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1[2025河北石家庄期末,中]如图,将形状相同、大小相等的长方形A,B和形状相同、大小相等的长方形C,D按图摆放,拼成一个中间含正方形的大长方形.若长方形A的长为4,宽为1,设中间正方形的边长为x,当拼成的大长方形的长是宽的1.5倍时,x的值为 (
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
(第1题图)
(第2题图)
答案
【解析】由题意可知,长方形 C,D 的宽为 4-x,长为 x+1,故大长方形的长为 4+4-x=8-x,宽为 x+1+1=x+2. 因为拼成的大长方形的长是宽的 1.5 倍,所以 8-x = 1. 5( x+2 ), 解得 x=2. 故选 C.
2[2025山西吕梁期末，中]如图，一块长5 cm、宽2 cm的长方形纸板和一块长4 cm、宽1 cm的长方形纸板，与一块正方形及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是
36
cm²。答案
【解析】设小正方形的边长为 x cm, 则大正方形的边长为 [4+(5-x)] cm 或(x+1+2)cm, 由题意得 4+(5-x)=x+3, 解得 x=3, 则大正方形的边长为 6 cm, 大正方形的面积为 36 cm².
3[2025吉林长春质检,中]现计划围一个长方形的鸡场,其长边靠墙,墙长14 m,其他三边用竹篱笆围成,若竹篱笆的长为35 m,王强打算用它围成长方形鸡场的长比宽多5 m;赵杰打算用它围成长方形鸡场的长比宽多2 m,你认为谁的设计符合实际?按照符合实际的人的设计,这个长方形鸡场的面积是多少?
答案
解：设王强设计的长方形鸡场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
根据三边竹篱笆总长为35m，列方程：
$ 2x + (x+5) = 35 $
解得：$ x = 10 $
此时鸡场的长为：$ 10 + 5 = 15 \, \mathrm{m} $
因为墙长14m，$ 15 ＞ 14 $，所以王强的设计不符合实际。
设赵杰设计的长方形鸡场的宽为$ y \, \mathrm{m} $，则长为$ (y+2) \, \mathrm{m} $。
根据三边竹篱笆总长为35m，列方程：
$ 2y + (y+2) = 35 $
解得：$ y = 11 $
此时鸡场的长为：$ 11 + 2 = 13 \, \mathrm{m} $
因为$ 13 ＜ 14 $，所以赵杰的设计符合实际。
鸡场的面积为：$ 13 × 11 = 143 \, \mathrm{m}^2 $
答：赵杰的设计符合实际，这个长方形鸡场的面积是$ 143 \, \mathrm{m}^2 $。
根据三边竹篱笆总长为35m，列方程：
$ 2x + (x+5) = 35 $
解得：$ x = 10 $
此时鸡场的长为：$ 10 + 5 = 15 \, \mathrm{m} $
因为墙长14m，$ 15 ＞ 14 $，所以王强的设计不符合实际。
设赵杰设计的长方形鸡场的宽为$ y \, \mathrm{m} $，则长为$ (y+2) \, \mathrm{m} $。
根据三边竹篱笆总长为35m，列方程：
$ 2y + (y+2) = 35 $
解得：$ y = 11 $
此时鸡场的长为：$ 11 + 2 = 13 \, \mathrm{m} $
因为$ 13 ＜ 14 $，所以赵杰的设计符合实际。
鸡场的面积为：$ 13 × 11 = 143 \, \mathrm{m}^2 $
答：赵杰的设计符合实际，这个长方形鸡场的面积是$ 143 \, \mathrm{m}^2 $。
4[2026黑龙江哈尔滨期末,中]如图(1),一个无盖圆柱形容器底面半径为20 cm,高为25 cm.(π取3)
(1)这个容器的体积是多少立方厘米?
(2)如图(2),容器装满水后,将一个底面周长是90 cm的圆锥形物体放入水中(完全浸没),然后取出这个圆锥形物体,这时圆柱形容器中水面下降3 cm,求这个圆锥形物体的高是多少分米.
(3)如图(3),在(2)的条件下,取出圆锥形物体后,先把一块棱长为6 cm的正方体铅块完全浸没在水中,又将一个底面直径为8 cm的圆柱形铁块垂直放入圆柱形容器中,圆柱形铁块有一部分露出水面,且下底面没有与容器底面接触,此时圆柱形铁块浸入水中的高度比这时候容器内水面高度的$\frac{1}{4}$还高1.15 cm,求此时水面的高度是多少厘米(精确到0.01 cm).
刷素养 走向重高
(1)这个容器的体积是多少立方厘米?
(2)如图(2),容器装满水后,将一个底面周长是90 cm的圆锥形物体放入水中(完全浸没),然后取出这个圆锥形物体,这时圆柱形容器中水面下降3 cm,求这个圆锥形物体的高是多少分米.
