8 数形结合思想 在$△ ABC$中，$∠ C=80°$，$AC=4$，$BC=6$。将$△ ABC$按如图所示的四种方式沿虚线剪开，则剪下的三角形（图中涂色部分）与$△ ABC$相似的是（）


A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

8. A

【分析】要判断剪下的涂色三角形与原△ABC是否相似，需结合三角形相似的判定定理，逐一分析四个图形中涂色三角形和原三角形的角、边对应关系：首先明确原△ABC的已知条件∠C=80°，AC=4，BC=6，再分别看每个涂色三角形是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件即可。
【解析】
我们对4个图形逐一分析：
1. 图①：涂色三角形与△ABC有公共角∠B，且涂色三角形有一个内角为80°，和∠C=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此两三角形相似；
2. 图②：涂色三角形与△ABC有公共角∠A，且涂色三角形有一个内角为80°，和∠C=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此两三角形相似；
3. 图③：涂色三角形与△ABC有公共角∠C，夹公共角的两组边对应成比例，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，因此两三角形相似；
4. 图④：涂色三角形的两组边比值虽然为$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，但这两组边的夹角不是与原三角形对应的等角，不满足相似判定条件，因此两三角形不相似。
综上，①②③的涂色三角形与△ABC相似，答案选A。
【答案】A
【知识点】三角形相似的判定；角角相似判定；边角边相似判定
【点评】本题是数形结合类的基础题，主要考查三角形相似的判定定理的应用，解题时要注意公共角的隐含条件，使用“两边成比例且夹角相等”判定时，一定要确认夹角是成比例两边的对应夹角，避免误判。
【难度系数】0.7

9 如图,在四边形ABDC中,不等长的两条对角线AD,BC相交于点O,且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若$OA:OB=OC:OD=2:3$,则对这四个三角形的关系,下列叙述正确的是 ()

A.甲与丙相似,乙与丁相似
B.甲与丙相似,乙与丁不相似
C.甲与丙不相似,乙与丁相似
D.甲与丙不相似,乙与丁不相似

9. A

【分析】
要判断四个三角形的相似关系，分别对两组三角形逐一分析：①先判断甲（△OAC）和丙（△OBD）：结合已知的两组边的比例关系，再验证夹角是否相等，用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理判断；②再判断乙（△OCD）和丁（△OAB）：将已知比例式变形得到对应边的比例，再结合对顶角相等，同样用相似判定定理判断即可。
【解析】
1. 判断甲与丙是否相似：
已知 $ OA:OB = OC:OD = 2:3 $，即 $ \frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{2}{3} $，
又因为 $ ∠ AOC $ 和 $ ∠ BOD $ 是对顶角，所以 $ ∠ AOC = ∠ BOD $，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得 $ △ OAC ∽ △ OBD $，即甲与丙相似。
2. 判断乙与丁是否相似：
由 $ OA:OB = OC:OD = 2:3 $，根据比例的基本性质交叉互换可得 $ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{2}{3} $，
又因为 $ ∠ AOB $ 和 $ ∠ COD $ 是对顶角，所以 $ ∠ AOB = ∠ COD $，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得 $ △ OAB ∽ △ OCD $，即乙与丁相似。
综上，甲与丙相似，乙与丁相似，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、对顶角的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的SAS判定方法，解题关键是准确找到对应边的比例关系和相等的夹角，注意比例式变形时不要混淆对应边的顺序。
【难度系数】
0.7

10 如图，AD，BC是$△ AOB$的两条高，$AD=2OD$，连接CD。有下列结论：① $BC=2OC$；② $△ AOB ∽ △ DOC$；③ $\dfrac{AB}{CD}=\sqrt{5}$。其中，正确的是（填序号）

10. ①②③

【分析】
解题时先从已知条件入手：AD、BC是△AOB的高，可得∠ADO=∠BCO=90°，结合对顶角∠AOD=∠BOC，可先证△AOD∽△BOC，利用AD=2OD的条件推导①是否成立；再由第一组相似得到的边的比例关系，推导∠AOB与∠DOC相等，用两边成比例且夹角相等判定△AOB与△DOC相似，验证②；最后结合勾股定理计算相似比，即可得到AB与CD的比值，验证③。
【解析】
1. 验证结论①：
∵AD、BC是△AOB的两条高，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
又
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴△AOD∽△BOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴对应边成比例：$\frac{AD}{OD}=\frac{BC}{OC}$，
已知$AD=2OD$，即$\frac{AD}{OD}=2$，代入得$\frac{BC}{OC}=2$，即$BC=2OC$，故①正确。
2. 验证结论②：
由△AOD∽△BOC，得$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{OC}$，变形可得$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}$，
∵∠AOB=∠AOD+∠DOB，∠DOC=∠BOC+∠DOB，且∠AOD=∠BOC，
∴∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故②正确。
3. 验证结论③：
设$OD=x$，则$AD=2x$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{\sqrt{5}x}{x}=\sqrt{5}$，
由△AOB∽△DOC，相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OD}=\sqrt{5}$，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形相似的综合应用题，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，先找到基础相似三角形推导边、角关系，再逐步验证结论，考查学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

