13. [2025成都中考] 在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(-2,a^2 +1)$所在的象限是 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

13 B 因为-2＜0,$a^2 +1＞0$,所以点P所在的象限是第二象限。

14. 易错题 已知点C在y轴上，且距离原点5个单位长度，则点C的坐标是 ()

A.$(5,0)$
B.$(0,5)$
C.$(5,0)$或$(0,5)$
D.$(0,5)$或$(0,-5)$

14 D 因为点C在y轴上,所以点C的横坐标为0,又因为点C距离原点5个单位长度,所以满足题意的点C有2个,坐标是(0,5)或(0,-5)。
避坑指南
点到坐标轴的距离是点的横坐标或纵坐标的绝对值,符合条件的点可能有多个,注意按照题目要求作答,不要漏解。

15. [2026白银期中] 如图,在平面直角坐标系中,$AB=AC=13$,点$B,C$的坐标分别为$(7,2),(7,12)$,则点$A$的坐标为 $(\quad)$


A.$(-5,5)$
B.$(-5,7)$
C.$(-7,5)$
D.$(-7,-7)$

15 B 如图,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,由条件可知$BC=10,BC// y$轴,因为$AB = AC = 13$,所以 $BD = CD = \frac{1}{2}BC = 5$,所以$D(\frac{7+7}{2},\frac{12+2}{2})$,即$D(7,7)$,所以 $AD// x$轴,即点A的纵坐标为7,因为 $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$,所以点A的横坐标为$7 - 12 = -5$,所以点A的坐标为$(-5,7)$。

16. [2026西安雁塔区期中]已知点$P(2a,1-3a)$在第二象限，且点$P$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离之和是11，则$a$的值为（）

A.-1
B.1
C.-2
D.3

16 C 因为点$P(2a,1-3a)$在第二象限,所以$2a ＜ 0,1 - 3a ＞ 0$,所以点P到x轴的距离为$|1-3a|=1-3a$,到y轴的距离为$|2a|=-2a$。由题意,得$1-3a-2a=11$,解得$a=-2$。

17. [2026 厦门同安区期末] 如图,在平面直角坐标系中,以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 x 轴的正半轴于点 M,交 y 轴的正半轴于点 N,再分别以点 M,N 为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点 P。若点 P 的坐标为$(b - 1,a)$,则 a 与 b 的数量关系为 ()

A.$a - b = 1$
B.$a + b = 1$
C.$a - b = -1$
D.$a + b = -1$

第17题图 第18题图

17 C 由题意知,点P在第一、三象限的角平分线上,所以$b - 1 = a$,则$a - b = -1$。

18. [2025汉中期末]如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为 ()

A.(3,1)
B.(-1,1)
C.(3,5)
D.(-1,5)

18 C 因为正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,所以点B的横坐标为-1+4=3,纵坐标为1,所以点B的坐标为(3,1),所以点C的横坐标为3,(BC平行于y轴)纵坐标为1+4=5,所以点C的坐标为(3,5)。

变式[2026日照月考]在平面直角坐标系中，点A(-2,3),B(1,-4),经过点A的直线l//y轴,若点C为直线l上的一个动点,则当线段BC的长度最小时,点C的坐标为。

变式 (-2,-4) 由垂线段最短,知当$BC ⊥ l$时,线段BC的长度最小。因为$l// y$轴,所以当$BC ⊥ l$时,$BC// x$轴,所以点C的纵坐标和点B的纵坐标相同。因为点A和点C都在直线l上,所以点C的横坐标和点A的横坐标相同,所以点C的坐标为$(-2,-4)$。

已知平面直角坐标系中有一点$P(m-1,2m+3)$。
(1)若点$P$在$x$轴上,则点$P$的坐标为;
(2)若点$P$在第二、四象限的角平分线上,则点$P$的坐标为;
(3)若点$P$到$y$轴的距离为$2$,求点$P$的坐标;
(4)若点$P$和点$Q$都在过点$M(2,3)$且与$y$轴平行的直线上,$PQ=3$,求点$Q$的坐标。

(1) $(-\frac{5}{2},0)$
由题意,得$2m+3=0$,解得$m=-\frac{3}{2}$,所以$m-1=-\frac{5}{2}$,所以点$P$的坐标为$(-\frac{5}{2},0)$。
(2) $(-\frac{5}{3},\frac{5}{3})$
由题意,得$(m-1)+(2m+3)=0$,解得$m=-\frac{2}{3}$,所以$m-1=-\frac{5}{3},2m+3=\frac{5}{3}$,所以点$P$的坐标为$(-\frac{5}{3},\frac{5}{3})$。
(3)由题意,得$|m-1|=2$,所以$m=3$或$m=-1$。
当$m=3$时,$m-1=2,2m+3=9$,所以点$P$的坐标为$(2,9)$;
当$m=-1$时,$m-1=-2,2m+3=1$,所以点$P$的坐标为$(-2,1)$。
综上,点$P$的坐标为$(2,9)$或$(-2,1)$。
(4)因为点$P$在过点$M(2,3)$且与$y$轴平行的直线上,
所以点$P$的横坐标为2,即$m-1=2$,解得$m=3$,
所以$2m+3=9$,所以点$P$的坐标为$(2,9)$。
因为点$Q$在过点$M(2,3)$且与$y$轴平行的直线上,
所以点$Q$的横坐标为2,
又因为$PQ=3$,所以当点$Q$在点$P$上方时,点$Q$的纵坐标为12,当点$Q$在点$P$下方时,点$Q$的纵坐标为6,
所以点$Q$的坐标为$(2,12)$或$(2,6)$。