(3)如图(3),在(2)的条件下,取出圆锥形物体后,先把一块棱长为6 cm的正方体铅块完全浸没在水中,又将一个底面直径为8 cm的圆柱形铁块垂直放入圆柱形容器中,圆柱形铁块有一部分露出水面,且下底面没有与容器底面接触,此时圆柱形铁块浸入水中的高度比这时候容器内水面高度的$\frac{1}{4}$还高1.15 cm,求此时水面的高度是多少厘米(精确到0.01 cm).
刷素养 走向重高
答案
(1)这个容器的体积为$3×20^2×25=30\ 000(\mathrm{cm}^3)$.
(2)溢出水的体积为$3×20^2×3=3\ 600(\mathrm{cm}^3)$,则圆锥形物体的体积为$3\ 600\ \mathrm{cm}^3$. 设圆锥形物体的底面直径为$r$ cm,高为$h$ cm,则$2π r=90$,解得$r=15$,所以$\frac{1}{3}π r^2 h=3\ 600$,即$\frac{1}{3}×3×15^2×h=3\ 600$,解得$h=16,16\ \mathrm{cm}=1.6\ \mathrm{dm}$,所以这个圆锥形物体的高为 1.6 dm.
(3)设此时水面的高度为$x$ cm.
正方体铅块的体积为$6^3=216(\mathrm{cm}^3)$. 圆柱形容器的底面积为$3×20^2=1\ 200(\mathrm{cm}^2)$.
根据题意得$1\ 200×(25-3)+216=1\ 200x-3×4^2×(\frac{1}{4}x+1.15)$,解得$x≈22.45$,所以此时水面的高度约为 22. 45 cm.
(2)溢出水的体积为$3×20^2×3=3\ 600(\mathrm{cm}^3)$,则圆锥形物体的体积为$3\ 600\ \mathrm{cm}^3$. 设圆锥形物体的底面直径为$r$ cm,高为$h$ cm,则$2π r=90$,解得$r=15$,所以$\frac{1}{3}π r^2 h=3\ 600$,即$\frac{1}{3}×3×15^2×h=3\ 600$,解得$h=16,16\ \mathrm{cm}=1.6\ \mathrm{dm}$,所以这个圆锥形物体的高为 1.6 dm.
(3)设此时水面的高度为$x$ cm.
正方体铅块的体积为$6^3=216(\mathrm{cm}^3)$. 圆柱形容器的底面积为$3×20^2=1\ 200(\mathrm{cm}^2)$.
根据题意得$1\ 200×(25-3)+216=1\ 200x-3×4^2×(\frac{1}{4}x+1.15)$,解得$x≈22.45$,所以此时水面的高度约为 22. 45 cm.
5 核心素养模型观念[2025浙江湖州期末,较难]如图(1)所示,爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水.某项目化学习小组需要将一长方体基座(足够高)放置在鱼池内.若基座竖直放置在鱼池底部,如图(2)所示,则池内水面上升3分米.
(1)求基座的底面积;
(2)在安装过程中,先将基座吊起,使得基座的底部与水面齐平,如图(3)所示,然后将基座以2分米/分的速度下降,设下降的时间为t分,求当t=2时,水面上升的高度;
(3)在(2)的条件下,求下降过程中,基座的底面把池中水深分成1:2的两部分时t的值.
(1)求基座的底面积;
(2)在安装过程中,先将基座吊起,使得基座的底部与水面齐平,如图(3)所示,然后将基座以2分米/分的速度下降,设下降的时间为t分,求当t=2时,水面上升的高度;
(3)在(2)的条件下,求下降过程中,基座的底面把池中水深分成1:2的两部分时t的值.
答案
【解】(1)设基座的底面积为$a$平方分米,则由题意得$12×8×3=(9+3)a$,解得$a=24$.
答:基座的底面积为 24 平方分米.
(2)设水面上升$x$分米. 根据题意得$24(2×2+x)=12×8x$,解得$x=\frac{4}{3}$.
答:水面上升的高度为$\frac{4}{3}$分米.
(3)水面上升高度为$\frac{24×2t}{96-24}=\frac{2}{3}t$(分米),基座底面到池底的距离为$(9-2t)$分米,基座底面到水面的距离为$2t+\frac{2}{3}t=\frac{8}{3}t$(分米),则$9-2t=2×\frac{8}{3}t$或$9-2t=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}t$,解得$t=\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$.
答:基座的底面把池中水深分成 1:2 的两部分时$t$的值为$\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$.
答:基座的底面积为 24 平方分米.
(2)设水面上升$x$分米. 根据题意得$24(2×2+x)=12×8x$,解得$x=\frac{4}{3}$.
答:水面上升的高度为$\frac{4}{3}$分米.
(3)水面上升高度为$\frac{24×2t}{96-24}=\frac{2}{3}t$(分米),基座底面到池底的距离为$(9-2t)$分米,基座底面到水面的距离为$2t+\frac{2}{3}t=\frac{8}{3}t$(分米),则$9-2t=2×\frac{8}{3}t$或$9-2t=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}t$,解得$t=\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$.
答:基座的底面把池中水深分成 1:2 的两部分时$t$的值为$\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$.