11 分类讨论思想 如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为边CD上的动点，连接AP，BP。当△ADP与△BCP相似时，DP=。

11. 1或2.5或4

【分析】
解题时先结合矩形性质得到已知边长和等角：矩形对边相等、四个角为直角，可得AD=BC=2，∠D=∠C=90°，CD=AB=5。设DP=x，则PC=5-x，由于△ADP和△BCP均为直角三角形，直角为固定对应角，相似时夹直角的边存在两种对应关系，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，再验证解符合线段长度范围即可。
【解析】
解：设DP的长为$x$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=2$，$AB=CD=5$，$∠ D=∠ C=90°$，
∴$PC=CD-DP=5-x$。
△ADP与△BCP相似分两种情况：
①当$△ ADP ∽ △ BCP$时，对应边成比例$\frac{AD}{BC}=\frac{DP}{CP}$，
代入得$\frac{2}{2}=\frac{x}{5-x}$，
解得$x=2.5$，经检验符合题意；
②当$△ ADP ∽ △ PCB$时，对应边成比例$\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{BC}$，
代入得$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{2}$，
整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，均符合题意。
综上，DP的长为1或2.5或4。
【答案】
1或2.5或4
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应边的不同情况导致漏解，解题时要明确直角三角形相似时，除直角外的对应角存在两种对应关系，对应边也随之变化，求得结果后要验证是否符合线段长度的实际要求。
【难度系数】
0.5

12 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在边AB,AD上,DE与CF相交于点G,CD²=CG·CF,∠AED=∠CFD.
(1) 求证:AB=CD;
(2) 延长AD至点M,连接CM,当CF=CM时,求证:AE·AB=AD·DM.

12. (1) $∵ CD^2=CG·CF,∴ \dfrac{CD}{CG}=\dfrac{CF}{CD}.∵ ∠FCD=∠DCG$,
$∴ △CFD ∽ △CDG. ∴ ∠CFD = ∠CDG. ∵ ∠AED = ∠CFD,∴ ∠CDG=∠AED.∴ AB//CD.∵ AD//BC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB=CD$
(2) $∵ CF=CM,∴ ∠CFD=∠M. ∵ ∠AED = ∠CFD,∴ ∠AED = ∠M.$
$∵ AB//CD,∴ ∠A=∠CDM. ∴ △AED∽△DMC.∴ \dfrac{AE}{DM}=\dfrac{AD}{DC}.∴ AE · DC = AD · DM.∵ AB = DC,∴ AE · AB = AD · DM$

【分析】
(1) 要证AB=CD，已知AD//BC，只需证明四边形ABCD是平行四边形，即证AB//CD。首先将已知等积式转化为比例式，结合公共角证明△CFD∽△CDG，得到对应角相等，再结合已知∠AED=∠CFD推导同位角相等，即可证AB//CD，进而得到平行四边形，得出AB=CD。
(2) 要证AE·AB=AD·DM，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AE}{DM}=\frac{AD}{AB}$，结合(1)的结论AB=CD，只需证$\frac{AE}{DM}=\frac{AD}{DC}$，即证△AED∽△DMC。利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知角相等推导得∠AED=∠M，再由平行四边形的性质得∠A=∠CDM，即可证明两三角形相似，得到比例式后代换AB=DC即可得证。
【解析】
(1) 证明：$\because CD^2=CG·CF$，$\therefore \dfrac{CD}{CG}=\dfrac{CF}{CD}$。
$\because ∠FCD=∠DCG$，
$\therefore △CFD ∽ △CDG$，$\therefore ∠CFD = ∠CDG$。
$\because ∠AED = ∠CFD$，$\therefore ∠CDG=∠AED$，$\therefore AB// CD$。
又$\because AD// BC$，$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AB=CD$。
(2) 证明：$\because CF=CM$，$\therefore ∠CFD=∠M$。
$\because ∠AED = ∠CFD$，$\therefore ∠AED = ∠M$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠A=∠CDM$，
$\therefore △AED∽△DMC$，$\therefore \dfrac{AE}{DM}=\dfrac{AD}{DC}$，$\therefore AE · DC = AD · DM$。
$\because AB = DC$，$\therefore AE · AB = AD · DM$。
【答案】
(1) 已证得$AB=CD$；
(2) 已证得$AE·AB=AD·DM$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合证明题，重点考查相似三角形相关知识的应用，解题的关键是熟练掌握等积式与比例式的互化，能结合已知条件寻找角的等量关系证明三角形相似，同时结合平行四边形、等腰三角形的性质完成等量代换，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

