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9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BCA = 90^{\circ},AC = 12,AB = 13$,点$D是Rt\triangle ABC$外一点,连接$DC,DB$,且$CD = 4,BD = 3$。
(1)求$BC$的长；
(2)求证：$\triangle BCD$是直角三角形。
(1)求$BC$的长；
(2)求证：$\triangle BCD$是直角三角形。
答案
(1) 在$Rt \triangle ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$。
(2)证明：
在$\triangle BCD$中，由(1)得$BC = 5$，
根据题意得$CD = 4$，$BD = 3$，
所以$CD^{2} + BD^{2}= 4^2+3^2 = 25$，
又因为$BC^{2} =5^2= 25$，
所以$CD^{2} + BD^{2} = BC^{2}$，
根据勾股定理的逆定理得：
所以$\triangle BCD$是直角三角形。
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$。
(2)证明：
在$\triangle BCD$中，由(1)得$BC = 5$，
根据题意得$CD = 4$，$BD = 3$，
所以$CD^{2} + BD^{2}= 4^2+3^2 = 25$，
又因为$BC^{2} =5^2= 25$，
所以$CD^{2} + BD^{2} = BC^{2}$，
根据勾股定理的逆定理得：
所以$\triangle BCD$是直角三角形。
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC,BC = 13,D是AB$上一点,$BD = 5,CD = 12$。
(1)求证：$CD\perp AB$；
(2)求$AC$的长。
(1)求证：$CD\perp AB$；
(2)求$AC$的长。
答案
1. （1）证明$CD\perp AB$：
在$\triangle BCD$中，已知$BD = 5$，$CD = 12$，$BC = 13$。
根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
计算$BD^{2}+CD^{2}$：
$BD^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$。
又因为$BC^{2}=13^{2}=169$。
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$。
则$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle BDC = 90^{\circ}$，即$CD\perp AB$。
2. （2）求$AC$的长：
设$AC=AB=x$，因为$BD = 5$，所以$AD=x - 5$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$（勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$AC$为斜边，$AD$、$CD$为直角边）。
已知$CD = 12$，则$x^{2}=(x - 5)^{2}+12^{2}$。
展开$(x - 5)^{2}$：
根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=x$，$b = 5$，所以$(x - 5)^{2}=x^{2}-10x + 25$。
则$x^{2}=x^{2}-10x + 25+144$。
移项：
$x^{2}-x^{2}+10x=25 + 144$。
合并同类项得$10x=169$。
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
所以$AC$的长为$16.9$。
在$\triangle BCD$中，已知$BD = 5$，$CD = 12$，$BC = 13$。
根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
计算$BD^{2}+CD^{2}$：
$BD^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$。
又因为$BC^{2}=13^{2}=169$。
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$。
则$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle BDC = 90^{\circ}$，即$CD\perp AB$。
2. （2）求$AC$的长：
设$AC=AB=x$，因为$BD = 5$，所以$AD=x - 5$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$（勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$AC$为斜边，$AD$、$CD$为直角边）。
已知$CD = 12$，则$x^{2}=(x - 5)^{2}+12^{2}$。
展开$(x - 5)^{2}$：
根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=x$，$b = 5$，所以$(x - 5)^{2}=x^{2}-10x + 25$。
则$x^{2}=x^{2}-10x + 25+144$。
移项：
$x^{2}-x^{2}+10x=25 + 144$。
合并同类项得$10x=169$。
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
所以$AC$的长为$16.9$。
解析
11. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ},AC = 5,BC = 4$,过点$B的直线把\triangle ABC$分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是
$\frac{18}{5}$或$\frac{24}{5}$
。答案
$\frac{18}{5}$或$\frac{24}{5}$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AC=5$，由勾股定理得$AB=3$。过点$B$的直线交$AC$于$D$，分两种情况：
①若$\triangle ABD$为等腰三角形且$AB=AD=3$，则$CD=AC-AD=2$。$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AD× \frac{AB× BC}{AC}=\frac{1}{2}× 3× \frac{12}{5}=\frac{18}{5}$；
②若$\triangle CBD$为等腰三角形且$CB=CD=4$，则$AD=AC-CD=1$。$S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}× CD× \frac{AB× BC}{AC}=\frac{1}{2}× 4× \frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
①若$\triangle ABD$为等腰三角形且$AB=AD=3$，则$CD=AC-AD=2$。$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AD× \frac{AB× BC}{AC}=\frac{1}{2}× 3× \frac{12}{5}=\frac{18}{5}$；
②若$\triangle CBD$为等腰三角形且$CB=CD=4$，则$AD=AC-CD=1$。$S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}× CD× \frac{AB× BC}{AC}=\frac{1}{2}× 4× \frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
12. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是AB$的中点,若$AC = 12,BC = 5,CD = 6.5$,求证：$\triangle ABC$是直角三角形。
答案
延长CD到点E，使DE=CD，连接BE。
∵D是AB中点，∴AD=BD。
在△ADC和△BDE中，
AD=BD，∠ADC=∠BDE，CD=ED，
∴△ADC≌△BDE（SAS）。
∴AC=BE=12，∠ACD=∠BED，∴AC//BE。
∵CD=6.5，∴CE=CD+DE=13。
在△BCE中，BC=5，BE=12，CE=13，
∵5²+12²=25+144=169=13²，
∴△BCE是直角三角形，∠CBE=90°。
∵AC//BE，∴∠ACB+∠CBE=180°，
∴∠ACB=180°-90°=90°。
∴△ABC是直角三角形。
∵D是AB中点，∴AD=BD。
在△ADC和△BDE中，
AD=BD，∠ADC=∠BDE，CD=ED，
∴△ADC≌△BDE（SAS）。
∴AC=BE=12，∠ACD=∠BED，∴AC//BE。
∵CD=6.5，∴CE=CD+DE=13。
在△BCE中，BC=5，BE=12，CE=13，
∵5²+12²=25+144=169=13²，
∴△BCE是直角三角形，∠CBE=90°。
∵AC//BE，∴∠ACB+∠CBE=180°，
∴∠ACB=180°-90°=90°。
∴△ABC是直角三角形。
