登录
1. 如图 30.1 - 11，$∠ APB = 30°$，点 $O$ 在射线 $PA$ 上，$\odot O$ 的半径为 2，当 $\odot O$ 与 $PB$ 相切时，$OP$ 的长度为(
A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
B
).A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
1. B
解析
【分析】
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，因此我们首先过圆心O作PB的垂线，垂足为切点，即可得到长度等于半径的垂线段，此时构造出含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系即可求出OP的长度。
【解析】
设$\odot O$与$PB$相切于点$C$，连接$OC$。
根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OC⊥ PB$，即$∠ PCO=90°$。
已知$\odot O$的半径为2，因此$OC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$∠ APB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OP$。
代入$OC=2$，解得$OP=2OC=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是利用切线性质作辅助线构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，因此我们首先过圆心O作PB的垂线，垂足为切点，即可得到长度等于半径的垂线段，此时构造出含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系即可求出OP的长度。
【解析】
设$\odot O$与$PB$相切于点$C$，连接$OC$。
根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OC⊥ PB$，即$∠ PCO=90°$。
已知$\odot O$的半径为2，因此$OC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$∠ APB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OP$。
代入$OC=2$，解得$OP=2OC=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是利用切线性质作辅助线构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图30.1-12，已知PC与$\odot O$相切于点C，PC与AB的延长线交于点P，$∠ P=20°$，则直径AB与弦AC的夹角等于（
A.$15°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）.A.$15°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
2. B
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OC。先在直角三角形OCP中求出∠COP的度数，再结合OA=OC得到等腰△OAC，利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数，也就是直径AB与弦AC的夹角。
【解析】
连接OC，
∵ PC与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=20°$，
∴ $∠ COP=90°-∠ P=90°-20°=70°$，
∵ $OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ ACO$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A+∠ ACO=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COP=\frac{1}{2}×70°=35°$，即直径AB与弦AC的夹角为$35°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合等腰三角形和外角性质求解，该辅助线作法是圆相关题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OC。先在直角三角形OCP中求出∠COP的度数，再结合OA=OC得到等腰△OAC，利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数，也就是直径AB与弦AC的夹角。
【解析】
连接OC，
∵ PC与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=20°$，
∴ $∠ COP=90°-∠ P=90°-20°=70°$，
∵ $OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ ACO$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A+∠ ACO=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COP=\frac{1}{2}×70°=35°$，即直径AB与弦AC的夹角为$35°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合等腰三角形和外角性质求解，该辅助线作法是圆相关题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
3. 如图30.1-13，已知$\odot O$的半径为5，直线EF经过$\odot O$上一点P(点E，F在点P的两旁).下列条件能判定直线EF与$\odot O$相切的是(
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
图30.1-13
D
).A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
图30.1-13
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查切线的判定，首先明确已知条件：点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径。根据切线的判定定理，要判定直线EF是⊙O的切线，只需证明EF垂直于OP即可，接下来逐个分析选项：A选项OP=5是半径的固有属性，无法证明EF与OP的位置关系；B选项OE=OF仅能说明△OEF为等腰三角形，不能推出OP⊥EF；C选项O到EF的距离为4，小于半径5，说明EF与圆相交，不符合切线要求；D选项OP⊥EF满足切线判定条件，即可判定EF为切线。
