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1[2025 上海虹口区期中,中]若a,b均为正整数,且满足$2^a + 2^a + 2^a + 2^a = 2^b × 2^b × 2^b × 2^b$,则a与b的关系是 (
A.$a=2b$
B.$2a = b + 4$
C.$a + 2 = b^4$
D.$a + 2 = 4b$
D
)A.$a=2b$
B.$2a = b + 4$
C.$a + 2 = b^4$
D.$a + 2 = 4b$
答案
$2^a+2^a+2^a+2^a=2^a×4=2^a×2^2=2^{a+2}$，$2^b×2^b×2^b×2^b=(2^b)^4=2^{4b}$.
∵$2^a+2^a+2^a+2^a=2^b×2^b×2^b×2^b$，a,b均为正整数，
∴$a+2=4b$，故选D.
∵$2^a+2^a+2^a+2^a=2^b×2^b×2^b×2^b$，a,b均为正整数，
∴$a+2=4b$，故选D.
2[中]已知$25^x = a$，$5^y = b$，$125^z = ab$，那么$x,y,z$满足的等量关系是（
A.$2x+y=z$
B.$xy=3z$
C.$2x+y=3z$
D.$2xy=z$
C
）A.$2x+y=z$
B.$xy=3z$
C.$2x+y=3z$
D.$2xy=z$
答案
$25^x=(5^2)^x=5^{2x}$，$125^z=(5^3)^z=5^{3z}$.
∵$25^x=a$，$5^y=b$，$125^z=ab$，
∴$5^{2x} · 5^y=5^{3z}$，
∴$2x+y=3z$，故选C.
∵$25^x=a$，$5^y=b$，$125^z=ab$，
∴$5^{2x} · 5^y=5^{3z}$，
∴$2x+y=3z$，故选C.
3[中]设$a=2^{55}$，$b=3^{33}$，$c=4^{22}$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$c＜a＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜b＜a$
D
）A.$c＜a＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜b＜a$
答案
∵$a=2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11}$，$b=3^{33}=(3^3)^{11}=27^{11}$，$c=4^{22}=(4^2)^{11}=16^{11}$，
∴$c＜b＜a$. 故选D.
4 [2025 江苏苏州质检, 中]设 $ n $ 为正整数,若 $ 64^n - 7^n $ 能被 57 整除,则 $ 8^{2n+1} + 7^{n+2} $ 能被下列哪个数整除 (
A.55
B.56
C.57
D.58
C
)A.55
B.56
C.57
D.58
答案
$8^{2n+1}+7^{n+2}=8×8^{2n}+7^2×7^n=8×(8^2)^n+7^2×7^n=8×64^n+49×7^n=8×64^n+(57-8)×7^n=8×64^n -8×7^n +57×7^n=8×(64^n -7^n)+57×7^n$.
∵$64^n -7^n$能被57整除，
∴$8×(64^n -7^n)$能被57整除. 又
∵$57×7^n$能被57整除，
∴$8×(64^n -7^n)+57×7^n$能被57整除，即$8^{2n+1}+7^{n+2}$能被57整除，故选C.
∵$64^n -7^n$能被57整除，
∴$8×(64^n -7^n)$能被57整除. 又
∵$57×7^n$能被57整除，
∴$8×(64^n -7^n)+57×7^n$能被57整除，即$8^{2n+1}+7^{n+2}$能被57整除，故选C.
5[中]若$x=4^m +1$，$y=64^m -3$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$
$(x-1)^3 -3$
答案
∵$x=4^m+1$，
∴$4^m=x-1$，
∴$64^m=4^{3m}=(4^m)^3=(x-1)^3$，
∴$y=64^m -3=(x-1)^3 -3$.
6[中]已知$4^{2x} · 5^{2x+1} - 4^{2x+1} · 5^{2x} = 20^{3x-4}$，则x的值为
4
。答案
∵$4^{2x} · 5^{2x+1} -4^{2x+1} · 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$5×4^{2x} · 5^{2x} -4×4^{2x} · 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$4^{2x} · 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$20^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$2x=3x-4$，
∴$x=4$.
7[中]若$(ka^{m-n}b^{m+n})^4 = 16a^8b^{16}$，则$k+m+n=$
6或2
答案
∵$(ka^{m-n}b^{m+n})^4=16a^8b^{16}$，
∴$k^4a^{4(m-n)} · b^{4(m+n)}=16a^8b^{16}$，
∴$k=\pm2$，$4(m+n)=16$，解得$m+n=4$，故$k+m+n=6$或2.
8[2026北京海淀区质检,中]已知$x^a=3$,$x^b=6$,$x^c=12$,$x^d=18$,求证:
(1)$a+b=d$;
(2)$a+c=2b$.
(1)$a+b=d$;
(2)$a+c=2b$.
