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11 下列式子一定是二次根式的为 （
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 -2}$
D.$\sqrt{x^2}$
D
）A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 -2}$
D.$\sqrt{x^2}$
答案
11.D
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，核心依据是二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，即被开方数必须是非负的。本题要求“一定是二次根式”，意味着无论x取任意实数，被开方数都要满足非负的要求，我们只需逐个验证每个选项的被开方数是否恒大于等于0即可。
【解析】
我们根据二次根式的定义逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{x}$的被开方数是$x$，当$x＜0$时，$x$为负数，此时$\sqrt{x}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项B：$\sqrt{x+2}$的被开方数是$x+2$，当$x＜-2$时，$x+2＜0$，此时$\sqrt{x+2}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项C：$\sqrt{x^2-2}$的被开方数是$x^2-2$，当$x=0$时，$x^2-2=-2＜0$，此时$\sqrt{x^2-2}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项D：$\sqrt{x^2}$的被开方数是$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都满足$x^2≥0$，因此无论x取何值，$\sqrt{x^2}$都符合二次根式的定义，一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，注意“一定是”的要求是对所有实数都成立，不能只考虑部分取值。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二次根式，核心依据是二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，即被开方数必须是非负的。本题要求“一定是二次根式”，意味着无论x取任意实数，被开方数都要满足非负的要求，我们只需逐个验证每个选项的被开方数是否恒大于等于0即可。
【解析】
我们根据二次根式的定义逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{x}$的被开方数是$x$，当$x＜0$时，$x$为负数，此时$\sqrt{x}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项B：$\sqrt{x+2}$的被开方数是$x+2$，当$x＜-2$时，$x+2＜0$，此时$\sqrt{x+2}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项C：$\sqrt{x^2-2}$的被开方数是$x^2-2$，当$x=0$时，$x^2-2=-2＜0$，此时$\sqrt{x^2-2}$无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项D：$\sqrt{x^2}$的被开方数是$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都满足$x^2≥0$，因此无论x取何值，$\sqrt{x^2}$都符合二次根式的定义，一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，注意“一定是”的要求是对所有实数都成立，不能只考虑部分取值。
【难度系数】
0.8
12 [2024 盐城]长方形相邻两边的长分别为$\sqrt{2}$ cm，$\sqrt{5}$ cm，设其面积为$S$ cm²，则$S$在两个连续整数（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
12.C
解析
【分析】
首先明确长方形面积计算公式为相邻两边长度的乘积，先据此列出面积的计算式；再运用二次根式的乘法运算法则化简，得到面积的最简形式；最后要判断该无理数的取值范围，只需找到与被开方数相邻的两个正整数的完全平方数，对三个数同时开平方即可得到无理数的区间，进而选出正确答案。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$S = \sqrt{2} × \sqrt{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算得：
$S = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$
再估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
因此$S$在3和4两个连续整数之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 无理数大小估算
3. 长方形面积计算
【点评】
本题为基础题型，核心考查二次根式的运算能力与无理数的估算能力，解题关键是先正确求出面积对应的无理数，再通过对比相邻完全平方数确定其取值范围。
【难度系数】
0.8
首先明确长方形面积计算公式为相邻两边长度的乘积，先据此列出面积的计算式；再运用二次根式的乘法运算法则化简，得到面积的最简形式；最后要判断该无理数的取值范围，只需找到与被开方数相邻的两个正整数的完全平方数，对三个数同时开平方即可得到无理数的区间，进而选出正确答案。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$S = \sqrt{2} × \sqrt{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算得：
$S = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$
再估算$\sqrt{10}$的取值范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
因此$S$在3和4两个连续整数之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 无理数大小估算
3. 长方形面积计算
【点评】
本题为基础题型，核心考查二次根式的运算能力与无理数的估算能力，解题关键是先正确求出面积对应的无理数，再通过对比相邻完全平方数确定其取值范围。
【难度系数】
0.8
13 下列实数中，与$\sqrt{2}$的乘积仍为无理数的是（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
13.B
解析
【分析】
本题需要判断哪个数与$\sqrt{2}$相乘的结果仍是无理数，解题思路为：先根据二次根式的乘法运算法则，分别计算每个选项中的数与$\sqrt{2}$的乘积，再根据有理数（整数和分数统称为有理数）、无理数（无限不循环小数，开方开不尽的数属于常见无理数）的定义判断乘积类型，选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），逐一计算验证：
A选项：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = \sqrt{2 × 2} = \sqrt{4} = 2$，2是整数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无理数，符合要求；
C选项：$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$，4是整数，属于有理数，不符合要求；