【解析】
切线的判定定理为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，逐一分析选项：
选项A：OP=5仅能说明OP是⊙O的半径，无法得到EF与OP垂直，不能判定EF与⊙O相切，故A错误；
选项B：OE=OF只能说明点O在EF的垂直平分线上，若P不是EF中点，则OP不垂直于EF，无法判定EF是切线，故B错误；
选项C：点O到直线EF的距离是4，小于⊙O的半径5，此时直线EF与⊙O相交，不是切线，故C错误；
选项D：OP是⊙O的半径，且OP⊥EF，符合切线的判定定理，可判定直线EF与⊙O相切，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查切线的判定逻辑，当已知直线与圆的公共点时，连接圆心和公共点得到半径，证明半径与直线垂直即可判定相切，要注意结合直线与圆的位置关系的判定方法排除错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查切线的判定，首先明确已知条件：点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径。根据切线的判定定理，要判定直线EF是⊙O的切线，只需证明EF垂直于OP即可，接下来逐个分析选项：A选项OP=5是半径的固有属性，无法证明EF与OP的位置关系；B选项OE=OF仅能说明△OEF为等腰三角形，不能推出OP⊥EF；C选项O到EF的距离为4，小于半径5，说明EF与圆相交，不符合切线要求；D选项OP⊥EF满足切线判定条件，即可判定EF为切线。
【解析】
切线的判定定理为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，逐一分析选项：
选项A：OP=5仅能说明OP是⊙O的半径，无法得到EF与OP垂直，不能判定EF与⊙O相切，故A错误；
选项B：OE=OF只能说明点O在EF的垂直平分线上，若P不是EF中点，则OP不垂直于EF，无法判定EF是切线，故B错误；
选项C：点O到直线EF的距离是4，小于⊙O的半径5，此时直线EF与⊙O相交，不是切线，故C错误；
选项D：OP是⊙O的半径，且OP⊥EF，符合切线的判定定理，可判定直线EF与⊙O相切，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查切线的判定逻辑，当已知直线与圆的公共点时，连接圆心和公共点得到半径，证明半径与直线垂直即可判定相切，要注意结合直线与圆的位置关系的判定方法排除错误选项。
【难度系数】
0.8
4. 如图30.1-14，P是$\odot O$的直径CD的延长线上一点，$∠ P=30°$，则当$∠ ACP=$（
A.$20°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$25°$
B
）时，直线PA是$\odot O$的切线.A.$20°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$25°$
答案
4. B
解析
【分析】
要使PA为$\odot O$的切线，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，因此先连接辅助线OA，可得$∠ OAP=90°$。结合已知$∠ P=30°$先求出$∠ AOP$的度数，再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角的性质，即可求出$∠ ACP$的度数。
【解析】
连接$OA$：
若$PA$是$\odot O$的切线，则$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$∠ P=30°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AOP=180°-∠ OAP-∠ P=180°-90°-30°=60°$。
$\because OA=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore △ OAC$是等腰三角形，$∠ OAC=∠ ACP$。
又$\because ∠ AOP$是$△ OAC$的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角之和，得：
$∠ AOP=∠ OAC+∠ ACP=2∠ ACP$，
$\therefore ∠ ACP=∠ AOP÷2=60°÷2=30°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题的关键是正确作出过切点的半径这条辅助线，结合三角形相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要使PA为$\odot O$的切线，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，因此先连接辅助线OA，可得$∠ OAP=90°$。结合已知$∠ P=30°$先求出$∠ AOP$的度数，再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角的性质，即可求出$∠ ACP$的度数。
【解析】
连接$OA$：
若$PA$是$\odot O$的切线，则$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$∠ P=30°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AOP=180°-∠ OAP-∠ P=180°-90°-30°=60°$。
$\because OA=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore △ OAC$是等腰三角形，$∠ OAC=∠ ACP$。
又$\because ∠ AOP$是$△ OAC$的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角之和，得：
$∠ AOP=∠ OAC+∠ ACP=2∠ ACP$，
