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3. 某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，已知生产钢铁产量的月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t.设月平均增长率为x，可列出的方程为
560+560(1+x)+560(1+x)²=1 860
.答案
3. $560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
解析
【分析】
解题首先要明确第一季度包含一月、二月、三月共3个月的产量，已知月平均增长率为x，我们可以先依次表示出每个月的钢铁产量：一月份产量题目已给出，二月份产量是在一月份基础上增长x，即一月份产量×(1+x)，三月份产量是在二月份基础上再增长x，即二月份产量×(1+x)，最后根据“三个月产量总和=第一季度总产量”的等量关系列出方程即可。
【解析】
解：已知一月份生产钢铁560 t，月平均增长率为x：
1. 二月份的产量为：$560(1+x)$ t
2. 三月份的产量为：$560(1+x) · (1+x) = 560(1+x)^2$ t
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，已知第一季度共生产1860 t，因此可列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
【答案】
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题核心是准确表示出每个增长阶段的对应量，需注意第一季度总产量是三个月产量的和，避免漏加首月产量导致列错方程。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确第一季度包含一月、二月、三月共3个月的产量，已知月平均增长率为x，我们可以先依次表示出每个月的钢铁产量：一月份产量题目已给出，二月份产量是在一月份基础上增长x，即一月份产量×(1+x)，三月份产量是在二月份基础上再增长x，即二月份产量×(1+x)，最后根据“三个月产量总和=第一季度总产量”的等量关系列出方程即可。
【解析】
解：已知一月份生产钢铁560 t，月平均增长率为x：
1. 二月份的产量为：$560(1+x)$ t
2. 三月份的产量为：$560(1+x) · (1+x) = 560(1+x)^2$ t
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，已知第一季度共生产1860 t，因此可列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
【答案】
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题核心是准确表示出每个增长阶段的对应量，需注意第一季度总产量是三个月产量的和，避免漏加首月产量导致列错方程。
【难度系数】
0.8
4. 一个容器盛满纯药液63 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是28 L，则每次倒出的液体体积是
21
L.答案
4. 21
解析
【分析】
这是一道溶液稀释类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先设每次倒出的液体体积为x L；②第一次倒出x L纯药液后，剩余纯药液为(63-x)L，加满水后可求出此时溶液的浓度；③第二次倒出的x L药液中，纯药液的量为“浓度×倒出体积”，根据“两次操作后剩余纯药液为28 L”这一等量关系列方程；④解方程后舍去不符合实际意义的根，得到最终结果。
【解析】
解：设每次倒出的液体体积是x L。
1. 第一次倒出x L纯药液后，容器内剩余纯药液为：$63 - x$（L）
用水加满后，此时溶液的浓度为：$\frac{63 - x}{63}$
2. 第二次倒出x L药液，其中含纯药液的量为：$x · \frac{63 - x}{63}$（L）
3. 根据两次操作后剩余纯药液为28 L，列方程：
$(63 - x) - x · \frac{63 - x}{63} = 28$
整理方程：
$(63 - x)(1 - \frac{x}{63}) = 28$
$\frac{(63 - x)^2}{63} = 28$
$(63 - x)^2 = 28 × 63 = 1764$
开平方得：$63 - x = \pm 42$
解得：$x_1 = 21$，$x_2 = 105$
4. 检验：倒出的液体体积不能超过容器容积63 L，故$x_2 = 105$不符合实际，舍去。
【答案】
21
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题属于常见的下降率类延伸的溶液问题，核心是抓住每次倒出液体后浓度的变化规律，准确找到等量关系列方程，求解后务必结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
这是一道溶液稀释类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先设每次倒出的液体体积为x L；②第一次倒出x L纯药液后，剩余纯药液为(63-x)L，加满水后可求出此时溶液的浓度；③第二次倒出的x L药液中，纯药液的量为“浓度×倒出体积”，根据“两次操作后剩余纯药液为28 L”这一等量关系列方程；④解方程后舍去不符合实际意义的根，得到最终结果。
【解析】
解：设每次倒出的液体体积是x L。
1. 第一次倒出x L纯药液后，容器内剩余纯药液为：$63 - x$（L）
用水加满后，此时溶液的浓度为：$\frac{63 - x}{63}$
2. 第二次倒出x L药液，其中含纯药液的量为：$x · \frac{63 - x}{63}$（L）
3. 根据两次操作后剩余纯药液为28 L，列方程：
$(63 - x) - x · \frac{63 - x}{63} = 28$
整理方程：
$(63 - x)(1 - \frac{x}{63}) = 28$
$\frac{(63 - x)^2}{63} = 28$
$(63 - x)^2 = 28 × 63 = 1764$
开平方得：$63 - x = \pm 42$
解得：$x_1 = 21$，$x_2 = 105$
4. 检验：倒出的液体体积不能超过容器容积63 L，故$x_2 = 105$不符合实际，舍去。
【答案】
21
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题属于常见的下降率类延伸的溶液问题，核心是抓住每次倒出液体后浓度的变化规律，准确找到等量关系列方程，求解后务必结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
5. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公.据统计，该单位7月份A4纸的用纸量为1 000张，到了9月份A4纸的用纸量降到了640张.若每个月用纸量的降低率相同，求该单位A4纸的用纸量月平均降低率.