D选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 2} = \sqrt{1} = 1$，1是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数的判定；有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的乘法计算能力和对有理数、无理数概念的理解，掌握二次根式乘法法则、明确两类数的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题需要判断哪个数与$\sqrt{2}$相乘的结果仍是无理数，解题思路为：先根据二次根式的乘法运算法则，分别计算每个选项中的数与$\sqrt{2}$的乘积，再根据有理数（整数和分数统称为有理数）、无理数（无限不循环小数，开方开不尽的数属于常见无理数）的定义判断乘积类型，选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），逐一计算验证：
A选项：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = \sqrt{2 × 2} = \sqrt{4} = 2$，2是整数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无理数，符合要求；
C选项：$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$，4是整数，属于有理数，不符合要求；
D选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 2} = \sqrt{1} = 1$，1是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数的判定；有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的乘法计算能力和对有理数、无理数概念的理解，掌握二次根式乘法法则、明确两类数的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14（易错题）计算 $3÷\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的结果为
1
。答案
14.1
易错分析：误用乘法结合律，没有按照运算法则进行计算而致错。
易错分析：误用乘法结合律，没有按照运算法则进行计算而致错。
解析
【分析】
本题是二次根式的同级乘除运算，解题时首先要明确：同级运算需按照从左到右的顺序依次计算，不能随意使用乘法结合律改变运算顺序，否则会出现计算错误。我们可以按顺序分步计算，也可以先将除法转化为乘法统一运算后再约分得到结果。
【解析】
方法一：按从左到右的顺序依次计算
第一步：先计算$3÷\sqrt{3}$，因为$3=\sqrt{3}×\sqrt{3}$，所以$3÷\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
第二步：再计算$\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$，约分后结果为$1$。
方法二：将除法转化为乘法计算
除以$\sqrt{3}$等价于乘以$\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此原式可变形为：
$3×\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
先计算分母部分：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，因此式子化简为$\frac{3}{3}=1$。
注意：若误用乘法结合律先计算$\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}=1$，再计算$3÷1=3$，属于运算顺序错误，结果不正确。
【答案】
1
【知识点】
二次根式乘除运算，同级运算顺序
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略同级运算从左到右的规则，随意套用乘法结合律改变运算顺序导致错解。做题时要先理清运算顺序，再结合二次根式的运算法则逐步计算，不要随意跳步。
【难度系数】
0.6
本题是二次根式的同级乘除运算，解题时首先要明确：同级运算需按照从左到右的顺序依次计算，不能随意使用乘法结合律改变运算顺序，否则会出现计算错误。我们可以按顺序分步计算，也可以先将除法转化为乘法统一运算后再约分得到结果。
【解析】
方法一：按从左到右的顺序依次计算
第一步：先计算$3÷\sqrt{3}$，因为$3=\sqrt{3}×\sqrt{3}$，所以$3÷\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
第二步：再计算$\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$，约分后结果为$1$。
方法二：将除法转化为乘法计算
除以$\sqrt{3}$等价于乘以$\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此原式可变形为：
$3×\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
先计算分母部分：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，因此式子化简为$\frac{3}{3}=1$。
注意：若误用乘法结合律先计算$\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}=1$，再计算$3÷1=3$，属于运算顺序错误，结果不正确。
【答案】
1
【知识点】
二次根式乘除运算，同级运算顺序
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略同级运算从左到右的规则，随意套用乘法结合律改变运算顺序导致错解。做题时要先理清运算顺序，再结合二次根式的运算法则逐步计算，不要随意跳步。
【难度系数】
0.6
15 已知$ab＞0,a+b＜0$,给出下列各式:
①$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$;②$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=1$;
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$;④$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=a$.其中,正确的是________(填序号).
①$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$;②$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=1$;
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$;④$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=a$.其中,正确的是________(填序号).
答案
15. ②③
【解析】因为$ab＞0,a+b＜0$,所以$a＜0,b＜0$.所以$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$无意义.所以①错误.因为$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=1$,所以②正确.$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$.因为$b＜0$,所以原式$=-b$.所以③正确.$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{a^2}=|a|$.因为$a＜0$,所以原式$=-a$.所以④错误.综上所述,正确的是②③.
【解析】因为$ab＞0,a+b＜0$,所以$a＜0,b＜0$.所以$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$无意义.所以①错误.因为$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=1$,所以②正确.$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$.因为$b＜0$,所以原式$=-b$.所以③正确.$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{a^2}=|a|$.因为$a＜0$,所以原式$=-a$.所以④错误.综上所述,正确的是②③.
