为：
$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$
将$n=2026$代入通式：
符号部分：$(-1)^{2026+1}=-1$
$x$的指数：$2×2026+1=4053$
$y$的指数：$2026$
因此第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
(1) 计算相邻分式的商：
$-\frac{x^5}{y^2} ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} · \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} · (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
$-\frac{x^9}{y^4} ÷ \frac{x^7}{y^3} = -\frac{x^9}{y^4} · \frac{y^3}{x^7} = -\frac{x^2}{y}$
规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$。
(2) 观察分式序列可得第$n$个分式的通式为：
$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$
将$n=2026$代入通式：
符号部分：$(-1)^{2026+1}=-1$
$x$的指数：$2×2026+1=4053$
$y$的指数：$2026$
因此第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
解析
【分析】
（1）针对第一问，首先按照题目要求，运用分式除法法则（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数），选取题目给出的前几组相邻分式，用后一个除以前一个进行计算，观察计算结果是否为固定值，即可总结得到规律。
（2）针对第二问，先观察已知分式的符号、x的指数、y的指数三部分的变化规律，分别推导三部分和项数n的关系，得到第n个分式的通用表达式，再将n=2026代入通式，分别计算符号、x的指数、y的指数，就能得到第2026个分式。
【解析】
(1) 计算相邻分式的商：
$-\frac{x^5}{y^2} ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} · \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} · (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
$-\frac{x^9}{y^4} ÷ \frac{x^7}{y^3} = -\frac{x^9}{y^4} · \frac{y^3}{x^7} = -\frac{x^2}{y}$
规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$。
(2) 观察分式序列的特征：
①符号：第1个为正，第2个为负，第3个为正，即符号为$(-1)^{n+1}$（n为项数）；
②x的指数：第1个是$3=2×1+1$，第2个是$5=2×2+1$，第3个是$7=2×3+1$，即x的指数为$2n+1$；
③y的指数：第1个是1，第2个是2，第3个是3，即y的指数为$n$。
因此第$n$个分式的通式为：$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$
将$n=2026$代入通式：
符号部分：$(-1)^{2026+1}=-1$
x的指数：$2×2026+1=4053$
y的指数：$2026$
因此第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
【答案】
(1) 规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$；
(2) 第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 规律探究
3. 代数式通项推导
【点评】
本题重点考察分式运算能力和归纳推理能力，通过计算相邻项的商总结规律，再从符号、底数指数分别推导通项公式，是规律探究类题的常见考法，掌握分式运算规则和归纳方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
（1）针对第一问，首先按照题目要求，运用分式除法法则（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数），选取题目给出的前几组相邻分式，用后一个除以前一个进行计算，观察计算结果是否为固定值，即可总结得到规律。
（2）针对第二问，先观察已知分式的符号、x的指数、y的指数三部分的变化规律，分别推导三部分和项数n的关系，得到第n个分式的通用表达式，再将n=2026代入通式，分别计算符号、x的指数、y的指数，就能得到第2026个分式。
【解析】
(1) 计算相邻分式的商：
$-\frac{x^5}{y^2} ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} · \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} · (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
$-\frac{x^9}{y^4} ÷ \frac{x^7}{y^3} = -\frac{x^9}{y^4} · \frac{y^3}{x^7} = -\frac{x^2}{y}$
规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$。
(2) 观察分式序列的特征：
①符号：第1个为正，第2个为负，第3个为正，即符号为$(-1)^{n+1}$（n为项数）；
②x的指数：第1个是$3=2×1+1$，第2个是$5=2×2+1$，第3个是$7=2×3+1$，即x的指数为$2n+1$；
③y的指数：第1个是1，第2个是2，第3个是3，即y的指数为$n$。
因此第$n$个分式的通式为：$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$
将$n=2026$代入通式：
符号部分：$(-1)^{2026+1}=-1$
x的指数：$2×2026+1=4053$
y的指数：$2026$
因此第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
【答案】
(1) 规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，所得的商恒为$-\frac{x^2}{y}$；
(2) 第2026个分式为$-\frac{x^{4053}}{y^{2026}}$。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 规律探究
3. 代数式通项推导
【点评】
本题重点考察分式运算能力和归纳推理能力，通过计算相邻项的商总结规律，再从符号、底数指数分别推导通项公式，是规律探究类题的常见考法，掌握分式运算规则和归纳方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
