若$-x^{6}y^{2m}$与$x^{n+2}y^{4}$的和为0，且$xy≠0$，则$n+m$的值为.

6

【分析】
首先，两个单项式的和为0，且$xy≠0$，说明这两个单项式是同类项（只有同类项才可以合并，且合并后结果为0说明二者系数互为相反数，本题中两个单项式的系数分别为-1和1，刚好互为相反数）。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，即可分别列出关于m、n的等式，求解后代入计算$n+m$的值即可。
【解析】
解：$\because -x^{6}y^{2m}$与$x^{n+2}y^{4}$的和为0，且$xy≠0$，
$\therefore -x^{6}y^{2m}$与$x^{n+2}y^{4}$是同类项，
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}n+2=6 \\2m=4 \end{cases}$
解第一个方程得：$n=6-2=4$，
解第二个方程得：$m=4÷2=2$，
$\therefore n+m=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题解题的核心是明确两个单项式和为0的含义，即二者为同类项且系数互为相反数，熟练掌握同类项的判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10.先合并同类项，再求值：
(1)$x^2 - 8x + 2x^3 - 13x^2 - 2x - 2x^3 + 3$，其中$x=-4$；
(2)$-15x^2y + 5xy^2 - xy^2 + 3x^2y$，其中$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=\dfrac{1}{3}$。

(1)解:原式$=(1-13)x^2+(-8-2)x+(2-2)x^3+3=-12x^2-10x+3$。当$x=-4$时,原式$=-12×16-10×(-4)+3=-149$。
(2)解:原式$=(-15+3)x^2y+(5-1)xy^2=-12x^2y+4xy^2$。当$x=-\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$时,原式$=-12×(-\dfrac{1}{2})^2×\dfrac{1}{3}+4×(-\dfrac{1}{2})×(\dfrac{1}{3})^2=-1-\dfrac{2}{9}=-\dfrac{11}{9}$。

【分析】
解决这类合并同类项再求值的题目，思路分为三步：第一步先找同类项，即所含字母相同、相同字母的指数也完全相同的项，所有常数项都属于同类项；第二步按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加、减，字母和字母的指数保持不变，把多项式化简为最简形式，能避免直接代入的繁琐计算；第三步将给定的字母取值代入化简后的式子，按照有理数运算规则计算结果，计算时要特别注意负数运算的符号问题。
【解析】
(1) 先合并同类项：
原式$=(1-13)x^2+(-8-2)x+(2-2)x^3+3=-12x^2-10x+3$
将$x=-4$代入化简后的式子：
原式$=-12×(-4)^2 -10×(-4)+3=-12×16 +40 +3=-192+43=-149$
(2) 先合并同类项：
原式$=(-15+3)x^2y+(5-1)xy^2=-12x^2y+4xy^2$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=\dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-12×(-\dfrac{1}{2})^2×\dfrac{1}{3} +4×(-\dfrac{1}{2})×(\dfrac{1}{3})^2$
$=-12×\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{3} +4×(-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{9}$
$=-1-\dfrac{2}{9}=-\dfrac{11}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-149}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{11}{9}}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，考察合并同类项法则的应用和代数求值的计算能力，先化简再求值的方法能有效减少计算量，解题时需注意负数乘方、乘法的符号处理，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8

11.若$P,Q$都是三次多项式，则$P+Q$一定是（）

A.三次多项式
B.六次多项式
C.不高于三次的多项式或单项式
D.单项式

11.C

【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是多项式的次数是多项式里次数最高项的次数；二是整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变，因此相加后结果的次数不会超过原来两个多项式的最高次数。接下来分类讨论两个三次多项式相加的情况：若两个三次项的系数不互为相反数，合并后三次项保留，结果是三次多项式；若两个三次项的系数互为相反数，三次项会抵消，此时结果的次数低于三次，甚至可能所有项都抵消得到单项式（如0）。结合选项逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先，整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时字母和字母的指数不变，因此两个三次多项式相加，结果的最高次数不可能超过3，不可能出现六次，直接排除B选项。
接下来分情况讨论：
1. 若P、Q的三次项系数不互为相反数，合并后三次项保留，此时P+Q是三次多项式；
2. 若P、Q的三次项系数互为相反数，合并后三次项抵消：
若还有剩余的低次项，P+Q是次数低于三次的多项式；
若所有项都互为相反数，合并后结果为0，属于单项式。
因此P+Q一定是不高于三次的多项式或单项式，A选项未考虑三次项抵消的情况，D选项未考虑结果为多项式的情况，均错误，故选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题考查整式加减运算的性质，解题的关键是注意分类讨论三次项是否抵消的特殊情况，避免因忽略项的抵消直接认为结果仍是三次多项式而错选。
【难度系数】
0.7

12.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
例如，我们把$(a+b)$看成一个整体，则
$5(a+b)-3(a+b)+(a+b)=(5-3+1)(a+b)=3(a+b)$。
任务：
利用上述思想解决下列问题。
(1)化简：$(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2$；
(2)已知$x^2 +2y=-\dfrac{1}{3}$，求$6y+3x^2 -2023$的值。

