8 如图,在圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD,则∠CBD的度数是 （ ）
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°

A

9 如图,点 A,B,C,D,E 在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{AE}$的度数为$50°$,则$∠ B + ∠ D=$______.

$155^{\circ}$

10 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连接BD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ BDC=50°$,则$∠ ADC$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

$130^{\circ}$

11 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，BE是$\odot O$的直径.若$AC=3$，则$DE=\_\_\_\_\_\_$.

$3$

12（2024泰州泰兴月考）如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，连接AC，E为BC的延长线上一点，且CD平分$∠ ACE$.
（1）如图1，若$∠ DCE=60°$，求证：$△ ABD$为等边三角形；
（2）如图2，若$AB=10$，$BD=13$，求$\odot O$的半径.

​$ (1)$​证明：∵​$CD$​平分​$∠ACE，$​∴​$∠DCE=∠ACD$​∵​$∠BAD+∠BCD = 180°，$​​$∠BCD+∠DCE = 180°$​∴​$∠BAD=∠DCE=∠ACD$​∵​$∠DCE = 60°$​∴​$∠ABD=∠ACD=∠DCE=∠BAD = 60°$​∴​$∠ADB = 180°-60°×2 = 60°=∠ABD=∠BAD$​∴​$AB = AD = BD$​∴​$\triangle ABD$​是等边三角形​$(2)$​解：过点​$D$​作​$DG\perp AB$​于点​$G，$​连接​$OB，$​​$OA$​由​$(1)$​知，​$∠BAD=∠DCE=∠ACD=∠ABD$​∴​$DB = DA$​∵​$AB = 10，$​​$BD = 13，$​∴​$BG = AG = 5$​∴​$DG=\sqrt {13^2-5^2} = 12，$​​$DG $​垂直平分​$AB$​∵​$OB = OA，$​∴圆心​$O$​在​$AB$​的垂直平分线​$DG $​上∴​$OG\perp AB$​设​$\odot O$​的半径为​$r$​∴​$r^2=(12 - r)^2+5^2，$​解得​$r=\frac {169}{24}$​∴​$\odot O$​的半径为​$\frac {169}{24}$​ ;

13 如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=60°,对角线DB平分∠ADC.
(1) 求证:△ABC是等边三角形;
(2) 过点B作BE//CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求△BDE的面积.

​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​内接于圆，∴​$∠ABC+∠ADC = 180°$​∵​$∠ABC = 60°，$​∴​$∠ADC = 120°$​∵​$DB$​平分​$∠ADC，$​∴​$∠ADB=∠CDB = 60°$​∴​$∠ACB=∠ADB = 60°，$​​$∠BAC=∠CDB = 60°$​∴​$∠ABC=∠BCA=∠BAC$​∴​$\triangle ABC$​是等边三角形​$(2)$​解：∵​$BE// CD，$​∴​$∠EBD=∠BDC$​∵​$∠ADB=∠CDB = 60°，$​∴​$∠EBD=∠EDB = 60°$​∴​$\triangle BDE$​是等边三角形又∵​$\triangle ABC$​为等边三角形∴​$∠EBD=∠ABC = 60°，$​∴​$∠ABE=∠CBD$​在​$\triangle ABE$​和​$\triangle CBD$​中​$\begin {cases}BE = BD\\∠ABE=∠CBD\\AB = CB\end {cases}$​∴​$\triangle ABE≌\triangle CBD(S AS)$​∴​$AE = CD = 3，$​∴​$DE = AE + AD = 5$​∴​$\triangle BDE$​的面积为​$\frac 12×5×\frac {\sqrt 3}2×5=\frac {25\sqrt 3}4$​