1[2025安徽合肥包河区期中]如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一条直线时，甲灯照射的影子NE长2米，乙灯照射的影子NF长3米。已知涛涛同学身高MN为1.6米，两盏路灯的高度AB和CD相同，两盏路灯之间的距离BD为15米，求甲路灯的高（AB的长）。

【解】由题意知 MN = 1.6,EN = 2,FN = 3,BD = 15,AB//MN//CD,
∴ △EMN∽△EAB,△FMN∽△FCD,
∴ $\frac{MN}{AB} = \frac{EN}{EB}$, $\frac{MN}{CD} = \frac{FN}{FD}$. 又
∵ AB = CD,
∴ $\frac{EN}{EB} = \frac{FN}{FD}$,
∴ $\frac{2}{EB} = \frac{3}{15+5-EB}$,
∴ EB = 8.
∵ $\frac{MN}{AB} = \frac{EN}{EB}$,
∴ $\frac{1.6}{AB} = \frac{2}{8}$,
∴ AB = 6.4.答:甲路灯的高(AB 的长)为 6.4 米.

【分析】
遇到中心投影下的高度测量问题，首先观察到垂直于地面的路灯、身高互相平行，可通过平行关系构造相似三角形解题。第一步：由AB//MN、CD//MN，分别得到两组相似三角形△EMN∽△EAB、△FMN∽△FCD，根据相似三角形性质列出对应边的比例式；第二步：结合两路灯高度相等的条件，联立两个比例式，得到两个影子对应底边的比例关系；第三步：梳理线段和差关系，EB与FD的和等于两路灯间距加上两个影子的总长度，代入比例式先求出EB的长度；第四步：将EB代入相似比例式，即可求出甲路灯的高度。
【解析】
由题意得：MN⊥BD，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ AB//MN//CD，
∵ ∠E为公共角，∠MNE=∠ABE=90°，
∴ △EMN∽△EAB，
同理∠F为公共角，∠MNF=∠CDF=90°，
∴ △FMN∽△FCD，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{MN}{AB} = \frac{EN}{EB}$，$\frac{MN}{CD} = \frac{FN}{FD}$，
∵ AB=CD，
∴ $\frac{EN}{EB} = \frac{FN}{FD}$，
由线段和差关系可知：$EB+FD=BD+FN+EN=15+3+2=20$，即$FD=20-EB$，
代入EN=2、FN=3得：$\frac{2}{EB} = \frac{3}{20-EB}$，
交叉相乘解得：$EB=8$，
将$EB=8$、$MN=1.6$、$EN=2$代入$\frac{MN}{AB} = \frac{EN}{EB}$得：
$\frac{1.6}{AB} = \frac{2}{8}$，
解得$AB=6.4$。
【答案】
6.4米
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题关键是通过平行关系找到对应相似三角形，理清各线段的和差关系，再列比例式求解，注意计算时不要混淆各线段的对应关系。
【难度系数】
0.6

2 [2025安徽滁州期中]在某次升旗仪式时，同学们想到用所学知识测量校园内的旗杆的高度.曼曼找来了一根2米长的竹竿EF竖直立在自己(线段CD)和旗杆(线段AB)之间，保证自己的眼睛C、竹竿顶端E、旗杆顶端A三点恰好在一条直线上(如图).若曼曼的眼睛距地面的高度CD为1.5米(眼睛到头顶的距离忽略不计)，曼曼与竹竿的距离DF为1.5米，竹竿底端与旗杆底端的距离FB是46.5米，则旗杆的高度AB为米.

17.5 【解析】如图,过点 C 作 CH//BD,分别交 EF,AB 于点 G,H,则易知四边形 CGFD、四边形 HBFG、四边形 HBDC 为矩形,
∴ CG = DF,HB = GF = CD,CH = DB.
∵ CH // BD,
∴ ∠CHA = ∠DBA = 90°, ∠CGE = ∠DFE = 90°,
∴ ∠CGE = ∠CHA. 又
∵ ∠ECG = ∠ACH,
∴ △CGE∽△CHA,
∴ $\frac{EG}{AH} = \frac{CG}{CH} = \frac{DF}{DB}$.
∵ DF = 1.5 米,DB = DF + FB = 1.5 + 46.5 = 48 (米),EG = EF - GF = EF - CD = 2 - 1.5 = 0.5 (米),
∴ AH = 16 米,
∴ AB = AH + HB = 16 + 1.5 = 17.5(米).

【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际问题，解题思路如下：首先观察到CD、EF、AB均垂直于水平面BD，因此可过点C作平行于BD的直线CH，分别交EF、AB于G、H，此时可得到多个矩形，能将已知的水平距离、竖直高度转化为三角形的边长；由于C、E、A三点共线，可得到△CGE和△CHA有公共角，且两个三角形都有直角，因此可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出AH的长度，最后加上HB（即CD的高度）即可得到旗杆AB的高度。
【解析】
解：如图，过点C作$CH// BD$，分别交EF、AB于点G、H，
易知四边形CGFD、四边形HBFG、四边形HBDC均为矩形，
$\therefore CG = DF$，$HB = GF = CD$，$CH = DB$。
$\because CH // BD$，
$\therefore ∠ CHA = ∠ DBA = 90°$，$∠ CGE = ∠ DFE = 90°$，
$\therefore ∠ CGE = ∠ CHA$，
又$\because ∠ ECG = ∠ ACH$（公共角），
$\therefore △ CGE ∽ △ CHA$，
$\therefore \frac{EG}{AH} = \frac{CG}{CH} = \frac{DF}{DB}$。
根据题意：$DF = 1.5$ 米，$DB = DF + FB = 1.5 + 46.5 = 48$（米），
$EG = EF - GF = EF - CD = 2 - 1.5 = 0.5$（米），
代入比例式得：$\frac{0.5}{AH} = \frac{1.5}{48}$，
解得 $AH = 16$ 米，
$\therefore AB = AH + HB = 16 + 1.5 = 17.5$（米）。

