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7.如图，PM，PN分别与$\odot O$相切于A，B两点，C为$\odot O$上异于A，B的一点，连接AC，BC.若$∠ P=56°$，则$∠ ACB$的大小是.
第7题图 第8题图
第7题图 第8题图
答案
解：连接OA，OB。
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°，
∵∠P=56°，
∴∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°。
分两种情况：
1. 当点C在优弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 62°；
2. 当点C在劣弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$(360° - ∠AOB) = 118°。
∴∠ACB的大小是62°或118°。
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°，
∵∠P=56°，
∴∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°。
分两种情况：
1. 当点C在优弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 62°；
2. 当点C在劣弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$(360° - ∠AOB) = 118°。
∴∠ACB的大小是62°或118°。
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，可得到OA⊥PM、OB⊥PN，即两个直角；再利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，就能求出圆心角∠AOB的度数；由于点C是圆上异于A、B的点，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况讨论，最后根据圆周角定理（圆周角等于同弧所对圆心角的一半），分别计算两种情况下∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA，OB。
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°，
∵∠P=56°，
∴∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°。
分两种情况：
1. 当点C在优弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 62°；
2. 当点C在劣弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$(360° - ∠AOB) = 118°。
【答案】
62°或118°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，容易漏解。解题时要明确圆上一点与弦两端点构成的圆周角需分优弧、劣弧两种情况，同时要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，可得到OA⊥PM、OB⊥PN，即两个直角；再利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，就能求出圆心角∠AOB的度数；由于点C是圆上异于A、B的点，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况讨论，最后根据圆周角定理（圆周角等于同弧所对圆心角的一半），分别计算两种情况下∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA，OB。
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，即∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°，
∵∠P=56°，
∴∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°。
分两种情况：
1. 当点C在优弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 62°；
2. 当点C在劣弧AB上时，∠ACB = $\frac{1}{2}$(360° - ∠AOB) = 118°。
【答案】
62°或118°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，容易漏解。解题时要明确圆上一点与弦两端点构成的圆周角需分优弧、劣弧两种情况，同时要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.6
8.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,以点D为圆心,AD为半径作弧,弧恰好与BC相切,切点为E,若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}-\dfrac{5π}{4}}$
解析
【分析】
阴影部分面积可通过直角梯形ABCD的面积减去圆心角为90°的扇形面积求解，思路如下：1. 过B作BF⊥CD，先判定四边形ABFD为矩形，得到边的等量关系；2. 结合切线性质可知DE⊥BC且DE=AD，利用梯形面积的两种计算方式求出CD的长度；3. 在直角三角形BFC中用勾股定理求出半径AD的长度；4. 分别计算梯形和扇形面积，作差得到阴影面积。
【解析】
解：过点B作BF⊥CD于点F，
∵$AB// CD$，$AD⊥ AB$，
∴四边形ABFD是矩形，
∴$DF=AB=1$，$AD=BF$。
∵弧以D为圆心、AD为半径，且与BC相切于E，
根据切线性质可得：$DE⊥ BC$，$DE=AD$。
设$AD=r$，$CD=x$，
梯形ABCD的面积可表示为：$\frac{1}{2}(AB+CD)· AD=\frac{1}{2}(1+x)r$，
同时梯形面积也可拆分为两个三角形面积和：