$\therefore ∠ ACP=∠ AOP÷2=60°÷2=30°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题的关键是正确作出过切点的半径这条辅助线，结合三角形相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图30.1-15，$\odot O$是地球示意图，其中CD表示赤道，EF，AB分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=23.5°$.点P位于北纬$31.5°$($∠ POD=31.5°$).冬至日正午时，太阳光线BM所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角$∠ NPQ$(即平行于BM的光线PN与$\odot O$的切线PQ所成的锐角)的大小为(
图30.1-15
A.$34°$
B.$34.5°$
C.$35°$
D.$36°$
C
).图30.1-15
A.$34°$
B.$34.5°$
C.$35°$
D.$36°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先从切线的性质入手，圆的切线垂直于过切点的半径，可推出$OP⊥ PQ$，得到$∠ OPQ=90°$；再根据太阳光线互相平行，可知$PN// OM$，结合平行线的性质可得到$∠ OPN$和$∠ POM$的数量关系；接下来先计算$∠ POM$的度数，它是已知的$∠ POD$与$∠ DOB$的和，代入角度求出$∠ POM$后就能算出$∠ OPN$，最后用$∠ OPN$减去$∠ OPQ$即可得到所求的$∠ NPQ$的度数。
【解析】
解：$\because PQ$是$\odot O$的切线，$P$为切点
$\therefore OP⊥ PQ$，即$∠ OPQ=90°$
由题意得：$∠ POM=∠ POD+∠ DOB=31.5°+23.5°=55°$
$\because$太阳光线互相平行，即$PN// BM$，且$BM$在直线$OM$上
$\therefore PN// OM$
$\therefore ∠ OPN+∠ POM=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ OPN=180°-55°=125°$
$\therefore ∠ NPQ=∠ OPN-∠ OPQ=125°-90°=35°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确梳理各个角之间的位置和数量关系，将实际问题转化为几何角度计算问题。
【难度系数】
0.6
解题时先从切线的性质入手，圆的切线垂直于过切点的半径，可推出$OP⊥ PQ$，得到$∠ OPQ=90°$；再根据太阳光线互相平行，可知$PN// OM$，结合平行线的性质可得到$∠ OPN$和$∠ POM$的数量关系；接下来先计算$∠ POM$的度数，它是已知的$∠ POD$与$∠ DOB$的和，代入角度求出$∠ POM$后就能算出$∠ OPN$，最后用$∠ OPN$减去$∠ OPQ$即可得到所求的$∠ NPQ$的度数。
【解析】
解：$\because PQ$是$\odot O$的切线，$P$为切点
$\therefore OP⊥ PQ$，即$∠ OPQ=90°$
由题意得：$∠ POM=∠ POD+∠ DOB=31.5°+23.5°=55°$
$\because$太阳光线互相平行，即$PN// BM$，且$BM$在直线$OM$上
$\therefore PN// OM$
$\therefore ∠ OPN+∠ POM=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ OPN=180°-55°=125°$
$\therefore ∠ NPQ=∠ OPN-∠ OPQ=125°-90°=35°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确梳理各个角之间的位置和数量关系，将实际问题转化为几何角度计算问题。
【难度系数】
0.6
6. 如图30.1-16，已知$\odot P$的半径为1，圆心$P$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$上运动，当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心$P$的横坐标为
2或-2或0
。答案
6. 2或-2或0
解析
【分析】
解题时首先回忆圆与x轴相切的性质：圆心到x轴的距离等于圆的半径，由此可先确定圆心P的纵坐标的取值；再结合圆心P在抛物线上，将纵坐标代入抛物线解析式，求解对应的x值，就是圆心P的横坐标，注意要考虑纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵$\odot P$与$x$轴相切，$\odot P$的半径为1
∴圆心$P$到$x$轴的距离等于半径，即点$P$的纵坐标的绝对值为1，即$y=1$或$y=-1$
∵点$P$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$上，分两种情况计算：
① 当$y=1$时，代入抛物线解析式得：
$1=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$
解得$x=0$
② 当$y=-1$时，代入抛物线解析式得：
$-1=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$
整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
综上，圆心$P$的横坐标为0或2或-2。
【答案】
2或-2或0
【知识点】
圆与直线相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是圆与二次函数的综合基础题，解题的关键是利用切线的性质确定圆心纵坐标的可能值，代入解析式求解时注意不要遗漏纵坐标为负的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆与x轴相切的性质：圆心到x轴的距离等于圆的半径，由此可先确定圆心P的纵坐标的取值；再结合圆心P在抛物线上，将纵坐标代入抛物线解析式，求解对应的x值，就是圆心P的横坐标，注意要考虑纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵$\odot P$与$x$轴相切，$\odot P$的半径为1
∴圆心$P$到$x$轴的距离等于半径，即点$P$的纵坐标的绝对值为1，即$y=1$或$y=-1$
∵点$P$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$上，分两种情况计算：
① 当$y=1$时，代入抛物线解析式得：
$1=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$
解得$x=0$
② 当$y=-1$时，代入抛物线解析式得：
$-1=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$
整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