【答案】
17.5
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，核心是通过作辅助线构造相似三角形，将实际场景中的长度数据转化为几何图形的边长，利用相似性质求解，注意最终旗杆高度需要加上人眼到地面的高度，避免漏加导致出错。
【难度系数】
0.6

3[2026安徽合肥期中]【学科融合】如图(1),在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同
一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角$r$等于入射角$i$.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图(2),小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点$G$处,灯泡到地面的高度$AG=1.2\ \mathrm{m}$,手电筒的光从平面镜上点$B$处反射后,恰好经过木板的边缘点$F$,落在墙上的点$E$处,点$F$到地面的高度$CF=1.8\ \mathrm{m}$,灯泡到木板的水平距离$AC=6\ \mathrm{m}$,木板到墙的水平距离$CD=4\ \mathrm{m}$.图中$A,B,C,D$在同一条直线上.
(1)求$AB$的长;
(2)求点$E$到地面的高度$DE$.

【解】(1)根据题意易得 ∠CBF = ∠ABG,∠FCB = ∠GAB = 90°,
∴ △FCB ∽ △GAB,
∴ $\frac{CF}{AG} = \frac{BC}{AB}$.
∵ AG = 1.2 m, CF = 1.8 m, AC = 6 m,
∴ $\frac{1.8}{1.2} = \frac{6-AB}{AB}$ ,
∴ AB = 2.4 m.答:AB 的长为 2.4 m.(2) 由题意易得 ∠EDB = ∠GAB = 90°,∠EBD = ∠GBA,
∴ △EDB ∽ △GAB,
∴ $\frac{DE}{AG} = \frac{BD}{AB}$ ,
∴ $\frac{DE}{1.2} = \frac{4+6-2.4}{2.4}$ ,
∴ DE = 3.8 m.答:点 E 到地面的高度 DE 为 3.8 m.

【分析】
本题是跨学科融合题，需结合光的反射定律推导角相等，再利用相似三角形的性质求解线段长度：
(1) 首先根据光的反射定律中反射角等于入射角，可得∠CBF=∠ABG，结合两个直角相等可证明△FCB∽△GAB，设AB长为x，将BC表示为6-x，代入相似三角形对应边成比例的关系式即可求解AB的长度。
(2) 同理可证△EDB∽△GAB，先计算出BD的长度，再代入相似三角形的比例关系式，即可求出DE的高度。
【解析】
(1) 根据光的反射定律得∠CBF = ∠ABG，
∵ FC⊥AC，AG⊥AC，
∴ ∠FCB = ∠GAB = 90°，
∴ $△ FCB ∽ △ GAB$，则$\frac{CF}{AG} = \frac{BC}{AB}$。
已知AG = 1.2 m，CF = 1.8 m，AC = 6 m，设AB = x m，则BC = (6 - x) m，
代入得$\frac{1.8}{1.2} = \frac{6 - x}{x}$，
解得x = 2.4，即AB = 2.4 m。
(2) 由反射定律得∠EBD = ∠GBA，
∵ ED⊥BD，AG⊥AB，
∴ ∠EDB = ∠GAB = 90°，
∴ $△ EDB ∽ △ GAB$，则$\frac{DE}{AG} = \frac{BD}{AB}$。
BD = CD + AC - AB = 4 + 6 - 2.4 = 7.6 m，代入AG = 1.2 m，AB = 2.4 m，
得$\frac{DE}{1.2} = \frac{7.6}{2.4}$，解得DE = 3.8 m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2.4\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{3.8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形应用，光的反射定律，比例计算
【点评】
本题为数学与物理的跨学科融合题，解题核心是利用反射定律得到等角，进而判定相似三角形，再通过相似三角形的边的比例关系求解未知线段，能够考查学生对跨学科知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4 如图,小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与树顶B在同一直线上.已知纸板的两条边EF=30 cm,DE=40 cm,延长DF交AB于点C,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=12 m,求树高AB.

【解】EF=30 cm=0.3 m,DE=40 cm=0.4 m.
∵ ∠DEF = ∠DCB = 90°, ∠EDF = ∠CDB,
∴ △DEF ∽ △DCB,
∴ $\frac{EF}{BC} = \frac{DE}{DC}$ ,即 $\frac{0.3}{BC} = \frac{0.4}{12}$ ,
∴ BC=9 m,
∴ AB=BC+AC=9+1.5=10.5(m).答:树高 AB 为 10.5 m.

【分析】
这是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题思路如下：第一步先统一单位，将厘米单位换算为米，避免单位不统一导致计算错误；第二步观察图形特征，△DEF和△DCB都是直角三角形，且有公共角∠EDF=∠CDB，根据两角对应相等可判定两个三角形相似；第三步利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出BC的长度；最后树高AB等于BC加上DF离地面的高度AC，即可得到最终结果。
【解析】
先换算单位：$EF=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ DEF = ∠ DCB = 90°$，$∠ EDF = ∠ CDB$，
$\therefore △ DEF ∽ △ DCB$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EF}{BC} = \frac{DE}{DC}$，
代入数值：$\frac{0.3}{BC} = \frac{0.4}{12}$，解得$BC=9\ \mathrm{m}$，
因此树高$AB=BC+AC=9+1.5=10.5(\mathrm{m})$。
【答案】
$10.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础题型，解题核心是准确找到相似的三角形，计算时要注意先统一单位，最后不要遗漏加上下方离地面的高度部分。
【难度系数】
0.8