答案
(1)
∵$x^a=3$，$x^b=6$，$x^d=18$，
∴$x^a · x^b =x^{a+b}=3×6=18$，
∴$x^{a+b}=x^d$，
∴$a+b=d$.
(2)
∵$x^a=3$，$x^b=6$，$x^c=12$，
∴$x^a · x^c =x^{a+c}=3×12=36=6^2=(x^b)^2=x^{2b}$，
∴$x^{a+c}=x^{2b}$，
∴$a+c=2b$.
∵$x^a=3$，$x^b=6$，$x^d=18$，
∴$x^a · x^b =x^{a+b}=3×6=18$，
∴$x^{a+b}=x^d$，
∴$a+b=d$.
(2)
∵$x^a=3$，$x^b=6$，$x^c=12$，
∴$x^a · x^c =x^{a+c}=3×12=36=6^2=(x^b)^2=x^{2b}$，
∴$x^{a+c}=x^{2b}$，
∴$a+c=2b$.
9[中]一般的数学公式可以正向运用,也可以逆向运用. 对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”,这几个法则的逆向运用表现为$a^{m+n}=a^m· a^n,a^{mn}=(a^m)^n,a^nb^n=(ab)^n$($m,n$为正整数).
(1)若$n$为不等式$n^{200}＞3^{300}$的解,则$n$的最小正整数值为
(2)若$x^a=2,x^b=3$,求$x^{3a+2b}$的值.
(3)计算:$2^{2023}×(\dfrac{1}{6})^{2022}×(-3)^{2021}$.
(1)若$n$为不等式$n^{200}＞3^{300}$的解,则$n$的最小正整数值为
6
.(2)若$x^a=2,x^b=3$,求$x^{3a+2b}$的值.
(3)计算:$2^{2023}×(\dfrac{1}{6})^{2022}×(-3)^{2021}$.
答案
(1)
∵$n^{200}=(n^2)^{100}$，$3^{300}=(3^3)^{100}=27^{100}$，$n^{200}＞3^{300}$，
∴$n^2＞27$，故n的最小正整数值为6. 故答案为6.
(2) 当$x^a=2$，$x^b=3$时，$x^{3a+2b}=x^{3a} · x^{2b}=(x^a)^3 · (x^b)^2=2^3×3^2=8×9=72$.
(3) $2^{2023} × (\frac{1}{6})^{2022} × (-3)^{2021}=2^2 × 2^{2021} × (\frac{1}{6})^{2021} × \frac{1}{6} × (-3)^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-3×2×\frac{1}{6})^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-1)^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-1)=-\frac{2}{3}$.
∵$n^{200}=(n^2)^{100}$，$3^{300}=(3^3)^{100}=27^{100}$，$n^{200}＞3^{300}$，
∴$n^2＞27$，故n的最小正整数值为6. 故答案为6.
(2) 当$x^a=2$，$x^b=3$时，$x^{3a+2b}=x^{3a} · x^{2b}=(x^a)^3 · (x^b)^2=2^3×3^2=8×9=72$.
(3) $2^{2023} × (\frac{1}{6})^{2022} × (-3)^{2021}=2^2 × 2^{2021} × (\frac{1}{6})^{2021} × \frac{1}{6} × (-3)^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-3×2×\frac{1}{6})^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-1)^{2021}=4×\frac{1}{6} × (-1)=-\frac{2}{3}$.
10[较难]规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。例如：$3^2 = 9$，所以$(3,9)=2$。小明在研究这种运算时发现一个特征：$(3^n,4^n)=(3,4)$，并作出了如下的证明：
设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x = 4^n$，即$(3^x)^n = 4^n$。
所以$3^x = 4$，即$(3,4)=x$，所以$(3^n,4^n)=(3,4)$。
试解决下列问题：
(1)计算$(8,1000)-(32,100000)$；
(2)请你证明下面这个等式：$(3,2)+(3,5)=(3,10)$。
设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x = 4^n$，即$(3^x)^n = 4^n$。
所以$3^x = 4$，即$(3,4)=x$，所以$(3^n,4^n)=(3,4)$。
试解决下列问题：
(1)计算$(8,1000)-(32,100000)$；
(2)请你证明下面这个等式：$(3,2)+(3,5)=(3,10)$。
答案
(1) 解：$(8,1000)-(32,100000)=(2^3,10^3)-(2^5,10^5)=(2,10)-(2,10)=0$.
(2) 证明：设$3^x=2$，$3^y=5$，则$3^x · 3^y=3^{x+y}=2×5=10$，
∴$(3,2)=x$，$(3,5)=y$，$(3,10)=x+y$，
∴$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
(2) 证明：设$3^x=2$，$3^y=5$，则$3^x · 3^y=3^{x+y}=2×5=10$，
∴$(3,2)=x$，$(3,5)=y$，$(3,10)=x+y$，
∴$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
