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1 若某电风扇叶片呈圆形，半径为$15\sqrt{2}$厘米，叶片旋转一周形成的圆的面积是多少平方厘米？(计算结果保留π)
答案
面积S = πr² = π(15√2)² = 450π(平方厘米).
解析
【分析】
解题时首先明确：电风扇叶片旋转一周形成的图形是圆形，其半径等于叶片的长度。要求该圆的面积，可直接使用圆的面积公式S=πr²计算。计算半径的平方时，先运用积的乘方规则将(15√2)²拆分为15²×(√2)²，再结合二次根式的性质(√a)²=a(a≥0)计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：叶片旋转一周形成的图形是圆，该圆的半径r=15√2 cm。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径得：
$\begin{aligned}S&=π×(15\sqrt{2})^2\\&=π×15^2×(\sqrt{2})^2\\&=π×225×2\\&=450π\end{aligned}$
单位为平方厘米。
【答案】
450π平方厘米
【知识点】
圆的面积计算，积的乘方运算，二次根式的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，属于基础应用题，重点考查基础公式的应用和简单运算能力，只要熟悉圆的面积公式和基础运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：电风扇叶片旋转一周形成的图形是圆形，其半径等于叶片的长度。要求该圆的面积，可直接使用圆的面积公式S=πr²计算。计算半径的平方时，先运用积的乘方规则将(15√2)²拆分为15²×(√2)²，再结合二次根式的性质(√a)²=a(a≥0)计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：叶片旋转一周形成的图形是圆，该圆的半径r=15√2 cm。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径得：
$\begin{aligned}S&=π×(15\sqrt{2})^2\\&=π×15^2×(\sqrt{2})^2\\&=π×225×2\\&=450π\end{aligned}$
单位为平方厘米。
【答案】
450π平方厘米
【知识点】
圆的面积计算，积的乘方运算，二次根式的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，属于基础应用题，重点考查基础公式的应用和简单运算能力，只要熟悉圆的面积公式和基础运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2 电风扇底座为矩形，长40厘米，宽30厘米。
（1）求底座对角线长度。
（2）若底座高度为10厘米，求底座顶点到地面的垂直距离与对角线形成的直角三角形斜边长度。
（1）求底座对角线长度。
（2）若底座高度为10厘米，求底座顶点到地面的垂直距离与对角线形成的直角三角形斜边长度。
答案
(1) 对角线长度 = √(40² + 30²) = 50(厘米).
(2) 斜边长度 = √(50² + 10²) = 10√26(厘米).
(2) 斜边长度 = √(50² + 10²) = 10√26(厘米).
解析
【分析】
（1）求矩形底座对角线时，利用矩形四个内角都是直角的性质，可知矩形的长、宽和对角线刚好构成直角三角形，长和宽为两条直角边，对角线为斜边，直接运用勾股定理就能求出对角线长度。
（2）第二问中，底座顶点到地面的垂直距离就是底座高度10厘米，该高度是竖直方向的，和第一问求出的水平方向对角线互相垂直，二者作为两条直角边，和所求斜边构成新的直角三角形，再次运用勾股定理即可算出斜边长度。
【解析】
（1）已知矩形长为40厘米，宽为30厘米，矩形内角为直角，因此长、宽、对角线构成直角三角形，两条直角边分别为40厘米、30厘米。
根据勾股定理：对角线长度 = √(40² + 30²) = √(1600+900) = √2500 = 50（厘米）
（2）底座高度10厘米为顶点到地面的垂直距离，和水平方向的对角线互相垂直，因此高度、对角线、所求斜边构成直角三角形，两条直角边分别为50厘米、10厘米。
根据勾股定理：斜边长度 = √(50² + 10²) = √(2500+100) = √2600 = 10√26（厘米）
【答案】
（1）50厘米；（2）10√26厘米
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，需要我们将实际问题转化为几何模型，准确找到直角三角形及对应边长后即可用勾股定理求解，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
（1）求矩形底座对角线时，利用矩形四个内角都是直角的性质，可知矩形的长、宽和对角线刚好构成直角三角形，长和宽为两条直角边，对角线为斜边，直接运用勾股定理就能求出对角线长度。
（2）第二问中，底座顶点到地面的垂直距离就是底座高度10厘米，该高度是竖直方向的，和第一问求出的水平方向对角线互相垂直，二者作为两条直角边，和所求斜边构成新的直角三角形，再次运用勾股定理即可算出斜边长度。
【解析】
（1）已知矩形长为40厘米，宽为30厘米，矩形内角为直角，因此长、宽、对角线构成直角三角形，两条直角边分别为40厘米、30厘米。
根据勾股定理：对角线长度 = √(40² + 30²) = √(1600+900) = √2500 = 50（厘米）
（2）底座高度10厘米为顶点到地面的垂直距离，和水平方向的对角线互相垂直，因此高度、对角线、所求斜边构成直角三角形，两条直角边分别为50厘米、10厘米。
根据勾股定理：斜边长度 = √(50² + 10²) = √(2500+100) = √2600 = 10√26（厘米）
【答案】
（1）50厘米；（2）10√26厘米
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，需要我们将实际问题转化为几何模型，准确找到直角三角形及对应边长后即可用勾股定理求解，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
3 某型号电风扇转速$n$(转/分钟)与风速$v$(米/秒)满足关系式$v = 0.02n + 0.5$.