$S_{梯形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· AD+\frac{1}{2}BC· DE=\frac{1}{2}r+\frac{3}{2}r=2r$，
联立得$\frac{1}{2}(1+x)r=2r$，$r≠0$，解得$x=3$，即$CD=3$。
∴$FC=CD-DF=3-1=2$，
在$Rt△ BFC$中，由勾股定理：$BF^2+FC^2=BC^2$，
代入得$r^2+2^2=3^2$，解得$r=\sqrt{5}$（长度为正）。
∵$∠ ADC=90°$，因此扇形为四分之一圆，
扇形面积：$\frac{90°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{4}π×5=\frac{5π}{4}$，
梯形面积：$2r=2\sqrt{5}$，
∴阴影面积=$S_{梯形ABCD}-S_{扇形}=2\sqrt{5}-\frac{5π}{4}$。
【答案】
$2\sqrt{5}-\dfrac{5π}{4}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，核心是用面积法求出CD的长度，再结合勾股定理得到圆的半径，最后用割补法计算阴影面积，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
阴影部分面积可通过直角梯形ABCD的面积减去圆心角为90°的扇形面积求解，思路如下：1. 过B作BF⊥CD，先判定四边形ABFD为矩形，得到边的等量关系；2. 结合切线性质可知DE⊥BC且DE=AD，利用梯形面积的两种计算方式求出CD的长度；3. 在直角三角形BFC中用勾股定理求出半径AD的长度；4. 分别计算梯形和扇形面积，作差得到阴影面积。
【解析】
解：过点B作BF⊥CD于点F，
∵$AB// CD$，$AD⊥ AB$，
∴四边形ABFD是矩形，
∴$DF=AB=1$，$AD=BF$。
∵弧以D为圆心、AD为半径，且与BC相切于E，
根据切线性质可得：$DE⊥ BC$，$DE=AD$。
设$AD=r$，$CD=x$，
梯形ABCD的面积可表示为：$\frac{1}{2}(AB+CD)· AD=\frac{1}{2}(1+x)r$，
同时梯形面积也可拆分为两个三角形面积和：
$S_{梯形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· AD+\frac{1}{2}BC· DE=\frac{1}{2}r+\frac{3}{2}r=2r$，
联立得$\frac{1}{2}(1+x)r=2r$，$r≠0$，解得$x=3$，即$CD=3$。
∴$FC=CD-DF=3-1=2$，
在$Rt△ BFC$中，由勾股定理：$BF^2+FC^2=BC^2$，
代入得$r^2+2^2=3^2$，解得$r=\sqrt{5}$（长度为正）。
∵$∠ ADC=90°$，因此扇形为四分之一圆，
扇形面积：$\frac{90°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{4}π×5=\frac{5π}{4}$，
梯形面积：$2r=2\sqrt{5}$，
∴阴影面积=$S_{梯形ABCD}-S_{扇形}=2\sqrt{5}-\frac{5π}{4}$。
【答案】
$2\sqrt{5}-\dfrac{5π}{4}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，核心是用面积法求出CD的长度，再结合勾股定理得到圆的半径，最后用割补法计算阴影面积，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
9.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，BC为$\odot O$的直径，OP交$\odot O$于点E，交AB于点F.求证：(1)$AC// OP$；(2)点E是$△ ABP$的内心.
答案
证明：
(1) ∵ PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，
∴ $PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，
∴ $OP⊥ AB$。
∵ $BC$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，即$AC⊥ AB$，
∴ $AC// OP$。
(2) 连接$AE$，
∵ $PA$切$\odot O$于点$A$，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
∴ $∠ PAE + ∠ OAE = 90°$。
∵ $OP⊥ AB$，
∴ $∠ AFE=90°$，
∴ $∠ EAB + ∠ AEF = 90°$。
又∵ $OA=OE$，
∴ $∠ OAE=∠ AEF$，
∴ $∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$。
同理可证$BE$平分$∠ PBA$。
∵ 点$E$在$∠ APB$的平分线$PE$上，同时在$∠ PAB$、$∠ PBA$的平分线上，
∴ 点$E$是$△ ABP$的内心。
(1) ∵ PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，
∴ $PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，
∴ $OP⊥ AB$。
∵ $BC$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，即$AC⊥ AB$，
∴ $AC// OP$。
(2) 连接$AE$，
∵ $PA$切$\odot O$于点$A$，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
∴ $∠ PAE + ∠ OAE = 90°$。
∵ $OP⊥ AB$，
∴ $∠ AFE=90°$，
∴ $∠ EAB + ∠ AEF = 90°$。
又∵ $OA=OE$，
∴ $∠ OAE=∠ AEF$，
∴ $∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$。
同理可证$BE$平分$∠ PBA$。
