1. (2026·西安期中)如图,在正方形ABCD中,E在边CD上,请用尺规作图,在线段BE上求作一点F,使$△ ABF ∽ △ BEC$.(保留作图痕迹,不写作法)

如图,点F即为所求.
解析:如图,过点A作$AF ⊥ BE$于点F,此时$∠AFB = ∠BCE = 90°$,
∵ $∠ABC = 90°$,
∴ $∠ABF + ∠CBE = ∠CBE + ∠BEC = 90°$,
∴ $∠ABF = ∠BEC$,
∴ $△ ABF ∽ △ BEC$,则点F即为所求.

2. (2026·青岛月考)已知:如图,∠ABC中,射线BC上一点D.求作:菱形PBQD,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.

如图,菱形PBQD即为所求.
解析:作出$∠ABC$的平分线,线段BD的垂直平分线EF,两线相交于点P,以点B为圆心,BP为半径作弧交EF于另一点Q,连接BQ,DQ,DP,则菱形PBQD即为所求.

3. (2026·郑州期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.
(1)尺规作图:过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:四边形AEFD是矩形;
(3)连接OE,若AD=8,EC=3,求OE的长度.

(1)所作图形如图所示.

(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AD// BC$ 且 $AD=BC$.$\because BE=CF$,$\therefore BC=EF$,$\therefore AD=EF$.$\because AD// EF$,$\therefore $ 四边形AEFD是平行四边形.$\because AE⊥ BC$,$\therefore ∠ AEF=90°$,$\therefore $ 四边形AEFD是矩形.
(3)
∵ 四边形ABCD是菱形,$AD=8$,$\therefore AD=AB=BC=8$.
$\because EC=3$,$\therefore BE=8-3=5$.在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$,在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{39+3^2}=4\sqrt{3}$.$\because $ 四边形ABCD是菱形,$\therefore OA=OC$,$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$.

4. 图①、图②、图③均是$5×5$的正方形网格,每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点,$△ ABC$的顶点均在格点上.在给定的网格中,只用无刻度的直尺,在图①、图②、图③中,按下列要求作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法.
(1)在图①中作$△ ABC$的中线$CD$;
(2)在图②中$BC$边上找一点$E$,连接$AE$,使$AE$平分$△ ABC$的面积;
(3)在图③中$△ ABC$的内部找一点$F$,使$S_{△ FBC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}.$

(1)如图①,CD即为所求.

(2)如图②或图③或图④,点E即为所求.

(3)如图⑤,点F即为所求.(答案不唯一)
解析:在BC上取点G,使$CG=1$,在A左侧的格点取H,使$AH=2$,连接CH,AG交于点F,连接BF即可(合理即可).
根据网格特征可知,$AH// CG$,$\therefore △ AHF ∽ △ GCF$,$\therefore \frac{AF}{GF}=\frac{AH}{CG}=\frac{2}{1}$,$\therefore FG=\frac{1}{3}AG$,$\therefore S_{△ FBC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,$\therefore $ 点F即为所求.

5. 如图是由小正方形组成的$6×6$网格,每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点,图中A,B,C,D都是格点,E是AB上一点,M是AB与网格线的交点,仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图,作图过程用虚线,结果用实线表示.
(1)在图①中,在线段AD上找一点F,使得$AF=AE$;
(2)在图①中,在线段CD上找一点G,使得$CG=AE$;
(3)在图②中,在线段CD上找一点H,使得四边形BEHC为矩形;
(4)在图③中,在BC边上找一点P,连接DP,MP,使得$∠ ADP=∠ DPM$.

(1)如图①,点F即为所求.
解析:连接ED,AC交于点K,连接BK并延长,交AD于点F,点F即为所求.$\because AB=BC=CD=DA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore $ 四边形ABCD是菱形.又$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$,$\therefore $ 四边形ABCD是正方形,根据对称性可得$AF=AE$.

(2)如图②,点G即为所求.
解析:根据网格特点找到AC的中点O,连接EO并延长,交CD于点G,则点G即为所求.根据中心对称的性质可得$CG=AE$.

(3)如图③,点H即为所求.
解析:连接ED,根据网格的特点分别找到AD,BC的中点S,Q,连接SQ交ED于点T,连接AT并延长,交CD于点H,连接EH,则矩形BEHC即为所求.根据作图可得SQ垂直平分AD,则$TA=TD$,$\therefore ∠ HAD=∠ EDA$,又 $AD=DA$,$∠ EAD=∠ HDA$,$\therefore △ AED ≌ △ DHA$,$\therefore AE=DH$.又 $AB=CD$,$\therefore AB-AE=CD-DH$,即 $EB=CH$.又$AB// DC$,$\therefore $ 四边形BEHC为平行四边形.$\because ∠ B=90°$,$\therefore $ 四边形BEHC是矩形.

(4)如图④,点P即为所求.
解析:延长BC交DN于点N,作等腰直角$△ RDJ$,DR交BC于点P,则P点即为所求.
$\because ∠ ADC = ∠ MDJ = 90°$,$\therefore ∠ ADM = ∠ CDJ$.又$\because ∠ DAM = ∠ DCN = 90°$,$DA = DC$,$\therefore △ ADM ≌ △ CDN (\mathrm{ASA})$,$\therefore DM = DN$.$\because △ RDJ$ 是等腰直角三角形,则$∠ RDN=45°$,即$∠ PDC+ ∠ CDN = 45°$.又$\because ∠ ADM = ∠ CDJ$,$\therefore ∠ PDC + ∠ ADM = 45°$,$\therefore ∠ MDP = 90° - ( ∠ PDC + ∠ ADM) = 45°$,$\therefore ∠ MDP = ∠ NDP$.在$△ DMP$ 和 $△ DNP$ 中,
$\begin{cases} MD=ND,\\ ∠ MDP=∠ NDP,\\ DP=DP, \end{cases}$$\therefore △ DMP≌ △ DNP (\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ DPM = ∠ DPN$.$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADP = ∠ DPN$,$\therefore ∠ ADP = ∠ DPM$.