（1）当转速为1500转/分钟时,风速是多少？
（2）若需风速达到5米/秒,转速应调至多少？
（1）当转速为1500转/分钟时,风速是多少？
（2）若需风速达到5米/秒,转速应调至多少？
答案
(1) v = 0.02 × 1500 + 0.5 = 30.5(米/秒).
(2) 5 = 0.02n + 0.5 ⇒ n = 225(转/分钟).
(2) 5 = 0.02n + 0.5 ⇒ n = 225(转/分钟).
解析
【分析】
本题给出了风速v和转速n的函数关系式，属于函数实际应用的基础题型。（1）问是已知自变量n的取值，求对应函数值v，直接将n代入关系式计算即可；（2）问是已知函数值v的取值，求对应自变量n的值，把v代入关系式后转化为一元一次方程，求解方程即可得到n的值。
【解析】
（1）把$n=1500$代入关系式$v = 0.02n + 0.5$中：
$v = 0.02 × 1500 + 0.5 = 30 + 0.5 = 30.5$（米/秒）
（2）把$v=5$代入关系式$v = 0.02n + 0.5$中，可得一元一次方程：
$5 = 0.02n + 0.5$
移项计算：$0.02n = 5 - 0.5 = 4.5$
解得：$n = 4.5 ÷ 0.02 = 225$（转/分钟）
【答案】
（1）30.5米/秒；（2）225转/分钟
【知识点】
一次函数的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合生活场景考查函数的基础应用，解题核心是理清自变量和函数值的对应关系，熟练掌握代入求值和一元一次方程的求解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题给出了风速v和转速n的函数关系式，属于函数实际应用的基础题型。（1）问是已知自变量n的取值，求对应函数值v，直接将n代入关系式计算即可；（2）问是已知函数值v的取值，求对应自变量n的值，把v代入关系式后转化为一元一次方程，求解方程即可得到n的值。
【解析】
（1）把$n=1500$代入关系式$v = 0.02n + 0.5$中：
$v = 0.02 × 1500 + 0.5 = 30 + 0.5 = 30.5$（米/秒）
（2）把$v=5$代入关系式$v = 0.02n + 0.5$中，可得一元一次方程：
$5 = 0.02n + 0.5$
移项计算：$0.02n = 5 - 0.5 = 4.5$
解得：$n = 4.5 ÷ 0.02 = 225$（转/分钟）
【答案】
（1）30.5米/秒；（2）225转/分钟
【知识点】
一次函数的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合生活场景考查函数的基础应用，解题核心是理清自变量和函数值的对应关系，熟练掌握代入求值和一元一次方程的求解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4 某电风扇电机额定功率为P瓦，经保养后功率降低$k\% (0 ＜ k ＜ 50)$.已知该风扇每天使用$t$小时，电费价格为0.6元/千瓦时.若保养前每月(30天)电费为45元，保养后每月电费为36元，求$k$的值.(提示:电能消耗=功率×时间×电价，1千瓦 = 1000瓦)
答案
保养前功率:P = 45/(0.6 × 30 × t) × 1000 = 2500/t 瓦(由45 = 0.6 × P/1000 × 30t得出)
保养后功率:P(1 - k/100) = 2500/t (1 - k/100)
保养后电费方程:36 = 0.6 × 2500/t (1 - k/100) × 30t/1000,化简得:
36 = 0.6 × 25 × 30 × (1 - k/100) × 1/10
计算得:1 - k/100 = 0.8,故k = 20.