(1)解:原式$=(1-6+7)(a-b)^2=2(a-b)^2$。
(2)当$x^2+2y=-\dfrac{1}{3}$时,原式$=3x^2+6y-2023=3(x^2+2y)-2023=3×(-\dfrac{1}{3})-2023=-2024$。

【分析】
(1) 本题可运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比题干示例的合并方法，只需对各项的系数进行加减运算，整体部分保持不变，即可完成化简；
(2) 先观察所求代数式的结构，将$6y+3x^2-2023$变形为含有$x^2+2y$的形式，再将已知的$x^2+2y=-\dfrac{1}{3}$作为整体代入计算，无需单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项得：
原式$=(1-6+7)(a-b)^2=2(a-b)^2$
(2) 先对所求代数式变形，提取公因数3得：
原式$=3x^2+6y-2023=3(x^2+2y)-2023$
将$x^2+2y=-\dfrac{1}{3}$代入上式：
$3×(-\dfrac{1}{3})-2023=-1-2023=-2024$
【答案】
(1) $2(a-b)^2$；(2) $-2024$
【知识点】
合并同类项，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式运算中的应用，解题核心是准确识别可作为整体的结构，通过合并同类项或代数式变形构造出已知的整体形式，再代入计算即可，能有效降低运算复杂度。
【难度系数】
0.8

【变式1】当$m=$时，多项式$4x^2 - 2xy + y^2 + mx^2$中不含$x^2$的项。

-4

【分析】要解决这个问题，首先理解“多项式中不含$x^2$的项”的含义：即合并同类项后，$x^2$项的系数等于0。解题步骤如下：第一步先找出多项式中所有含$x^2$的同类项，第二步合并这部分同类项，第三步令合并后$x^2$项的系数为0，列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】先对多项式合并同类项：
$4x^2 - 2xy + y^2 + mx^2 = (4 + m)x^2 - 2xy + y^2$
因为多项式不含$x^2$的项，所以$x^2$项的系数为0，可得：
$4 + m = 0$
解得：$m = -4$
【答案】$-4$
【知识点】合并同类项；多项式的项与系数
【点评】本题是合并同类项的基础应用题型，解题关键是掌握“不含某一项则该项合并后的系数为0”的规律，熟练运用合并同类项法则即可快速求解。
【难度系数】0.8

【变式2】已知关于$x$，$y$的多项式$mx^3 + 3nxy^2 - 2x^3 + xy^2 + 2x - y$不含三次项，
那么$n^m =$。

$\dfrac{1}{9}$

【分析】
解题时首先要明确“多项式不含三次项”的含义，即合并同类项后所有三次项的系数都为0。思路步骤如下：1. 先对多项式中的同类项进行合并，找出所有三次项；2. 令三次项的系数分别等于0，列方程求出m、n的值；3. 将m、n代入$n^m$计算得到结果。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}mx^3 + 3nxy^2 - 2x^3 + xy^2 + 2x - y&=(mx^3-2x^3)+(3nxy^2+xy^2)+2x-y\\&=(m-2)x^3 + (3n+1)xy^2 + 2x - y\end{aligned}$
因为该多项式不含三次项，所以三次项的系数为0，即：
$\begin{cases}m-2=0\\3n+1=0\end{cases}$
解得：$m=2$，$n=-\dfrac{1}{3}$
将$m=2$，$n=-\dfrac{1}{3}$代入$n^m$得：
$n^m=(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
【答案】
$\dfrac{1}{9}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；乘方运算
【点评】
本题核心是理解“不含某类项则合并同类项后该项系数为0”的规则，解题时要注意合并同类项时系数的符号运算，代入求值时负数的偶次幂结果为正，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

【拓展】已知关于$x,y$的多项式$mx^3 + 3nx - 3x^3 - x + 2y^2 - y$的值与字母$x$的取值无关，那么$n^m =$。

$\dfrac{1}{27}$

【分析】
要解决这道题，首先需要理解“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，因此所有含x的项的系数之和必须为0。解题步骤如下：第一步先对多项式中的同类项进行合并，将含x³的项、含x的一次项分别合并；第二步令合并后所有含x的项的系数等于0，列方程求出m、n的值；第三步将m、n代入n^m计算即可得到结果。
【解析】
先对给定的多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&mx^3 + 3nx - 3x^3 - x + 2y^2 - y\\=&(mx^3 - 3x^3)+(3nx - x)+2y^2 - y\\=&(m-3)x^3 + (3n-1)x + 2y^2 - y\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数均为0，可得：
$m-3=0$，$3n-1=0$
解得：$m=3$，$n=\frac{1}{3}$
代入计算$n^m$：
$n^m=(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$
【答案】
$\dfrac{1}{27}$
【知识点】
合并同类项；多项式取值无关性质；有理数乘方
【点评】
本题是合并同类项的典型应用题型，解题的关键是掌握“多项式的值与某字母无关，则该字母的所有同类项合并后系数为0”的规律，整体难度不大，侧重对基础概念和性质的理解应用。
【难度系数】
0.7