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1.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,规则:两人比赛,另一人担任裁判,输者将在下一局中担任裁判,每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局,丙当了3次裁判,则第二局的输者是
丙
.答案
1. 丙
解析 设一共比赛了x局,由题意得甲当裁判的场数+乙当裁判的场数=丙比赛的场数,所以x-4+x-4=x-3,解得x=5,所以甲、乙、丙三人一共比赛了5局,因为丙当了3次裁判,所以丙比赛了2局,甲和乙作为对手比赛了3局,所以丙和甲、丙和乙各比赛了1局.
甲和乙同时比赛不可能出现在任何相邻的两局中,则甲、乙两人同时比赛是在第1,3,5局中,第3局丙当裁判,则第2局中丙输了.
解析 设一共比赛了x局,由题意得甲当裁判的场数+乙当裁判的场数=丙比赛的场数,所以x-4+x-4=x-3,解得x=5,所以甲、乙、丙三人一共比赛了5局,因为丙当了3次裁判,所以丙比赛了2局,甲和乙作为对手比赛了3局,所以丙和甲、丙和乙各比赛了1局.
甲和乙同时比赛不可能出现在任何相邻的两局中,则甲、乙两人同时比赛是在第1,3,5局中,第3局丙当裁判,则第2局中丙输了.
2.当$n=0,1,2,3,4$时,代数式$n^2+n+17$的值都是质数吗？命题“对于所有自然数$n$,$n^2+n+17$的值是质数”是真命题还是假命题？为什么？
答案
当n=0时,$n^2+n+17=17$,是质数；
当n=1时,$n^2+n+17=19$,是质数；
当n=2时,$n^2+n+17=23$,是质数；
当n=3时,$n^2+n+17=29$,是质数；
当n=4时,$n^2+n+17=37$,是质数.
命题“对于所有自然数n,$n^2+n+17$的值是质数”是假命题,理由:当n=17时,$n^2+n+17=17^2+17+17=17×19$,不是质数,故命题是假命题.
当n=1时,$n^2+n+17=19$,是质数；
当n=2时,$n^2+n+17=23$,是质数；
当n=3时,$n^2+n+17=29$,是质数；
当n=4时,$n^2+n+17=37$,是质数.
命题“对于所有自然数n,$n^2+n+17$的值是质数”是假命题,理由:当n=17时,$n^2+n+17=17^2+17+17=17×19$,不是质数,故命题是假命题.
3.「2026河南平顶山期末」如图，现有以下三个论断：①$∠ 1=∠ 2$；②$∠ B=∠ C$；③$AB// CD$.请以其中2个论断为条件，余下的1个论断为结论构造命题.
(1)你能构造出哪几个命题？(条件和结论用序号表示即可)
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明.
(1)你能构造出哪几个命题？(条件和结论用序号表示即可)
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明.
答案
(1)构造的3个命题如下:如果①②,那么③;如果①③,那么②;如果②③,那么①.
(2)如果①②,那么③,此命题是真命题.
证明:因为$∠1=∠2$,$∠1=∠CGD$,所以$∠2=∠CGD$,所以$CE// BF$,所以$∠C=∠BFD$,因为$∠B=∠C$,所以$∠B=∠BFD$,所以$AB// CD$.
如果①③,那么②,此命题是真命题.
证明:因为$∠1=∠2$,$∠1=∠CGD$,所以$∠2=∠CGD$,所以$CE// BF$,所以$∠C=∠BFD$,因为$AB// CD$,所以$∠B=∠BFD$,所以$∠B=∠C$.
如果②③,那么①,此命题是真命题.
证明:因为$AB// CD$,所以$∠B=∠BFD$,因为$∠B=∠C$,所以$∠C=∠BFD$,所以$CE// BF$,所以$∠2=∠CGD$,因为$∠1=∠CGD$,所以$∠1=∠2$.
(2)如果①②,那么③,此命题是真命题.
证明:因为$∠1=∠2$,$∠1=∠CGD$,所以$∠2=∠CGD$,所以$CE// BF$,所以$∠C=∠BFD$,因为$∠B=∠C$,所以$∠B=∠BFD$,所以$AB// CD$.
如果①③,那么②,此命题是真命题.