答案
5. 设单位A4纸的用纸量月平均降低率为x,根据题意,得$1\ 000(1−x)^2=640$.解得$x_1=0.2$,$x_2=1.8$(不符合题意,舍去).
∴$x=0.2=20\%$,即单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%.答:单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%
∴$x=0.2=20\%$,即单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%.答:单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%
解析
【分析】
这是典型的平均降低率类应用题，解题思路如下：1. 牢记平均变化率的基本等量关系：初始量×(1-降低率)^变化次数=最终量；2. 明确题中已知量：7月用纸量1000张为初始量，9月用纸量640张为最终量，从7月到9月共经过2次月度变化，因此变化次数为2；3. 设月平均降低率为x，代入等量关系列出一元二次方程；4. 求解方程后，结合降低率的实际意义（降低率需大于0且小于1）舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
设该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，
根据题意可列方程：
$1000(1-x)^2=640$
方程两边同时除以1000，得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
解得：$x_1=0.2$，$x_2=1.8$
由于月平均降低率不可能大于1，因此$x_2=1.8$不符合题意，舍去。
故$x=0.2=20\%$。
【答案】
该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%
【知识点】
1. 平均降低率问题 2. 一元二次方程的应用 3. 方程根的检验
【点评】
本题是平均变化率类的常规应用题，解题核心是准确对应变化次数、初始量与最终量的关系，列出正确的方程，同时要注意结合实际场景对解得的根进行取舍，排除不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均降低率类应用题，解题思路如下：1. 牢记平均变化率的基本等量关系：初始量×(1-降低率)^变化次数=最终量；2. 明确题中已知量：7月用纸量1000张为初始量，9月用纸量640张为最终量，从7月到9月共经过2次月度变化，因此变化次数为2；3. 设月平均降低率为x，代入等量关系列出一元二次方程；4. 求解方程后，结合降低率的实际意义（降低率需大于0且小于1）舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
设该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，
根据题意可列方程：
$1000(1-x)^2=640$
方程两边同时除以1000，得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
解得：$x_1=0.2$，$x_2=1.8$
由于月平均降低率不可能大于1，因此$x_2=1.8$不符合题意，舍去。
故$x=0.2=20\%$。
【答案】
该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%
【知识点】
1. 平均降低率问题 2. 一元二次方程的应用 3. 方程根的检验
【点评】
本题是平均变化率类的常规应用题，解题核心是准确对应变化次数、初始量与最终量的关系，列出正确的方程，同时要注意结合实际场景对解得的根进行取舍，排除不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
6. 某初中学校要新建如图所示的一块篮球场地，要求:① 篮球场地的长和宽分别为 28 m和 16 m;② 在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域;③ 篮球场地及安全区域的总面积为 640 m².
（1）求安全区域的宽度.
（2）某公司希望用 50 万元承包这项工程,学校认为金额太高需要降价,通过两次洽谈,最终以 32 万元达成一致.若两次协商降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
（1）求安全区域的宽度.