解析
【分析】
解题首先需要先确定a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a＜0、b＜0，这是后续判断的前提。接下来需结合二次根式的相关知识逐个验证式子：首先要明确二次根式有意义的条件是被开方数非负，其次要掌握二次根式的乘除运算法则，最后化简时要用到$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，结合a、b均为负数的特点去绝对值，逐一判断4个式子的正误即可。
【解析】
$\because ab＞0，a+b＜0$，
$\therefore a＜0，b＜0$。
①中$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负数，无意义，故①错误；
②$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$，$\because b＜0$，$\therefore$原式$=-b$，故③正确；
④$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{a^2}=|a|$，$\because a＜0$，$\therefore$原式$=-a≠a$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题围绕二次根式的核心知识点命题，解题的关键是先根据已知条件准确判断a、b的符号，运算和化简时要注意二次根式的非负性要求，化简$\sqrt{x^2}$时必须结合x的正负去掉绝对值符号，是易混淆符号的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题首先需要先确定a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a＜0、b＜0，这是后续判断的前提。接下来需结合二次根式的相关知识逐个验证式子：首先要明确二次根式有意义的条件是被开方数非负，其次要掌握二次根式的乘除运算法则，最后化简时要用到$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，结合a、b均为负数的特点去绝对值，逐一判断4个式子的正误即可。
【解析】
$\because ab＞0，a+b＜0$，
$\therefore a＜0，b＜0$。
①中$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负数，无意义，故①错误；
②$\sqrt{\dfrac{b}{a}}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$，$\because b＜0$，$\therefore$原式$=-b$，故③正确；
④$\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{a^2}=|a|$，$\because a＜0$，$\therefore$原式$=-a≠a$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题围绕二次根式的核心知识点命题，解题的关键是先根据已知条件准确判断a、b的符号，运算和化简时要注意二次根式的非负性要求，化简$\sqrt{x^2}$时必须结合x的正负去掉绝对值符号，是易混淆符号的典型题型。
【难度系数】
0.6
16 计算：
(1) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}}$；
(2) $\sqrt{27} × \sqrt{3} + (\sqrt{72} - \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{45} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} + (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$；
(4) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$。
(1) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}}$；
(2) $\sqrt{27} × \sqrt{3} + (\sqrt{72} - \sqrt{50}) ÷ \sqrt{2}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{45} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} + (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$；
(4) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$。
答案
16.(1) 1 (2) 10 (3) 3 (4) $-2\sqrt{5}$
解析
【分析】
这四道题均考查二次根式的混合运算，解题思路如下：①涉及带分数的先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）统一为根号下的运算，或拆分运算简化计算；②运算顺序遵循先乘方、再乘除、最后加减，能利用平方差公式、完全平方公式的优先使用公式简化运算；③最终结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法则运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{3}} × \sqrt{\dfrac{7}{5}} ÷ \sqrt{\dfrac{7}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{7}{5} ÷ \dfrac{7}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{7}{5} × \dfrac{3}{7}}$
$=\sqrt{1}=1$
(2) 分别计算乘法和除法部分，再相加：
原式$=\sqrt{27 × 3} + \sqrt{72} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{50} ÷ \sqrt{2}$
$=\sqrt{81} + \sqrt{72÷2} - \sqrt{50÷2}$
$=9 + \sqrt{36} - \sqrt{25}$
$=9 + 6 - 5=10$
(3) 拆分分式简化运算，再用平方差公式计算乘法，最后相加：
原式$=\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} - \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + 2^2 - (\sqrt{3})^2$
$=\sqrt{45÷5} - 1 + 4 - 3$
$=\sqrt{9} -1 +1$
$=3 -1 +1=3$
(4) 分别用完全平方公式和平方差公式计算两部分，再相减：
原式$=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2 - [(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2]$
$=5 - 2\sqrt{5} +1 - (18 - 12)$
$=6 - 2\sqrt{5} - 6$
$=-2\sqrt{5}$
【答案】
(1) $1$；(2) $10$；(3) $3$；(4) $-2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算，乘法公式应用，二次根式混合运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的运算能力，熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用平方差、完全平方公式可大幅简化计算过程，运算时需注意运算顺序，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这四道题均考查二次根式的混合运算，解题思路如下：①涉及带分数的先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）统一为根号下的运算，或拆分运算简化计算；②运算顺序遵循先乘方、再乘除、最后加减，能利用平方差公式、完全平方公式的优先使用公式简化运算；③最终结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法则运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{3}} × \sqrt{\dfrac{7}{5}} ÷ \sqrt{\dfrac{7}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{7}{5} ÷ \dfrac{7}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{7}{5} × \dfrac{3}{7}}$
$=\sqrt{1}=1$
(2) 分别计算乘法和除法部分，再相加：
原式$=\sqrt{27 × 3} + \sqrt{72} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{50} ÷ \sqrt{2}$
$=\sqrt{81} + \sqrt{72÷2} - \sqrt{50÷2}$
$=9 + \sqrt{36} - \sqrt{25}$
$=9 + 6 - 5=10$
(3) 拆分分式简化运算，再用平方差公式计算乘法，最后相加：
原式$=\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} - \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + 2^2 - (\sqrt{3})^2$
$=\sqrt{45÷5} - 1 + 4 - 3$
$=\sqrt{9} -1 +1$
$=3 -1 +1=3$
(4) 分别用完全平方公式和平方差公式计算两部分，再相减：
原式$=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2 - [(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2]$
$=5 - 2\sqrt{5} +1 - (18 - 12)$
$=6 - 2\sqrt{5} - 6$
$=-2\sqrt{5}$
【答案】
(1) $1$；(2) $10$；(3) $3$；(4) $-2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算，乘法公式应用，二次根式混合运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的运算能力，熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用平方差、完全平方公式可大幅简化计算过程，运算时需注意运算顺序，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
17 新考向 新定义题 定义:若两个二次根式 $ m $, $ n $ 满足 $ m · n = p $,且 $ p $ 是有理数,则称 $ m $ 与 $ n $ 是关于 $ p $ 的“友好二次根式”.
