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5. 根据下列条件设未知数并列出一元二次方程，再将其化成一般形式.
(1)三角形的一条边比这条边上的高大2，且三角形的面积是12 cm²，求三角形的这条边；
(2)如果一个直角三角形的两条直角边之和为14 cm，面积为24 cm²，求它的两条直角边；
(3)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数.
(1)三角形的一条边比这条边上的高大2，且三角形的面积是12 cm²，求三角形的这条边；
(2)如果一个直角三角形的两条直角边之和为14 cm，面积为24 cm²，求它的两条直角边；
(3)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数.
答案
解：
(1) 设三角形的这条边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则这条边上的高为$ (x-2) \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$
化为一般形式：
$x^2 - 2x - 24 = 0$
(2) 设其中一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (14-x) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$
化为一般形式：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
(3) 设这个三位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+3 $，百位数字为$ x+2 $，该三位数可表示为$ 100(x+2)+10x+(x+3) $。
根据题意列方程：
$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$
化为一般形式：
$9x^2 - 7x - 22 = 0$
(1) 设三角形的这条边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则这条边上的高为$ (x-2) \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$
化为一般形式：
$x^2 - 2x - 24 = 0$
(2) 设其中一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (14-x) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$
化为一般形式：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
(3) 设这个三位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+3 $，百位数字为$ x+2 $，该三位数可表示为$ 100(x+2)+10x+(x+3) $。
根据题意列方程：
$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$
化为一般形式：
$9x^2 - 7x - 22 = 0$
解析
【分析】
这道题属于一元二次方程的实际应用类题目，通用解题思路为：①合理选取未知数，尽量让其他相关量能用含未知数的表达式简单表示；②结合题干中的几何公式、数量关系找到等量关系；③根据等量关系列出方程，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项整理成一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
具体到各小问：(1)核心等量关系是三角形面积公式，设所求边长为未知数，即可表示出对应边上的高，代入公式列方程即可；(2)核心等量关系是直角三角形面积公式，设其中一条直角边为未知数，即可表示出另一条直角边，代入公式列方程即可；(3)核心等量关系是“三个数字平方和的9倍=三位数-20”，设十位数字为未知数最简便，可依次表示出个位、百位数字，再按数位规则表示出三位数，代入等量关系列方程即可。
【解析】
(1) 设三角形的这条边长为$x \, \mathrm{cm}$，则这条边上的高为$(x-2) \, \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$列方程：
$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$
化为一般形式：
两边同乘2得$x(x-2)=24$，去括号、移项得$x^2 - 2x - 24 = 0$。
(2) 设其中一条直角边长为$x \, \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$(14-x) \, \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$
化为一般形式：
两边同乘2得$x(14-x)=48$，去括号、移项得$x^2 - 14x + 48 = 0$。
(3) 设这个三位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，百位数字为$x+2$，该三位数可表示为$100(x+2)+10x+(x+3)$。
根据题意列方程：
$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$
化为一般形式：
分别展开、计算左右两边后移项、合并同类项得$9x^2 - 7x - 22 = 0$。
【答案】
(1) 所列方程为$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$，一般形式为$x^2 - 2x - 24 = 0$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$，一般形式为$x^2 - 14x + 48 = 0$；
(3) 所列方程为$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$，一般形式为$9x^2 - 7x - 22 = 0$。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的一般形式、列方程找等量关系
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，覆盖了几何面积、数位数字两类常见实际场景，重点考查合理设未知数、用代数式表示相关量、提取等量关系的能力，解题时注意三位数的表示方法和方程整理过程中计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
这道题属于一元二次方程的实际应用类题目，通用解题思路为：①合理选取未知数，尽量让其他相关量能用含未知数的表达式简单表示；②结合题干中的几何公式、数量关系找到等量关系；③根据等量关系列出方程，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项整理成一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
具体到各小问：(1)核心等量关系是三角形面积公式，设所求边长为未知数，即可表示出对应边上的高，代入公式列方程即可；(2)核心等量关系是直角三角形面积公式，设其中一条直角边为未知数，即可表示出另一条直角边，代入公式列方程即可；(3)核心等量关系是“三个数字平方和的9倍=三位数-20”，设十位数字为未知数最简便，可依次表示出个位、百位数字，再按数位规则表示出三位数，代入等量关系列方程即可。
【解析】
(1) 设三角形的这条边长为$x \, \mathrm{cm}$，则这条边上的高为$(x-2) \, \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$列方程：
$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$
化为一般形式：
两边同乘2得$x(x-2)=24$，去括号、移项得$x^2 - 2x - 24 = 0$。
(2) 设其中一条直角边长为$x \, \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$(14-x) \, \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$
化为一般形式：
两边同乘2得$x(14-x)=48$，去括号、移项得$x^2 - 14x + 48 = 0$。
(3) 设这个三位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，百位数字为$x+2$，该三位数可表示为$100(x+2)+10x+(x+3)$。
