一、利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形
1.如图，已知D是∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线的交点，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF.

1.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBE = ∠DBC.
∵DE // BC,
∴∠EDB = ∠DBC.
∴∠ABD = ∠EDB,
∴BE=DE.
∵CD 平分∠ACG,
∴∠ACD=∠DCG.
∵DE // BC,
∴∠EDC=∠DCG.
∴∠ACD=∠EDC,
∴CF=DF.
∵EF=DE-DF,
∴EF=BE-CF

【分析】
要证明EF=BE-CF，可利用“角平分线+平行线”的常用模型构造等腰三角形，得到线段的等量关系来推导。首先结合BD是∠ABC的平分线、DE//BC的条件，证明△BED为等腰三角形，得到BE=DE；再结合CD是△ABC外角的平分线、DE//BC的条件，证明△CFD为等腰三角形，得到CF=DF；最后根据线段DE的和差关系DE=EF+DF，将DE、DF替换为等量的BE、CF，即可推导出待证结论。
【解析】
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBE = ∠DBC。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠DBE = ∠EDB，
∴ BE = DE（等角对等边）。
∵ CD平分∠ACG，
∴ ∠ACD = ∠DCG。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDC = ∠DCG（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ACD = ∠EDC，
∴ CF = DF（等角对等边）。
∵ EF = DE - DF，
∴ EF = BE - CF。
【答案】
EF＝BE－CF
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形模型的典型应用，通过该模型可快速得到线段相等关系，结合线段和差即可完成证明，熟练掌握这类几何模型能有效提升几何解题的速度与准确率。
【难度系数】
0.8

二、利用“腰的平行线”构造等腰三角形
2.如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，点$D$在$AB$上，点$E$在$AC$的延长线上，且$BD＝CE$，$DE$交$BC$于点$F$.求证：$DF＝EF$.

2.如图,过点 D 作 DM//AC 交 BC 于点 M,
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DMB,
∴BD=MD,
∵BD=CE,
∴MD=CE,在△DMF 和△ECF 中,$\begin{cases}∠MFD=∠CFE,\\∠MDF=∠E,\\MD=CE,\end{cases}$
∴△DMF≌△ECF(AAS),
∴DF=EF

【分析】
要证明DF=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF所在的△BDF和EF所在的△ECF不具备全等条件，因此需要构造全等三角形。结合已知AB=AC的等腰三角形条件，可过D作AC的平行线，利用平行线的性质和等腰三角形的性质，将CE转化为与它相等的线段DM，进而证明△DMF和△ECF全等，即可得到DF=EF。
【解析】
过点D作$DM// AC$交BC于点M，
根据平行线的性质可得：$∠ DMB=∠ ACB$，$∠ FDM=∠ E$，
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ ACB$，
$\therefore ∠ B=∠ DMB$，$\therefore △ BDM$为等腰三角形，$BD=MD$，
又$\because BD=CE$，$\therefore MD=CE$，
在$△ DMF$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ MFD=∠ CFE（对顶角相等）,\\∠ MDF=∠ E（已证）,\\MD=CE（已证）\end{cases}$
$\therefore △ DMF≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$DF=EF$。
【答案】
过点 D 作 DM//AC 交 BC 于点 M,
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DMB,
∴BD=MD,
∵BD=CE,
∴MD=CE,在△DMF 和△ECF 中,$\begin{cases}∠MFD=∠CFE,\\∠MDF=∠E,\\MD=CE,\end{cases}$
∴△DMF≌△ECF(AAS),
∴DF=EF
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是构造辅助线证明线段相等的典型题型，核心是通过作平行线构造等腰三角形完成边的等量转化，再利用全等三角形的性质得到待证结论，需熟练掌握“平行线+等腰三角形”的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6

三、利用“角平分线＋垂直”构造等腰三角形
3.如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E.求证：BE＝$\frac{1}{2}$(AC－AB).

3.如图,延长 BE 交 AC 于点 F,
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE,在△ABE 和△AFE 中,$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,
AB=AF,BE=EF,
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF,
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF,
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}(AC-AB)$

【分析】
本题出现“角平分线+垂线”的特征，这类问题的常规思路是通过延长垂线构造等腰三角形：首先延长BE交AC于点F，先利用角平分线和垂直的条件证明△ABE与△AFE全等，得到AB=AF、BE=EF，将AC-AB转化为CF的长度；再结合已知∠ABC=3∠C，利用三角形外角的性质推导角度关系，证明∠CBF=∠C，得到BF=CF，最终推导出BE和(AC-AB)的数量关系。
【解析】
延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(ASA)，
∴∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C，
∴∠C+2∠CBF=3∠C，
∴∠CBF=∠C，
∴BF=CF，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF，
∵CF=AC-AF=AC-AB，
∴BE=$\frac{1}{2}(AC-AB)$
【答案】
3.如图,延长 BE 交 AC 于点 F,
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE,在△ABE 和△AFE 中,$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,
AB=AF,BE=EF,
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF,
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF,
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}(AC-AB)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+垂线构造等腰三角形”模型的典型考题，解题核心是掌握该模型的辅助线构造方法，通过全等转化线段与角的等量关系，再结合角度推导得到等角对等边，从而完成结论证明，熟练掌握这类几何模型可有效提升几何题解题速度。
【难度系数】
0.6