11 点A沿数轴向左平移3个单位长度到达点B，点A表示的数为$-\sqrt{2}$，设点B所表示的数为m。
(1) 实数m的值是；
(2) 求$|m+2| - |m-2|$的值。

(1) $-\sqrt{2}-3$
(2) 因为$m+2＜0, m-2＜0$,所以$|m+2|-|m-2|=-m-2+m-2=-4$。

【分析】
(1) 解决第一问的思路：数轴上点的平移规律为“左减右加”，即向左平移n个单位，对应表示的数就减去n，向右平移则加上n。已知点A表示的数和向左平移的单位长度，直接用点A对应的数减去3即可得到m的值。
(2) 解决第二问的思路：化简含绝对值的式子，首先要判断绝对值内代数式的正负性。先估算m的大致范围，分别判断m+2和m-2的正负，再根据“负数的绝对值等于它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项计算结果即可。
【解析】
(1) 点A沿数轴向左平移3个单位长度得到点B，根据数轴上点的平移“左减右加”规则，点A表示的数为$-\sqrt{2}$，因此点B表示的数$m = -\sqrt{2} - 3$。
(2) 估算m的取值：$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$m=-\sqrt{2}-3\approx-4.414$。
可得$m+2\approx-4.414+2=-2.414＜0$，$m-2\approx-4.414-2=-6.414＜0$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值得：
$|m+2| = -(m+2) = -m-2$，$|m-2| = -(m-2) = -m+2$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}|m+2| - |m-2| &= (-m-2) - (-m+2) \\&= -m -2 + m -2 \\&= -4\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}-3$；(2) $-4$
【知识点】
数轴点的平移规律，绝对值的化简，实数大小比较
【点评】
本题重点考查数轴平移规则和绝对值的运算，解题核心是先正确求出m的值，再准确判断绝对值内表达式的正负，去绝对值时注意符号变化，是实数运算部分的基础常规题。
【难度系数】
0.8

12 定义新运算:对于任意实数$a$、$b$,都有$a \otimes b = a(a - b) + 1$,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算。例如:$2 \otimes 5 = 2 × (2 - 5) + 1 = 2 × (-3) + 1 = -5$。
(1) 求$(-2) \otimes 3$的值;
(2) 若$3 \otimes x$的值小于13,求$x$的取值范围,并在数轴上表示出来。

(1) 因为$a \otimes b = a(a - b) + 1$,所以$(-2) \otimes 3 = -2 × (-2 - 3) + 1 = 10 + 1 = 11$。
(2) 因为$3 \otimes x ＜ 13$,所以$3(3 - x) + 1 ＜ 13$,解得$x ＞ -1$。在数轴上表示如下：

【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 第一问是新定义运算的直接应用，只需按照题目给出的运算规则，把a替换为-2、b替换为3，代入后按有理数运算顺序计算即可。
(2) 第二问先根据新定义规则把$3\otimes x$转化为含x的代数式，再结合“值小于13”的条件列一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，最后在数轴上表示解集：大于-1所以在-1处用空心圆圈，方向向右绘制射线即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a \otimes b = a(a - b) + 1$，将$a=-2$，$b=3$代入式子：
$\begin{aligned}(-2) \otimes 3 &= -2 × (-2 - 3) + 1 \\&= -2 × (-5) + 1 \\&= 10 + 1 \\&= 11\end{aligned}$
(2) 首先根据新定义计算$3 \otimes x$：
$3 \otimes x = 3(3 - x) + 1$
由题意$3 \otimes x ＜ 13$，列不等式求解：
$\begin{aligned}3(3 - x) + 1 &＜ 13 \\9 - 3x + 1 &＜ 13 \\10 - 3x &＜ 13 \\-3x &＜ 3 \\x &＞ -1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{11}$
(2) $x ＞ -1$，在数轴上表示如下：

【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，数轴表示不等式解集
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为常规的四则运算和不等式问题，解题时要注意解不等式系数化为1时，若系数为负不等号方向要改变，数轴表示解集时注意区分空心圆圈和实心点的使用场景。
【难度系数】
0.8

13 阅读材料:数轴上A、B两点分别对应的实数为$a$、$b$,则$|a - b|$表示A、B两点之间的距离。
(1) 若数轴上点A对应的实数$a=-1$,且$|a - b|=3$,则数轴上点B对应的实数$b=$。
(2) 若数轴上A、B两点对应的数分别为$2x^2 - 3x - 1$、$-3x^2 + 2x + 4$,且点A在B的右边,求A、B两点之间的距离。
(3) 若数轴上A、B两点对应的数分别为$2x^2 - 3x - 1$、$mx^2 + 2x + 4$,且求得A、B两点之间的距离所得结果不含$x^2$,求$m$的值。

(1) 2或−4
(2) 由题意得,A、B两点之间的距离为:$2x^2-3x-1-(-3x^2+2x+4)=2x^2-3x-1+3x^2-2x-4=5x^2-5x-5$。
(3) 由题意得,A、B两点之间的距离为$|2x^2-3x-1-mx^2-2x-4|=|(2-m)x^2-5x-5|$。因为结果不含$x^2$,所以$2-m=0$,解得$m=2$。

【分析】
(1) 根据绝对值的几何意义，$|a-b|$表示数轴上A、B两点的距离，已知$a=-1$且$|a-b|=3$，说明点B到点A的距离为3，需分点B在点A左侧、右侧两种情况计算$b$的值。
(2) 点A在B的右边，说明A对应的数大于B对应的数，因此两点距离可直接用A对应数减去B对应数，再通过去括号、合并同类项化简即可。
(3) 先根据两点距离公式写出两数差的绝对值，合并同类项后，结果不含$x^2$项说明$x^2$项的系数为0，据此列方程求解$m$的值。
【解析】
(1) 已知$a=-1$，$|a-b|=3$，即$|-1-b|=3$，因此$-1-b=3$或$-1-b=-3$，分别解得$b=-4$或$b=2$。
(2) 因为点A在B的右侧，所以A对应数大于B对应数，A、B两点的距离为：
$\begin{aligned}&2x^2 - 3x - 1 - (-3x^2 + 2x + 4)\\=&2x^2 - 3x - 1 + 3x^2 - 2x - 4\\=&5x^2 - 5x - 5\end{aligned}$
(3) A、B两点的距离为：
$\begin{aligned}&|(2x^2 - 3x - 1) - (mx^2 + 2x + 4)|\\=&|2x^2 - 3x - 1 - mx^2 - 2x - 4|\\=&|(2 - m)x^2 - 5x - 5|\end{aligned}$
由于结果不含$x^2$项，因此$x^2$项的系数为0，即$2-m=0$，解得$m=2$。
【答案】
(1) $2$或$-4$
(2) $5x^2-5x-5$
(3) $m=2$
【知识点】
数轴两点距离公式，整式加减运算，多项式项的系数
【点评】
本题结合数轴几何意义考查整式运算的应用，三个小问难度逐层递进，解题时需注意：第一问不要遗漏点B的两种位置情况，第二问可根据点的位置关系简化绝对值运算，第三问理解“不含某一项”即该项系数为0是解题核心。
【难度系数】
0.7