根据题意列方程：
$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$
化为一般形式：
分别展开、计算左右两边后移项、合并同类项得$9x^2 - 7x - 22 = 0$。
【答案】
(1) 所列方程为$\frac{1}{2}x(x-2) = 12$，一般形式为$x^2 - 2x - 24 = 0$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}x(14-x) = 24$，一般形式为$x^2 - 14x + 48 = 0$；
(3) 所列方程为$9[(x+2)^2 + x^2 + (x+3)^2] = 100(x+2)+10x+(x+3) - 20$，一般形式为$9x^2 - 7x - 22 = 0$。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的一般形式、列方程找等量关系
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，覆盖了几何面积、数位数字两类常见实际场景，重点考查合理设未知数、用代数式表示相关量、提取等量关系的能力，解题时注意三位数的表示方法和方程整理过程中计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
6.(1)经过凸$n$边形$(n＞3)$其中一个顶点的对角线有条；
(2)一个凸多边形共有20条对角线，它是边形；
(3)是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出此结论的道理。
(2)一个凸多边形共有20条对角线，它是边形；
(3)是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出此结论的道理。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{n-3}$
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据凸多边形对角线总数公式，得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数是正整数，所以$n=-5$不符合题意，舍去。
答：它是八边形。
(3) 不存在这样的凸多边形，理由如下：
假设存在有18条对角线的凸多边形，设它是$n$边形，根据题意得：
$\frac{n(n-3)}{2}=18$
整理得：$n^2 - 3n - 36 = 0$
这里$a=1$，$b=-3$，$c=-36$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-36) = 153$。
由于153不是完全平方数，该一元二次方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的凸多边形。
答：不存在有18条对角线的凸多边形，因为对应的一元二次方程没有正整数解。
(1) $\boldsymbol{n-3}$
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据凸多边形对角线总数公式，得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数是正整数，所以$n=-5$不符合题意，舍去。
答：它是八边形。
(3) 不存在这样的凸多边形，理由如下：
假设存在有18条对角线的凸多边形，设它是$n$边形，根据题意得：
$\frac{n(n-3)}{2}=18$
整理得：$n^2 - 3n - 36 = 0$
这里$a=1$，$b=-3$，$c=-36$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-36) = 153$。
由于153不是完全平方数，该一元二次方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的凸多边形。
答：不存在有18条对角线的凸多边形，因为对应的一元二次方程没有正整数解。
解析
【分析】
(1) 思考凸n边形过单个顶点连对角线的限制：该顶点不能与自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此总顶点数减去3即可得到对应对角线条数；(2) 先回忆凸多边形对角线总条数公式：总对角线条数=$\frac{n(n-3)}{2}$（n为边数），将对角线总数20代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合边数为正整数要求的负根即可得到答案；(3) 同样代入对角线公式列方程，通过判别式判断方程是否存在正整数解，若不存在则说明没有对应凸多边形。
【解析】
(1) 凸n边形中，单个顶点不能与自身、相邻两个顶点连对角线，因此过其中一个顶点的对角线有$n-3$条。
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据凸多边形对角线总数公式，得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数是正整数，所以$n=-5$不符合题意，舍去。
(3) 不存在这样的凸多边形，理由如下：
假设存在有18条对角线的凸多边形，设它是$n$边形，根据题意得：
$\frac{n(n-3)}{2}=18$
整理得：$n^2 - 3n - 36 = 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-36$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-36) = 153$。
由于153不是完全平方数，该一元二次方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的凸多边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n-3}$；(2) 八；(3) 不存在有18条对角线的凸多边形，因为对应的一元二次方程没有正整数解。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；一元二次方程求解
【点评】
本题既考察了多边形对角线相关基础规律的掌握，也要求学生能结合一元二次方程解决实际问题，解题时需要注意方程的解必须符合“多边形边数为正整数”的实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 思考凸n边形过单个顶点连对角线的限制：该顶点不能与自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此总顶点数减去3即可得到对应对角线条数；(2) 先回忆凸多边形对角线总条数公式：总对角线条数=$\frac{n(n-3)}{2}$（n为边数），将对角线总数20代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合边数为正整数要求的负根即可得到答案；(3) 同样代入对角线公式列方程，通过判别式判断方程是否存在正整数解，若不存在则说明没有对应凸多边形。
【解析】
(1) 凸n边形中，单个顶点不能与自身、相邻两个顶点连对角线，因此过其中一个顶点的对角线有$n-3$条。
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据凸多边形对角线总数公式，得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数是正整数，所以$n=-5$不符合题意，舍去。
(3) 不存在这样的凸多边形，理由如下：
假设存在有18条对角线的凸多边形，设它是$n$边形，根据题意得：
$\frac{n(n-3)}{2}=18$
整理得：$n^2 - 3n - 36 = 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-36$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-36) = 153$。
由于153不是完全平方数，该一元二次方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的凸多边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n-3}$；(2) 八；(3) 不存在有18条对角线的凸多边形，因为对应的一元二次方程没有正整数解。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；一元二次方程求解
【点评】
本题既考察了多边形对角线相关基础规律的掌握，也要求学生能结合一元二次方程解决实际问题，解题时需要注意方程的解必须符合“多边形边数为正整数”的实际要求。
【难度系数】
0.7