13 新考向 探究题 如图，$∠ MON = 90°$，A是$∠ MON$内部的一点，过点A作$AB ⊥ ON$，垂足为B，$BA=3\ \mathrm{cm}$，$BO=4\ \mathrm{cm}$，动点E，F同时从点O出发，点E以$1.5\ \mathrm{cm/s}$的速度沿ON方向运动，点F以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动。设运动时间为$t(t＞0)\mathrm{s}$。
(1)当$t=1$时，$△ EOF$与$△ ABO$是否相似？请说明理由。
(2)求证：在运动过程中，无论$t$取何值，总有$EF ⊥ OA$。

13. (1) $△EOF$ 与 $△ABO$ 相似 理由: 当 $t = 1$ 时, $OE = 1.5\ \mathrm{cm},OF=2\ \mathrm{cm}.∵ BA=3\ \mathrm{cm},BO=4\ \mathrm{cm},∴ \dfrac{OE}{BA}=\dfrac{OF}{BO}=\dfrac{1}{2}.$ 又 $∵ ∠EOF=∠ABO=90°,∴ △EOF∽△ABO.$
(2) 在运动过程中, $OE=1.5t\ \mathrm{cm},OF=2t\ \mathrm{cm}.∵ BA=3\ \mathrm{cm},BO=4\ \mathrm{cm},∴ \dfrac{OE}{BA}=\dfrac{OF}{BO}.$ 又 $∵ ∠EOF=∠ABO=90°,∴ △EOF∽△ABO.∴ ∠EFO=∠AOB.$ 又 $∵ OM⊥ON,∴ ∠AOB+∠FOC=90°. ∴ ∠EFO+∠FOC=90°. ∴ ∠FCO=90°,$ 即 $EF⊥OA.∴$ 在运动过程中, 无论 $t$ 取何值, 总有 $EF⊥OA$

【分析】
(1) 要判断$t=1$时$△ EOF$与$△ ABO$是否相似，先根据动点的运动速度算出$t=1$时$OE$、$OF$的长度，再和已知的$BA$、$BO$长度对比，验证两组对应边是否成比例，结合两个三角形的夹角均为直角，即可用相似判定定理判断是否相似。
(2) 要证明任意$t$下都有$EF⊥ OA$，先用含$t$的式子表示出运动过程中$OE$、$OF$的长度，先证$△ EOF$与$△ ABO$始终相似，得到对应角相等，再结合直角的互余关系推出$∠ FCO=90°$，即可证明垂直。
【解析】
(1) $△ EOF$与$△ ABO$相似，理由如下：
当$t=1$时，$OE=1.5×1=1.5\ \mathrm{cm}$，$OF=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
已知$BA=3\ \mathrm{cm}$，$BO=4\ \mathrm{cm}$，因此$\dfrac{OE}{BA}=\dfrac{1.5}{3}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{OF}{BO}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$，即$\dfrac{OE}{BA}=\dfrac{OF}{BO}$。
又$\because ∠ EOF=∠ ABO=90°$，
$\therefore △ EOF∽△ ABO$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：运动过程中，$OE=1.5t\ \mathrm{cm}$，$OF=2t\ \mathrm{cm}$。
$\because BA=3\ \mathrm{cm}$，$BO=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \dfrac{OE}{BA}=\dfrac{1.5t}{3}=\dfrac{t}{2}$，$\dfrac{OF}{BO}=\dfrac{2t}{4}=\dfrac{t}{2}$，即$\dfrac{OE}{BA}=\dfrac{OF}{BO}$。
又$\because ∠ EOF=∠ ABO=90°$，
$\therefore △ EOF∽△ ABO$，
$\therefore ∠ EFO=∠ AOB$。
$\because OM⊥ ON$，即$∠ AOB+∠ FOC=90°$，
$\therefore ∠ EFO+∠ FOC=90°$，
$\therefore ∠ FCO=180°-(∠ EFO+∠ FOC)=90°$，即$EF⊥ OA$。
因此运动过程中，无论$t$取何值，总有$EF⊥ OA$。
【答案】
(1) $△ EOF$与$△ ABO$相似；
(2) 运动过程中无论$t$取何值，总有$EF⊥ OA$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题结合动点探究情境考查相似三角形的应用，解题核心是用含参数$t$的代数式表示线段长度，通过边的比例关系证明相似，再利用角的互余关系推导垂直结论，能有效训练动态几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.7