∵ 点$E$在$∠ APB$的平分线$PE$上，同时在$∠ PAB$、$∠ PBA$的平分线上，
∴ 点$E$是$△ ABP$的内心。
解析
【分析】
(1) 要证明$AC// OP$，可通过证明两条直线垂直于同一条直线得到平行关系：首先根据切线长定理，由PA、PB是$\odot O$的切线可得$PA=PB$，且$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质可推出$OP⊥ AB$；再根据直径所对的圆周角为直角，可得$AC⊥ AB$，即可证得$AC// OP$。
(2) 三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，已知$OP$平分$∠ APB$，只需证明点$E$同时在$∠ PAB$和$∠ PBA$的平分线上即可：连接$AE$，利用切线的性质得$OA⊥ PA$，结合$OA=OE$可得$∠ OAE=∠ AEF$，再通过同角的余角相等可推导得$∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$，同理可证$BE$平分$∠ PBA$，即可证得点$E$是$△ ABP$的内心。
【解析】
(1)
∵ PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，
∴ $PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，
∴ $OP⊥ AB$。
∵ $BC$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，即$AC⊥ AB$，
∴ $AC// OP$。
(2) 连接$AE$，
∵ $PA$切$\odot O$于点$A$，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
∴ $∠ PAE + ∠ OAE = 90°$。
∵ $OP⊥ AB$，
∴ $∠ AFE=90°$，
∴ $∠ EAB + ∠ AEF = 90°$。
又
∵ $OA=OE$，
∴ $∠ OAE=∠ AEF$，
∴ $∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$。
同理可证$BE$平分$∠ PBA$。
∵ 点$E$在$∠ APB$的平分线$PE$上，同时在$∠ PAB$、$∠ PBA$的平分线上，
∴ 点$E$是$△ ABP$的内心。
【答案】
(1) $AC// OP$成立；
(2) 点$E$是$△ ABP$的内心成立。
【知识点】
切线长定理；圆周角定理推论；三角形内心定义
【点评】
本题是圆的几何证明典型基础题，综合考查了切线性质、等腰三角形性质、圆周角相关结论和三角形内心的判定，解题的关键是将已知条件转化为角、线的位置关系，熟练运用基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC// OP$，可通过证明两条直线垂直于同一条直线得到平行关系：首先根据切线长定理，由PA、PB是$\odot O$的切线可得$PA=PB$，且$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质可推出$OP⊥ AB$；再根据直径所对的圆周角为直角，可得$AC⊥ AB$，即可证得$AC// OP$。
(2) 三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，已知$OP$平分$∠ APB$，只需证明点$E$同时在$∠ PAB$和$∠ PBA$的平分线上即可：连接$AE$，利用切线的性质得$OA⊥ PA$，结合$OA=OE$可得$∠ OAE=∠ AEF$，再通过同角的余角相等可推导得$∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$，同理可证$BE$平分$∠ PBA$，即可证得点$E$是$△ ABP$的内心。
【解析】
(1)
∵ PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，
∴ $PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，
∴ $OP⊥ AB$。
∵ $BC$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，即$AC⊥ AB$，
∴ $AC// OP$。
(2) 连接$AE$，
∵ $PA$切$\odot O$于点$A$，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
∴ $∠ PAE + ∠ OAE = 90°$。
∵ $OP⊥ AB$，
∴ $∠ AFE=90°$，
∴ $∠ EAB + ∠ AEF = 90°$。
又
∵ $OA=OE$，
∴ $∠ OAE=∠ AEF$，
∴ $∠ PAE=∠ EAB$，即$AE$平分$∠ PAB$。
同理可证$BE$平分$∠ PBA$。
∵ 点$E$在$∠ APB$的平分线$PE$上，同时在$∠ PAB$、$∠ PBA$的平分线上，
∴ 点$E$是$△ ABP$的内心。
【答案】
(1) $AC// OP$成立；
(2) 点$E$是$△ ABP$的内心成立。
【知识点】
切线长定理；圆周角定理推论；三角形内心定义
【点评】
本题是圆的几何证明典型基础题，综合考查了切线性质、等腰三角形性质、圆周角相关结论和三角形内心的判定，解题的关键是将已知条件转化为角、线的位置关系，熟练运用基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，求直角梯形ABCE的周长。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠D=90°，
∵ AB为半圆O的直径，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B，
∵ CE切半圆O于点F，
由切线长定理得：AE=EF，BC=CF。
设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则EF=x，CF=a，
DE=AD - AE = a - x，CE=EF + CF = x + a。
∵ △CDE的周长为12，
∴ DE + CD + CE = (a - x) + a + (x + a) = 3a = 12，
