21. 核心素养推理能力「★★☆」（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，分别交BC，AD于点E,F.
(1)当旋转角为90°时，求证：四边形ABEF是平行四边形.
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等.
(3)连接BF,DE，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

21.解析 (1)证明:当旋转角为 $90°$ 时,$∠AOF=90°$,
∵ $AB⊥AC$,
∴ $∠BAO=∠AOF=90°$,
∴ $AB// EF$,
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ $AD// BC$,即 $AF// BE$,
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
(2)
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ $AO=CO$,
∵ $AD// BC$,
∴ $∠FAO=∠ECO$,
在$△AOF$和$△COE$中,$\begin{cases} ∠FAO=∠ECO, \\ AO=CO, \\ ∠AOF=∠COE, \end{cases}$
∴ $△AOF≌△COE$,
∴ $AF=EC$.
∴ 在旋转过程中,线段 AF 与 EC 总保持相等.
(3)四边形 BEDF 可能是菱形.
由(2)知 $△AOF≌△COE$,
∴ $OE=OF$.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ $OB=OD$,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形,
∴ 当 $EF⊥BD$ 时,四边形 BEDF 为菱形.
在 $Rt△ABC$ 中,$AC=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$,
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=1=AB$,
又
∵ $AB⊥AC$,
∴ $∠AOB=45°$,
∴ $∠AOF=45°$,
∴ AC 绕点 O 顺时针旋转 $45°$ 时,四边形 BEDF 为菱形.

22.「★★★」(12分)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG,CG,如图1,易证EG=CG且EG⊥CG.
(1)如图2,将△BEF绕点B逆时针旋转90°,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.
(2)如图3,将△BEF绕点B逆时针旋转180°,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.

22.解析 (1)$EG=CG$,$EG⊥CG$.
(2)$EG=CG$,$EG⊥CG$.
证明:延长 FE 交 DC 的延长线于点 M,连接 MG,如图,

易得 $∠AEM=90°$,$∠EBC=90°$,$∠BCM=90°$,
∴ 四边形 BEMC 是矩形,
∴ $BE=CM$,$BC=EM$,$∠EMC=90°$.易知 $∠ABD=45°$,
∴ $∠EBF=45°$.又
∵ $∠BEF=90°$,
∴ $△BEF$ 为等腰直角三角形,
∴ $BE=EF$,$∠F=45°$,
∴ $EF=CM$.
∵ $∠EMC=90°$,$FG=DG$,
∴ $MG=\frac{1}{2}FD=FG$.
∵ $BC=EM$,
$BC=CD$,
∴ $EM=CD$.
∵ $EF=CM$,
∴ $FM=DM$.又
∵ $FG=DG$,
∴ $∠CMG=\frac{1}{2}∠EMC=45°$,
∴ $∠F=∠CMG$,
∴ $△GFE≌△GMC(\mathrm{SAS})$,
∴ $EG=CG$,$∠FGE=∠MGC$.
∵ $MF=MD$,
$FG=DG$,
∴ $MG⊥FD$,
∴ $∠FGE+∠EGM=90°$,
∴ $∠MGC+∠EGM=90°$,即 $∠EGC=90°$,
∴ $EG⊥CG$.