5. 计算：
(1) $(-2)^3 ÷ (-3)^2$；
(2) $(-2)^4 × (-0.5)^4$；
(3) $-1^2 ÷ 2\frac{1}{4} × (-\frac{2}{3})^2$；
(4) $8 + (-4)^2 × (-\frac{1}{2})^3$。

解：
(1) 原式 = $(-8) ÷ 9$
$= -\dfrac{8}{9}$
(2) 原式 = $16 × \dfrac{1}{16}$
$= 1$
(3) 原式 = $-1 ÷ \dfrac{9}{4} × \dfrac{4}{9}$
$= -1 × \dfrac{4}{9} × \dfrac{4}{9}$
$= -\dfrac{16}{81}$
(4) 原式 = $8 + 16 × (-\dfrac{1}{8})$
$= 8 - 2$
$= 6$

6.（1）计算下面两组算式：
①$(3×5)^2=$，$3^2×5^2=$；
②$[(-2)×3]^3=$，$(-2)^3×3^3=$。
（2）猜想与验证：当$n$为正整数时，$(a×b)^n=$，请你利用乘方的意义说明理由。

解：
(1) ① $(3×5)^2 = 15^2 = 225$，
$3^2×5^2 = 9×25 = 225$；
② $[(-2)×3]^3 = (-6)^3 = -216$，
$(-2)^3×3^3 = (-8)×27 = -216$。
(2) $(a×b)^n = a^n×b^n$，
理由：根据乘方的意义，$(a× b)^n$表示$n$个$(a× b)$相乘：
$(a× b)^n = \underbrace{(a× b)×(a× b)×···×(a× b)}_{n个(a× b)}$
利用乘法交换律和结合律，将所有因数$a$结合在一起，所有因数$b$结合在一起，可得：
$\mathrm{上式} = \underbrace{a× a×···× a}_{n个a} × \underbrace{b× b×···× b}_{n个b} = a^n × b^n$

7. 如果$ a $表示一个有理数，那么下列各式的最小值为多少？求出此时$ a $的值。
(1) $ a^2 + 5 $;
(2) $ 2× (a - 1)^2 - 3 $.

解：
(1) ∵ 对于任意有理数a，都有$a^2 ≥ 0$，
∴ $a^2 + 5 ≥ 0 + 5 = 5$，
∴ $a^2 +5$的最小值为5，此时$a^2=0$，即$a=0$。
(2) ∵ 对于任意有理数a，都有$(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $2×(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $2×(a-1)^2 -3 ≥ 0 -3 = -3$，
∴ $2×(a-1)^2 -3$的最小值为-3，此时$(a-1)^2=0$，即$a-1=0$，$a=1$。

8. 阅读材料,求值:$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$.
解:设$s=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$,①
将等式两边同时乘2得:
$2s=2+2^2+2^3+\dots+2^{100}+2^{101}$,②
将②式减去①式,得$2s-s=2^{101}-1$,
所以$s=2^{101}-1$,即$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^{101}-1$.
请你仿照此法计算:
(1) $1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}$;
(2) $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{20}$.

解：
(1) 设$s=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}$，①
将等式两边同时乘2得：
$2s=2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}+2^{2025}$，②
将②式减去①式，得$2s-s=2^{2025}-1$，
所以$s=2^{2025}-1$，即$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}=2^{2025}-1$。
(2) 设$s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{20}$，①
将等式两边同时乘3得：
$3s=3+3^2+3^3+\dots+3^{20}+3^{21}$，②
将②式减去①式，得$3s-s=3^{21}-1$，
即$2s=3^{21}-1$，
所以$s=\frac{3^{21}-1}{2}$，即$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{20}=\frac{3^{21}-1}{2}$。