（2）某公司希望用 50 万元承包这项工程,学校认为金额太高需要降价,通过两次洽谈,最终以 32 万元达成一致.若两次协商降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
答案
6. (1) 设安全区域的宽度为x m,由题意,得$(28+2x)(16+2x)=640$.整理,得$x^2+22x−48=0$.解得$x_1=2$,$x_2=−24$(不符合题意,舍去).答:安全区域的宽度为2 m
（2）设每次降价的百分率为a,由题意,得$50(1−a)^2=32$.解得$a_1=1.8$(舍去),$a_2=0.2=20\%$.答:每次降价的百分率为20%
（2）设每次降价的百分率为a,由题意,得$50(1−a)^2=32$.解得$a_1=1.8$(舍去),$a_2=0.2=20\%$.答:每次降价的百分率为20%
解析
【分析】
（1）求解安全区域宽度时，首先明确增设安全区域后整体为矩形：整体的长等于原篮球场长度加上左右两段安全区域的宽度，整体的宽等于原篮球场宽度加上上下两段安全区域的宽度，再根据“矩形面积=长×宽”结合总面积为640m²的条件列一元二次方程，求解后根据宽度为正的实际意义舍去不合理的根。
（2）求解降价百分率属于平均变化率类问题，用到核心关系：最终价格=原价×(1-降价率)ⁿ（n为降价次数），将已知的原价、最终价格、降价次数代入关系列方程，求解后结合降价率小于1的实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
（1）设安全区域的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，整体区域的长为$ (28+2x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (16+2x)\, \mathrm{m} $，列方程得：
$(28+2x)(16+2x)=640$
展开整理得：
$x^2 + 22x - 48 = 0$
解方程得$ x_1=2 $，$ x_2=-24 $，因为宽度不能为负数，故舍去$ x_2=-24 $。
（2）设每次降价的百分率为$ a $。
两次降价后价格为32万元，列方程得：
$50(1-a)^2=32$
解方程得$ a_1=1.8 $（不符合降价率小于1的实际意义，舍去），$ a_2=0.2=20\% $。
【答案】
（1）安全区域的宽度为$\boxed{2\,\mathrm{m}}$；
（2）每次降价的百分率为$\boxed{20\%}$
【知识点】
一元二次方程的应用；几何面积计算；平均变化率问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，分别结合了几何场景和生活中的降价场景，考查学生提炼等量关系列方程的能力，解题时需特别注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
（1）求解安全区域宽度时，首先明确增设安全区域后整体为矩形：整体的长等于原篮球场长度加上左右两段安全区域的宽度，整体的宽等于原篮球场宽度加上上下两段安全区域的宽度，再根据“矩形面积=长×宽”结合总面积为640m²的条件列一元二次方程，求解后根据宽度为正的实际意义舍去不合理的根。
（2）求解降价百分率属于平均变化率类问题，用到核心关系：最终价格=原价×(1-降价率)ⁿ（n为降价次数），将已知的原价、最终价格、降价次数代入关系列方程，求解后结合降价率小于1的实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
（1）设安全区域的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，整体区域的长为$ (28+2x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (16+2x)\, \mathrm{m} $，列方程得：
$(28+2x)(16+2x)=640$
展开整理得：
$x^2 + 22x - 48 = 0$
解方程得$ x_1=2 $，$ x_2=-24 $，因为宽度不能为负数，故舍去$ x_2=-24 $。
（2）设每次降价的百分率为$ a $。
两次降价后价格为32万元，列方程得：
$50(1-a)^2=32$
解方程得$ a_1=1.8 $（不符合降价率小于1的实际意义，舍去），$ a_2=0.2=20\% $。
【答案】
（1）安全区域的宽度为$\boxed{2\,\mathrm{m}}$；
（2）每次降价的百分率为$\boxed{20\%}$
【知识点】
一元二次方程的应用；几何面积计算；平均变化率问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，分别结合了几何场景和生活中的降价场景，考查学生提炼等量关系列方程的能力，解题时需特别注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=4 cm,AD=7 cm,BC=11 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1) 当t=
(2) 当PQ与四边形ABCD的某一边平行时,求t的值.
(3) 连接BP,是否存在t的值使△BPQ为等腰三角形?若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
(1) 当t=
2
s时,PQ平分四边形ABCD的面积.(2) 当PQ与四边形ABCD的某一边平行时,求t的值.
(3) 连接BP,是否存在t的值使△BPQ为等腰三角形?若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
答案
7. (1) 2
（2）当AP=BQ时,
∵AD//BC,
∴AP//BQ.
∴四边形ABQP是平行四边形.
∴AB//PQ,则$t=11−2t$,解得$t=\frac{11}{3}$.当DP=CQ时,
∵AD//BC,DP//CQ,
∴四边形PQCD是平行四边形.
∴PQ//CD,则$7−t=2t$,解得$t=\frac{7}{3}$.综上可知,当PQ与四边形ABCD的某一边平行时,求t的值为$\frac{11}{3}$或$\frac{7}{3}$
（3）如图,连接BP,作PE⊥BQ,垂足为E,则∠PEB=∠ABE=90°.
∵AD//BC,
∴∠A=180°−∠ABE=90°.
∴四边形ABEP是矩形.
∴BE=AP=t,PE=AB=4.
