1 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ B=56°$,则$∠ A$ 的度数为 ()

A.$34°$
B.$44°$
C.$124°$
D.$134°$

1. A

【分析】
本题要求直角三角形中未知锐角的度数，解题思路清晰：首先明确直角三角形的核心性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）；题目已给出直角和其中一个锐角∠B的度数，将已知角度代入两锐角和为90°的关系中，计算即可得到∠A的度数，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
∴$∠A + ∠B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
已知$∠B=56°$，代入得：
$∠A = 90° - ∠B = 90° - 56° = 34°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础计算题，侧重考查直角三角形的性质应用，只要熟记直角三角形两锐角互余的性质，就能快速求解，计算难度很低。
【难度系数】
0.9

2（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$∠ B=3∠ A$，则$∠ A$的度数是；
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ A=90°$，$∠ B-∠ C=38°$，则$∠ C$的度数为。

2. (1) 22.5° (2) 26°

【分析】
本题考查直角三角形两锐角互余性质的应用，解题思路如下：
（1）首先明确直角三角形中两个锐角的和为90°，已知∠B=3∠A，将二者的数量关系代入两锐角和的等式中，即可建立关于∠A的一元一次方程，求解得到∠A的度数；
（2）同理，先根据直角三角形两锐角互余得到∠B与∠C的和为90°，结合题目给出的∠B-∠C=38°的差的关系，代入消元后即可求出∠C的度数。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=3∠ A$，代入上式得：
$∠ A + 3∠ A = 90°$
合并同类项得$4∠ A=90°$，解得$∠ A=22.5°$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：
$∠ B + ∠ C = 90°$，即$∠ B=90°-∠ C$
已知$∠ B-∠ C=38°$，将$∠ B=90°-∠ C$代入得：
$90°-∠ C - ∠ C=38°$
整理得$2∠ C=90°-38°=52°$，解得$∠ C=26°$。
【答案】
（1）$22.5°$；（2）$26°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差运算；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是对直角三角形锐角互余性质的直接应用，解题时只要准确找到两个锐角的数量关系，结合已知条件列式计算即可，是巩固基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85

3 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ C = 65°$，求$∠ BAC$的度数。

3. $\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°.\therefore ∠ DAC=90°-65°=25°.\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1=∠ 2=\frac{1}{2}×90°=45°.$
$\therefore ∠ BAC=∠ 1+∠ DAC=45°+25°=70°$

【分析】
解题时先从已知条件$AD⊥BC$入手，根据垂直的定义可得$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余。第一步先在$Rt△ ACD$中，已知$∠ C=65°$，利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ DAC$的度数；第二步在$Rt△ ABD$中，由$∠ 1=∠ 2$且$∠ 1+∠ 2=90°$，可求出$∠ 1$的度数；最后$∠ BAC$是$∠ 1$和$∠ DAC$的和，将两个角度相加即可得到最终结果。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=65°$，
$\therefore ∠ DAC=90°-∠ C=90°-65°=25°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ 1+∠ 2+∠ ADB=180°$，即$∠ 1+∠ 2=90°$，
又$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ 1+∠ DAC=45°+25°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
垂直的定义；直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用垂直关系得到直角三角形，再结合直角三角形锐角互余的性质和已知角的等量关系分步计算，解题思路清晰，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

4 具备下列条件的$△ ABC$中，不是直角三角形的是（）

A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$

4. D

【分析】
要判断△ABC是不是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，且直角三角形有一个内角度数为90°。解题时只需结合每个选项给出的角的数量关系，计算出三个内角的度数，判断是否存在90°的角即可，没有直角的选项即为正确答案。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，直角三角形有一个内角为$90°$，逐一分析选项：
A. 由$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C = 90°$，是直角三角形，不符合题意；
B. 由$∠ A - ∠ B = ∠ C$可得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A = 90°$，是直角三角形，不符合题意；
C. 设$∠ A = x$，$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$，代入内角和公式得：$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x = 30°$，则$∠ C = 3×30° = 90°$，是直角三角形，不符合题意；
D. 设$∠ C = x$，则$∠ A = ∠ B = 3x$，代入内角和公式得：$3x + 3x + x = 180°$，解得$x = \frac{180°}{7}$，最大角$∠ A = ∠ B = \frac{540°}{7} ＜ 90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形形状的判断，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合角度关系列方程求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

5（易错题）如图，$∠ AOD=30°$，C是射线OD上的一个动点，在点C运动的过程中，当$△ AOC$恰好是直角三角形时，$∠ A$的度数为。

5. $60°$或$90°$

【分析】
要解决这个问题，首先注意题目没有指定△AOC的直角顶点，因此需要分情况讨论直角的位置：已知∠AOD=∠O=30°，因此∠O不可能是直角，只需考虑另外两个内角为直角的情况，分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A，即∠A=90°时，△AOC是直角三角形，符合题意，此时∠A=90°；
2. 当直角顶点为点C，即∠ACO=90°时，根据直角三角形的两个锐角互余，可得∠A + ∠O = 90°，已知∠O=30°，因此∠A=90°-30°=60°。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确直角三角形未指定直角顶点时，要结合已知条件分析所有可能的直角位置，避免因漏算情况导致答案不全。
【难度系数】
0.6

6 如图，$CE ⊥ AD$，垂足为E，$∠ A = ∠ C$，$△ ABD$是直角三角形吗？为什么？（第6题）

6. $△ ABD$ 是直角三角形 $\because CE⊥ AD,\therefore ∠ CED=90°.$
$\therefore ∠ C+∠ D=180°-∠ CED=90°.\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ A+∠ D=90°.\therefore ∠ ABD=180°-(∠ A+∠ D)=90°.\therefore △ ABD$ 是直角三角形

