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12.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为$AC$上的一点，$CD=3$，$AD=BD=5$，求$∠ A$的三角函数值。
答案
12.解:在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$\because CD=3,BD=5,\therefore BC= \sqrt{BD^2-CD^2} =\sqrt{5^2-3^2}=4$.又$\because AC=AD+CD=8,\therefore AB= \sqrt{AC^2+BC^2} =\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$ , 则 $\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{4\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ , $\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{4\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ,$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ .
13.[易错题]在$Rt△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，则$\cos A$的值等于（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
C.$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{4}{5}$或$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
C
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
C.$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{4}{5}$或$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
答案
13.C [解析]当$△ ABC$为直角三角形时,存在两种情况:①当$AB$为斜边,$∠ C=90°$时,$\because AC=8,BC=6,\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10,\therefore \cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$;②当$AC$为斜边,$∠ B=90°$时,由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$,$\therefore \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2\sqrt{7}}{8}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$.综上所述,$\cos A$的值为$\dfrac{4}{5}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
14.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，则$\tan B$的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
14.B
变式训练
如图,在$6×6$的正方形网格中,$△ABC$的顶点都在小正方形的顶点上,则$\sin∠BAC$的值是 (
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{5}$
如图,在$6×6$的正方形网格中,$△ABC$的顶点都在小正方形的顶点上,则$\sin∠BAC$的值是 (
D
)A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
[变式训练]D
15.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{2}{3}$，则$BC:AC:AB=$
$\sqrt{5}:2:3$
答案
15.$\sqrt{5}:2:3$
16.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求$\sin∠ ECM$的值. 
答案
16.解:设$AE=x$,则$BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x$,$\therefore EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$,$EM=\sqrt{AE^2+AM^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}\,x$,$CM=\sqrt{MD^2+CD^2}=\sqrt{(2x)^2+(4x)^2}=2\sqrt{5}\,x$,$\therefore EM^2+CM^2=CE^2$,$\therefore △ CEM$ 是直角三角形,$\therefore \sin∠ ECM=\dfrac{EM}{CE}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
17.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是BC上一点,$AC=2$,$CD=1$,设$∠ CAD=α$.
（1）试写出$α$的三角函数值；
（2）若$∠ B=α$,求BD的长.
（1）试写出$α$的三角函数值；
（2）若$∠ B=α$,求BD的长.
答案
17.解:在$\mathrm{Rt}△ CAD$ 中,$\because AC=2,DC=1,\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
(1)$\sin α=\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos α=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,$\tan α=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2}$.
(2)$\because ∠ B=α,∠ C=90°,\therefore △ ABC ∽ △ DAC$,$\therefore \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DC}{AC}$,$\therefore BC=\dfrac{AC^2}{DC}=\dfrac{4}{1}=4$,$\therefore BD=BC-CD=4-1=3$.
(1)$\sin α=\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos α=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,$\tan α=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2}$.
(2)$\because ∠ B=α,∠ C=90°,\therefore △ ABC ∽ △ DAC$,$\therefore \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DC}{AC}$,$\therefore BC=\dfrac{AC^2}{DC}=\dfrac{4}{1}=4$,$\therefore BD=BC-CD=4-1=3$.
在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则cosB的值为（）
答案
$\frac{2}{3}$.
解：
＜a class="label_tishi" href="label_tishi" style="pointer-events: none;text-decoration:none;color:#f24646"＞【提示】＜/a＞『在△ABC中，∠C=90°，则cosB=『$\frac{BC}{AB}$』.』
∵∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴cosB=$\frac{2}{3}$.
＜a class="label_know" href="label_know" style="pointer-events: none;text-decoration:none;color:#f24646"＞【知识点】＜/a＞『＜a class="answerknow" href="锐角三角函数的定义" id="10634" style="pointer-events: none;text-decoration:none;color:#f24646"＞锐角三角函数的定义＜/a＞』
解析