保养后功率:P(1 - k/100) = 2500/t (1 - k/100)
保养后电费方程:36 = 0.6 × 2500/t (1 - k/100) × 30t/1000,化简得:
36 = 0.6 × 25 × 30 × (1 - k/100) × 1/10
计算得:1 - k/100 = 0.8,故k = 20.
解析
【分析】
解题时首先明确电费的计算公式：电费=电价×消耗的电能，而消耗的电能=功率（单位：千瓦）×用电时间（单位：小时），注意功率单位要从瓦转换为千瓦（1千瓦=1000瓦）。第一步先根据保养前的电费列出方程，求出额定功率P的表达式；第二步写出保养后的功率表达式，再结合保养后的电费列出方程，式子中相同的未知量t会相互抵消，最后求解方程即可得到k的值。
【解析】
解：首先统一单位，功率P瓦换算为千瓦是$\frac{P}{1000}$千瓦，每月总用电时长为$30t$小时。
1. 根据保养前每月电费45元，列方程：
$0.6 × \frac{P}{1000} × 30t = 45$
化简求解P：
$\frac{18tP}{1000}=45$
$P=\frac{45 × 1000}{18t}=\frac{2500}{t}$（瓦）
2. 保养后功率降低$k\%$，则保养后功率为$P(1-\frac{k}{100})=\frac{2500}{t}(1-\frac{k}{100})$瓦，换算为千瓦是$\frac{2500(1-\frac{k}{100})}{1000t}$千瓦。
根据保养后每月电费36元，列方程：
$0.6 × \frac{2500(1-\frac{k}{100})}{1000t} × 30t = 36$
式子中$t$可以约去，化简得：
$0.6 × \frac{2500 × 30}{1000} × (1-\frac{k}{100}) = 36$
计算系数得：
$45 × (1-\frac{k}{100}) = 36$
解得：
$1-\frac{k}{100}=0.8$
$\frac{k}{100}=0.2$
$k=20$
【答案】
$k=20$
【知识点】
列方程解应用题；单位换算；代数式化简
【点评】
本题结合生活中的电费计算场景出题，解题的关键是掌握电能、电费的计算方法，注意功率单位的统一，计算过程中无需单独求解未知量$t$，通过约分可直接消去，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确电费的计算公式：电费=电价×消耗的电能，而消耗的电能=功率（单位：千瓦）×用电时间（单位：小时），注意功率单位要从瓦转换为千瓦（1千瓦=1000瓦）。第一步先根据保养前的电费列出方程，求出额定功率P的表达式；第二步写出保养后的功率表达式，再结合保养后的电费列出方程，式子中相同的未知量t会相互抵消，最后求解方程即可得到k的值。
【解析】
解：首先统一单位，功率P瓦换算为千瓦是$\frac{P}{1000}$千瓦，每月总用电时长为$30t$小时。
1. 根据保养前每月电费45元，列方程：
$0.6 × \frac{P}{1000} × 30t = 45$
化简求解P：
$\frac{18tP}{1000}=45$
$P=\frac{45 × 1000}{18t}=\frac{2500}{t}$（瓦）
2. 保养后功率降低$k\%$，则保养后功率为$P(1-\frac{k}{100})=\frac{2500}{t}(1-\frac{k}{100})$瓦，换算为千瓦是$\frac{2500(1-\frac{k}{100})}{1000t}$千瓦。
根据保养后每月电费36元，列方程：
$0.6 × \frac{2500(1-\frac{k}{100})}{1000t} × 30t = 36$
式子中$t$可以约去，化简得：
$0.6 × \frac{2500 × 30}{1000} × (1-\frac{k}{100}) = 36$
计算系数得：
$45 × (1-\frac{k}{100}) = 36$
解得：
$1-\frac{k}{100}=0.8$
$\frac{k}{100}=0.2$
$k=20$
【答案】
$k=20$
【知识点】
列方程解应用题；单位换算；代数式化简
【点评】
本题结合生活中的电费计算场景出题，解题的关键是掌握电能、电费的计算方法，注意功率单位的统一，计算过程中无需单独求解未知量$t$，通过约分可直接消去，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