解得a=4，即正方形边长为4。
在Rt△CDE中，DE=4 - x，CD=4，CE=x + 4，由勾股定理得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开整理得：$16x=16$，解得$x=1$。
∴ AE=1，CE=x + a=5。
∴ 直角梯形ABCE的周长=AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + 5 + 1 = 14。
答：直角梯形ABCE的周长为14。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠D=90°，
∵ AB为半圆O的直径，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B，
∵ CE切半圆O于点F，
由切线长定理得：AE=EF，BC=CF。
设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则EF=x，CF=a，
DE=AD - AE = a - x，CE=EF + CF = x + a。
∵ △CDE的周长为12，
∴ DE + CD + CE = (a - x) + a + (x + a) = 3a = 12，
解得a=4，即正方形边长为4。
在Rt△CDE中，DE=4 - x，CD=4，CE=x + 4，由勾股定理得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开整理得：$16x=16$，解得$x=1$。
∴ AE=1，CE=x + a=5。
∴ 直角梯形ABCE的周长=AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + 5 + 1 = 14。
答：直角梯形ABCE的周长为14。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知正方形和半圆的多条切线，首先联想到切线长定理，可得到两组相等的线段：AE=EF，BC=CF。首先借助△CDE的周长求正方形边长：将△CDE的三边用正方形边长a和AE的长度x表示，会发现x在计算周长时抵消，可直接求出a的值；接着在Rt△CDE中利用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值；最后将直角梯形ABCE的各边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠D=90°，
∵ AB为半圆O的直径，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B，
又
∵ CE切半圆O于点F，
根据切线长定理可得：AE=EF，BC=CF。
设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则EF=x，CF=a，
∴ DE=AD - AE = a - x，CE=EF + CF = x + a。
已知△CDE的周长为12，
∴ DE + CD + CE = (a - x) + a + (x + a) = 3a = 12，
解得a=4，即正方形的边长为4。
在Rt△CDE中，DE=4 - x，CD=4，CE=x + 4，由勾股定理得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开整理得：$16 - 8x + x^2 + 16 = x^2 + 8x + 16$，化简得$16x=16$，解得$x=1$。
∴ AE=1，CE=x + a=1 + 4=5。
∴ 直角梯形ABCE的周长=AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + 5 + 1 = 14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是利用切线长定理完成线段的等量转换，通过周长关系先求出正方形边长，再结合勾股定理列方程求解未知线段长度，考察了学生的几何转换能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察图形特征，已知正方形和半圆的多条切线，首先联想到切线长定理，可得到两组相等的线段：AE=EF，BC=CF。首先借助△CDE的周长求正方形边长：将△CDE的三边用正方形边长a和AE的长度x表示，会发现x在计算周长时抵消，可直接求出a的值；接着在Rt△CDE中利用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值；最后将直角梯形ABCE的各边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠D=90°，
∵ AB为半圆O的直径，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B，
又
∵ CE切半圆O于点F，
根据切线长定理可得：AE=EF，BC=CF。
设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则EF=x，CF=a，
∴ DE=AD - AE = a - x，CE=EF + CF = x + a。
已知△CDE的周长为12，
∴ DE + CD + CE = (a - x) + a + (x + a) = 3a = 12，
解得a=4，即正方形的边长为4。
在Rt△CDE中，DE=4 - x，CD=4，CE=x + 4，由勾股定理得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开整理得：$16 - 8x + x^2 + 16 = x^2 + 8x + 16$，化简得$16x=16$，解得$x=1$。
∴ AE=1，CE=x + a=1 + 4=5。
∴ 直角梯形ABCE的周长=AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + 5 + 1 = 14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是利用切线长定理完成线段的等量转换，通过周长关系先求出正方形边长，再结合勾股定理列方程求解未知线段长度，考察了学生的几何转换能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