(1) 若 $ m $ 与 $ \sqrt{5} $ 是关于15的“友好二次根式”,求 $ m $ 的值;
(2) 若 $ 2 - \sqrt{2} $ 与 $ 4 + \sqrt{2}m $ 是关于4的“友好二次根式”,求 $ m $ 的值.
(1) 若 $ m $ 与 $ \sqrt{5} $ 是关于15的“友好二次根式”,求 $ m $ 的值;
(2) 若 $ 2 - \sqrt{2} $ 与 $ 4 + \sqrt{2}m $ 是关于4的“友好二次根式”,求 $ m $ 的值.
答案
17.(1) 因为$m$与$\sqrt{5}$是关于15的“友好二次根式”,所以$\sqrt{5}m=15$,解得$m=\sqrt{45}$
(2) 因为$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}m$是关于4的“友好二次根式”,所以$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$,解得$m=2$
(2) 因为$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}m$是关于4的“友好二次根式”,所以$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$,解得$m=2$
解析
【分析】
这是一道新定义类的二次根式运算题，解题核心是先准确理解“友好二次根式”的定义：若两个二次根式m、n满足$m· n=p$且p为有理数，则二者是关于p的“友好二次根式”。解题时只需将题目给出的对应根式代入定义式列方程，再按照二次根式的运算法则解方程即可。第(1)问直接代入定义列一元一次方程求解，第(2)问先利用多项式乘多项式法则展开左侧乘积，再整理求解m即可。
【解析】
(1) 根据“友好二次根式”的定义，m与$\sqrt{5}$是关于15的“友好二次根式”，因此：
$\sqrt{5}· m=15$
求解m：
$m=\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=3\sqrt{5}=\sqrt{45}$
(2) 同理，$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}m$是关于4的“友好二次根式”，因此：
$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$
展开左侧乘积：
$2×4 + 2×\sqrt{2}m - \sqrt{2}×4 - \sqrt{2}×\sqrt{2}m=4$
化简整理：
$8 + 2\sqrt{2}m -4\sqrt{2} -2m=4$
将含m的项和常数项分别整理：
$m(2\sqrt{2}-2)=4\sqrt{2}-4$
两边同时除以$2\sqrt{2}-2$：
$m=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=2$
【答案】
(1) $\sqrt{45}$；(2) $2$
【知识点】
新定义运算、二次根式运算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新规则的转化能力和常规代数运算能力，只要准确把新定义转化为已学的方程、二次根式运算问题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义类的二次根式运算题，解题核心是先准确理解“友好二次根式”的定义：若两个二次根式m、n满足$m· n=p$且p为有理数，则二者是关于p的“友好二次根式”。解题时只需将题目给出的对应根式代入定义式列方程，再按照二次根式的运算法则解方程即可。第(1)问直接代入定义列一元一次方程求解，第(2)问先利用多项式乘多项式法则展开左侧乘积，再整理求解m即可。
【解析】
(1) 根据“友好二次根式”的定义，m与$\sqrt{5}$是关于15的“友好二次根式”，因此：
$\sqrt{5}· m=15$
求解m：
$m=\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=3\sqrt{5}=\sqrt{45}$
(2) 同理，$2-\sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}m$是关于4的“友好二次根式”，因此：
$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$
展开左侧乘积：
$2×4 + 2×\sqrt{2}m - \sqrt{2}×4 - \sqrt{2}×\sqrt{2}m=4$
化简整理：
$8 + 2\sqrt{2}m -4\sqrt{2} -2m=4$
将含m的项和常数项分别整理：
$m(2\sqrt{2}-2)=4\sqrt{2}-4$
两边同时除以$2\sqrt{2}-2$：
$m=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=2$
【答案】
(1) $\sqrt{45}$；(2) $2$
【知识点】
新定义运算、二次根式运算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新规则的转化能力和常规代数运算能力，只要准确把新定义转化为已学的方程、二次根式运算问题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