综上，圆心$P$的横坐标为0或2或-2。
【答案】
2或-2或0
【知识点】
圆与直线相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是圆与二次函数的综合基础题，解题的关键是利用切线的性质确定圆心纵坐标的可能值，代入解析式求解时注意不要遗漏纵坐标为负的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 如图30.1-17，量角器的零刻度线为AB，将一直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是0°，在直尺上的读数是7 cm，点D在量角器上的读数为120°，在直尺上的读数为1 cm，则该直尺的宽度为
图30.1-17
$\sqrt{3}$
cm.图30.1-17
答案
7. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何模型：量角器可看作半圆，设其圆心为O，半径为r。首先根据直尺的刻度差求出弦AD的长度；再结合A、D在量角器的读数得到圆心角∠AOD=120°，过O作AD的垂线，利用垂径定理和等腰三角形性质得到直角三角形，通过解直角三角形求出半径r和圆心O到AD的距离；最后根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，结合直尺对边平行的特点，半径与O到AD的距离的差就是直尺的宽度。
【解析】
解：设量角器的圆心为$ O $，半径为$ r $，过点$ O $作$ OE ⊥ AD $于点$ E $。
1. 求$ AD $的长度：由直尺读数可知，$ AD = 7\mathrm{cm} - 1\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm} $。
2. 由垂径定理可得：$ AE = \frac{1}{2}AD = 3\mathrm{cm} $。
3. 由题意得圆心角$ ∠ AOD = 120° $，又$ OA = OD = r $，因此$ ∠ OAE = \frac{180° - 120°}{2} = 30° $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ AOE $中，$ \cos∠ OAE = \frac{AE}{OA} $，代入$ \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $、$ AE=3\mathrm{cm} $，得$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{r} $，解得$ r = 2\sqrt{3}\mathrm{cm} $。
5. 计算$ OE $的长度：在$ \mathrm{Rt}△ AOE $中，$ ∠ OAE = 30° $，因此$ OE = OA · \sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}\mathrm{cm} $。
6. 因为直尺的一边与量角器相切于点$ C $，由切线的性质得$ OC ⊥ $直尺的上边，且$ OC = r = 2\sqrt{3}\mathrm{cm} $。
7. 直尺对边互相平行，因此$ OC $与$ OE $共线，直尺的宽度为$ OC - OE = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\mathrm{cm} $。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的测量工具考查圆的性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是将实际场景转化为熟悉的几何模型，梳理清楚各线段、角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先将实际问题转化为几何模型：量角器可看作半圆，设其圆心为O，半径为r。首先根据直尺的刻度差求出弦AD的长度；再结合A、D在量角器的读数得到圆心角∠AOD=120°，过O作AD的垂线，利用垂径定理和等腰三角形性质得到直角三角形，通过解直角三角形求出半径r和圆心O到AD的距离；最后根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，结合直尺对边平行的特点，半径与O到AD的距离的差就是直尺的宽度。
【解析】
解：设量角器的圆心为$ O $，半径为$ r $，过点$ O $作$ OE ⊥ AD $于点$ E $。
1. 求$ AD $的长度：由直尺读数可知，$ AD = 7\mathrm{cm} - 1\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm} $。
2. 由垂径定理可得：$ AE = \frac{1}{2}AD = 3\mathrm{cm} $。
3. 由题意得圆心角$ ∠ AOD = 120° $，又$ OA = OD = r $，因此$ ∠ OAE = \frac{180° - 120°}{2} = 30° $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ AOE $中，$ \cos∠ OAE = \frac{AE}{OA} $，代入$ \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $、$ AE=3\mathrm{cm} $，得$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{r} $，解得$ r = 2\sqrt{3}\mathrm{cm} $。
5. 计算$ OE $的长度：在$ \mathrm{Rt}△ AOE $中，$ ∠ OAE = 30° $，因此$ OE = OA · \sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}\mathrm{cm} $。
6. 因为直尺的一边与量角器相切于点$ C $，由切线的性质得$ OC ⊥ $直尺的上边，且$ OC = r = 2\sqrt{3}\mathrm{cm} $。
7. 直尺对边互相平行，因此$ OC $与$ OE $共线，直尺的宽度为$ OC - OE = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\mathrm{cm} $。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的测量工具考查圆的性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是将实际场景转化为熟悉的几何模型，梳理清楚各线段、角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