∴$PB^2=AP^2+AB^2=t^2+4^2=t^2+16$,$QB^2=(11−2t)^2$,$PQ^2=PE^2+EQ^2=4^2+(11−3t)^2$.当PB=BQ时,$t^2+16=(11−2t)^2$.解得$t_1=3$,$t_2=\frac{35}{3}$(不合题意,舍去).当PB=PQ时,$t^2+16=16+(11−3t)^2$.解得$t_1=\frac{11}{4}$,$t_2=\frac{11}{2}$(不合题意,舍去).当PQ=BQ时,$(11−2t)^2=16+(11−3t)^2$,解得$t_1=\frac{11+\sqrt{41}}{5}$,$t_2=\frac{11−\sqrt{41}}{5}$.综上可知,t值为3或$\frac{11}{4}$或$\frac{11+\sqrt{41}}{5}$或$\frac{11−\sqrt{41}}{5}$
解析
【分析】
本题为直角梯形背景下的动点综合题，解题思路如下：
(1) 先计算直角梯形ABCD的总面积，PQ平分面积时，梯形ABQP的面积为总面积的一半，根据梯形面积公式列方程即可求解t；
(2) PQ与四边形的边平行分两种情况：①PQ//AB时，四边形ABQP为平行四边形，根据对边AP=BQ列方程求解；②PQ//CD时，四边形PQCD为平行四边形，根据对边DP=CQ列方程求解；
(3) △BPQ为等腰三角形需分三类讨论：PB=BQ、PB=PQ、PQ=BQ。过点P作PE⊥BC于E，用含t的代数式结合勾股定理分别表示出PB²、BQ²、PQ²，再根据三类等量关系列一元二次方程求解，最后结合动点的运动范围（0≤t≤5.5）舍去不合题意的解即可。
【解析】
已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=7cm，BC=11cm，动点P速度1cm/s，Q速度2cm/s，运动时间为t s，则AP=t cm，DP=(7-t)cm，CQ=2t cm，BQ=(11-2t)cm，t的取值范围为0≤t≤$\frac{11}{2}$。
(1) 梯形ABCD总面积$S=\frac{(AD+BC)× AB}{2}=\frac{(7+11)×4}{2}=36\ \mathrm{cm}^2$，PQ平分面积时，$S_{梯形ABQP}=18\ \mathrm{cm}^2$，则：
$\frac{(AP+BQ)× AB}{2}=18$，代入得$\frac{(t+11-2t)×4}{2}=18$，
化简得$2(11-t)=18$，解得$t=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当PQ//AB时，
∵AD//BC，即AP//BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，即$t=11-2t$，解得$t=\frac{11}{3}$，符合取值范围；
② 当PQ//CD时，
∵AD//BC，即DP//CQ，
∴四边形PQCD是平行四边形，
∴DP=CQ，即$7-t=2t$，解得$t=\frac{7}{3}$，符合取值范围。
综上，t的值为$\frac{7}{3}$或$\frac{11}{3}$。
(3) 存在，理由如下：
如图，过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵∠A=∠B=∠PEB=90°，
∴四边形ABEP是矩形，
∴BE=AP=t，PE=AB=4，EQ=BQ-BE=11-2t-t=11-3t。
由勾股定理可得：
$PB^2=AP^2+AB^2=t^2+4^2=t^2+16$，
$QB^2=(11-2t)^2$，
$PQ^2=PE^2+EQ^2=4^2+(11-3t)^2=16+(11-3t)^2$。
分三种情况讨论等腰三角形：
① 当PB=BQ时：$t^2+16=(11-2t)^2$，
整理得$3t^2-44t+105=0$，解得$t_1=3$，$t_2=\frac{35}{3}$，
∵$\frac{35}{3}＞\frac{11}{2}$，不符合取值范围，舍去，故$t=3$；
② 当PB=PQ时：$t^2+16=16+(11-3t)^2$，
整理得$t^2=(11-3t)^2$，解得$t_1=\frac{11}{4}$，$t_2=\frac{11}{2}$，
∵$t=\frac{11}{2}$时点Q与点B重合，△BPQ不存在，舍去，故$t=\frac{11}{4}$；
③ 当PQ=BQ时：$(11-2t)^2=16+(11-3t)^2$，
整理得$5t^2-22t+16=0$，解得$t=\frac{11\pm\sqrt{41}}{5}$，两个解均在取值范围内，符合要求。
综上，t的值为$3$、$\frac{11}{4}$、$\frac{11+\sqrt{41}}{5}$、$\frac{11-\sqrt{41}}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $t$的值为$\boxed{\frac{7}{3}}$或$\boxed{\frac{11}{3}}$
(3) 存在，$t$的值为$\boxed{3}$、$\boxed{\frac{11}{4}}$、$\boxed{\frac{11+\sqrt{41}}{5}}$、$\boxed{\frac{11-\sqrt{41}}{5}}$
【知识点】