证明:因为$∠1=∠2$,$∠1=∠CGD$,所以$∠2=∠CGD$,所以$CE// BF$,所以$∠C=∠BFD$,因为$AB// CD$,所以$∠B=∠BFD$,所以$∠B=∠C$.
如果②③,那么①,此命题是真命题.
证明:因为$AB// CD$,所以$∠B=∠BFD$,因为$∠B=∠C$,所以$∠C=∠BFD$,所以$CE// BF$,所以$∠2=∠CGD$,因为$∠1=∠CGD$,所以$∠1=∠2$.
4.「2025江苏扬州期末」如图，$∠ ENC + ∠ CMG = 180°$，$AB // CD$.
(1) 判断ED与FG的位置关系，并说明理由.
(2) $∠ 2$与$∠ 3$相等吗？为什么？
(3) 若$∠ A = ∠ 1 + 70°$，$∠ ACB = 42°$，求$∠ B$的大小.
(1) 判断ED与FG的位置关系，并说明理由.
(2) $∠ 2$与$∠ 3$相等吗？为什么？
(3) 若$∠ A = ∠ 1 + 70°$，$∠ ACB = 42°$，求$∠ B$的大小.
答案
(1)$ED// FG$,理由如下:
因为$∠ENC+∠CMG=180°$,$∠CMG=∠FMN$,
所以$∠ENC+∠FMN=180°$,所以$ED// FG$.
(2)$∠2=∠3$,理由如下:
因为$ED// FG$,所以$∠2=∠D$,
因为$AB// CD$,所以$∠3=∠D$,
所以$∠2=∠3$.
(3)因为$AB// CD$,所以$∠A+∠ACD=180°$,
因为$∠A=∠1+70°$,$∠ACB=42°$,
所以$(∠1+70°)+(∠1+42°)=180°$,
所以$∠1=34°$,因为$AB// CD$,所以$∠B=∠1=34°$.
因为$∠ENC+∠CMG=180°$,$∠CMG=∠FMN$,
所以$∠ENC+∠FMN=180°$,所以$ED// FG$.
(2)$∠2=∠3$,理由如下:
因为$ED// FG$,所以$∠2=∠D$,
因为$AB// CD$,所以$∠3=∠D$,
所以$∠2=∠3$.
(3)因为$AB// CD$,所以$∠A+∠ACD=180°$,
因为$∠A=∠1+70°$,$∠ACB=42°$,
所以$(∠1+70°)+(∠1+42°)=180°$,
所以$∠1=34°$,因为$AB// CD$,所以$∠B=∠1=34°$.
5. 学科特色多解法 如图,已知∠ABE=∠DCF,∠E=∠F,求证:AB//CD.
(1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线的截线,请你帮他完成下列证明:
证明:连接BC.
因为∠E=∠F(已知),
所以
所以
因为∠ABE=∠DCF(已知),
所以∠ABE+
所以
所以AB//CD(
(2)请你试用其他方法进行推理,并写出推理过程.
(1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线的截线,请你帮他完成下列证明:
证明:连接BC.
因为∠E=∠F(已知),
所以
$BE// CF$
(内错角相等,两直线平行),所以
$∠EBC=∠FCB$
(两直线平行,内错角相等),因为∠ABE=∠DCF(已知),
所以∠ABE+
$∠EBC$
=∠DCF+$∠FCB$
(等式的基本性质),所以
$∠ABC$
=$∠DCB$
(等量代换),所以AB//CD(
内错角相等,两直线平行
).(2)请你试用其他方法进行推理,并写出推理过程.
答案
(1)$BE// CF$; $∠EBC=∠FCB$; $∠EBC$; $∠FCB$; $∠ABC$; $∠DCB$; 内错角相等,两直线平行.
(2)【解法一】
,延长BE交直线CD于点M,因为$∠BEF=∠F$,所以$BM// CF$,所以$∠BMC=∠DCF$.
因为$∠ABE=∠DCF$,所以$∠BMC=∠ABE$,
所以$AB// CD$.
【解法二】
过点E,F分别作$EG// AB$,$FH// AB$,如图2,易知$∠1=∠B$,$∠2=∠3$,因为$∠BEF=∠EFC$,所以$∠1+∠2=∠3+∠4$,因为$∠1+∠2=∠3+∠B$,所以$∠4=∠B$,因为$∠B=∠C$,所以$∠4=∠C$,所以$CD// FH$,所以$AB// CD$.