【分析】
要判断△ABD是否为直角三角形，只需证明该三角形存在90°的内角即可。首先从已知条件CE⊥AD入手，可得△CED是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠C与∠D的和为90°；再结合给出的∠A=∠C的条件，通过等量代换就能得到∠A与∠D的和也为90°；最后利用三角形内角和为180°的定理，计算出∠ABD的度数，即可判定△ABD的形状。
【解析】
解：△ABD是直角三角形，理由如下：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED=90°，
∴ ∠C+∠D=180°-∠CED=90°，
又
∵ ∠A=∠C，
∴ ∠A+∠D=90°，
∴ ∠ABD=180°-(∠A+∠D)=90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【答案】
△ABD是直角三角形，理由：$\because CE⊥ AD,\therefore ∠ CED=90°$，$\therefore ∠ C+∠ D=180°-∠ CED=90°$，$\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ A+∠ D=90°$，$\therefore ∠ ABD=180°-(∠ A+∠ D)=90°$，故△ABD是直角三角形。
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形内角和定理
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合垂直的性质得到直角，再通过角的等量代换和三角形内角和定理推导得出待证三角形的内角为直角，解题思路清晰，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

7 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D在AB上，沿CD折叠，使点A落在BC边上的点E处。若$∠ B=26°$，则$∠ CDE$的度数为________。
（第7题）

7. $71°$

【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先利用直角三角形两个锐角互余的性质，结合已知的∠B度数，求出∠A的度数；2. 根据折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠CED=∠A，且CD平分∠ACB，据此算出∠DCE的度数；3. 最后在△CDE中，利用三角形内角和为180°，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=26°，
根据直角三角形两锐角互余，得∠A = 90° - ∠B = 90° - 26° = 64°。
由折叠的性质可知，△ACD与△ECD关于CD对称，因此∠CED = ∠A = 64°，∠ACD = ∠ECD。
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°，
得∠CDE = 180° - ∠ECD - ∠CED = 180° - 45° - 64° = 71°。
【答案】
$71°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和相关知识逐步推导角的度数，是几何中角的计算的常见题型。
【难度系数】
0.7

8 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$∠ C=80°$，AD平分$∠ BAC$，$BE ⊥ AD$交AD的延长线于点E，则$∠ EBD$的度数为。

8. $10°$

【分析】
我们的目标是求∠EBD的度数，观察图形可知BE⊥AD，因此△ABE是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，只要得到∠BAD的度数就能求出∠ABE的度数，再结合角的和差关系即可算出结果。第一步先利用三角形内角和180°，结合△ABC已知的两个内角度数，算出∠BAC的度数；第二步根据AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAD的度数；第三步在Rt△ABE中利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠ABE的度数；最后用∠ABE减去∠ABC即可得到∠EBD的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-80°=40°$
2. 因为AD平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$
3. 因为$BE⊥ AD$，所以$∠ E=90°$，在$Rt△ ABE$中，直角三角形两锐角互余：
$∠ ABE=90°-∠ BAD=90°-20°=70°$
4. 观察角的和差关系$∠ ABE=∠ ABC+∠ EBD$，因此：
$∠ EBD=∠ ABE-∠ ABC=70°-60°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是理清图中角之间的和差关系，熟练运用三角形相关性质逐步推导即可求解，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

9 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$，$AD$，$BE$相交于点$F$。
（1）若$∠ CAD=36°$，求$∠ AEF$的度数；
（2）求证：$∠ AEF=∠ AFE$。

9. (1) $\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=90°.\therefore ∠ ABD+∠ BAD=180°-∠ ADB=90°.\because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAD+∠ CAD=90°.\therefore ∠ ABD=∠ CAD=36°.\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=18°.\therefore ∠ AEF=180°-∠ BAC-∠ ABE=72°$
(2) $\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE.\because ∠ BAC=90°,∠ ADB=90°,\therefore ∠ ABE+∠ AEF=90°,∠ CBE+∠ BFD=90°.\therefore ∠ AEF=∠ BFD.\because ∠ AFE=∠ BFD,\therefore ∠ AEF=∠ AFE$

【分析】
（1）求解$∠ AEF$的度数时，首先利用$AD⊥ BC$和$∠ BAC=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ ABD=∠ CAD$，得到$∠ ABC$的度数；再结合$BE$是$∠ ABC$的角平分线，算出$∠ ABE$的度数；最后在$Rt△ ABE$中，利用直角三角形两锐角互余即可求出$∠ AEF$的度数。
（2）要证明$∠ AEF=∠ AFE$，首先根据角平分线的定义得$∠ ABE=∠ CBE$；再分别在$Rt△ ABE$和$Rt△ BDF$中，利用直角三角形两锐角互余，可得$∠ AEF$与$∠ ABE$互余、$∠ BFD$与$∠ CBE$互余，进而推出$∠ AEF=∠ BFD$；最后结合对顶角相等$∠ AFE=∠ BFD$，即可完成证明。
【解析】
（1）解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ BAD=180°-∠ ADB=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ BAD+∠ CAD=90°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CAD=36°$。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×36°=18°$，
$\therefore ∠ AEF=180°-∠ BAC-∠ ABE=180°-90°-18°=72°$。
（2）证明：$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$。
$\because ∠ BAC=90°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABE+∠ AEF=90°$，$∠ CBE+∠ BFD=90°$，
$\therefore ∠ AEF=∠ BFD$。
又$\because ∠ AFE=∠ BFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$。
【答案】
（1）$\boxed{72°}$；（2）证明成立，见上述解析。
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题侧重考察直角三角形的角度关系，解题中常用“同角的余角相等”推导角的等量关系，结合角平分线、对顶角的性质即可解决角度计算和角相等的证明问题，是几何角度类的基础题型。
【难度系数】
0.75