平行四边形的判定、等腰三角形分类讨论、一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点的典型综合题，融合了梯形、平行四边形的性质，侧重考察分类讨论思想与方程思想的运用，解题时需注意结合动点的运动范围对解进行取舍，有助于提升几何性质与代数运算结合的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
本题为直角梯形背景下的动点综合题，解题思路如下：
(1) 先计算直角梯形ABCD的总面积，PQ平分面积时，梯形ABQP的面积为总面积的一半，根据梯形面积公式列方程即可求解t；
(2) PQ与四边形的边平行分两种情况：①PQ//AB时，四边形ABQP为平行四边形，根据对边AP=BQ列方程求解；②PQ//CD时，四边形PQCD为平行四边形，根据对边DP=CQ列方程求解；
(3) △BPQ为等腰三角形需分三类讨论：PB=BQ、PB=PQ、PQ=BQ。过点P作PE⊥BC于E，用含t的代数式结合勾股定理分别表示出PB²、BQ²、PQ²，再根据三类等量关系列一元二次方程求解，最后结合动点的运动范围（0≤t≤5.5）舍去不合题意的解即可。
【解析】
已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=7cm，BC=11cm，动点P速度1cm/s，Q速度2cm/s，运动时间为t s，则AP=t cm，DP=(7-t)cm，CQ=2t cm，BQ=(11-2t)cm，t的取值范围为0≤t≤$\frac{11}{2}$。
(1) 梯形ABCD总面积$S=\frac{(AD+BC)× AB}{2}=\frac{(7+11)×4}{2}=36\ \mathrm{cm}^2$，PQ平分面积时，$S_{梯形ABQP}=18\ \mathrm{cm}^2$，则：
$\frac{(AP+BQ)× AB}{2}=18$，代入得$\frac{(t+11-2t)×4}{2}=18$，
化简得$2(11-t)=18$，解得$t=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当PQ//AB时，
∵AD//BC，即AP//BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，即$t=11-2t$，解得$t=\frac{11}{3}$，符合取值范围；
② 当PQ//CD时，
∵AD//BC，即DP//CQ，
∴四边形PQCD是平行四边形，
∴DP=CQ，即$7-t=2t$，解得$t=\frac{7}{3}$，符合取值范围。
综上，t的值为$\frac{7}{3}$或$\frac{11}{3}$。
(3) 存在，理由如下：
如图，过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵∠A=∠B=∠PEB=90°，
∴四边形ABEP是矩形，
∴BE=AP=t，PE=AB=4，EQ=BQ-BE=11-2t-t=11-3t。
由勾股定理可得：
$PB^2=AP^2+AB^2=t^2+4^2=t^2+16$，
$QB^2=(11-2t)^2$，
$PQ^2=PE^2+EQ^2=4^2+(11-3t)^2=16+(11-3t)^2$。
分三种情况讨论等腰三角形：
① 当PB=BQ时：$t^2+16=(11-2t)^2$，
整理得$3t^2-44t+105=0$，解得$t_1=3$，$t_2=\frac{35}{3}$，
∵$\frac{35}{3}＞\frac{11}{2}$，不符合取值范围，舍去，故$t=3$；
② 当PB=PQ时：$t^2+16=16+(11-3t)^2$，
整理得$t^2=(11-3t)^2$，解得$t_1=\frac{11}{4}$，$t_2=\frac{11}{2}$，
∵$t=\frac{11}{2}$时点Q与点B重合，△BPQ不存在，舍去，故$t=\frac{11}{4}$；
③ 当PQ=BQ时：$(11-2t)^2=16+(11-3t)^2$，
整理得$5t^2-22t+16=0$，解得$t=\frac{11\pm\sqrt{41}}{5}$，两个解均在取值范围内，符合要求。
综上，t的值为$3$、$\frac{11}{4}$、$\frac{11+\sqrt{41}}{5}$、$\frac{11-\sqrt{41}}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $t$的值为$\boxed{\frac{7}{3}}$或$\boxed{\frac{11}{3}}$
(3) 存在，$t$的值为$\boxed{3}$、$\boxed{\frac{11}{4}}$、$\boxed{\frac{11+\sqrt{41}}{5}}$、$\boxed{\frac{11-\sqrt{41}}{5}}$
【知识点】
平行四边形的判定、等腰三角形分类讨论、一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点的典型综合题，融合了梯形、平行四边形的性质，侧重考察分类讨论思想与方程思想的运用，解题时需注意结合动点的运动范围对解进行取舍，有助于提升几何性质与代数运算结合的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
