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1.等腰三角形的底角等于$50°$,则这个等腰三角形顶角的度数是 （
A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$100°$
C
）A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：题目给出等腰三角形的底角为50°，要求顶角的度数。首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等；其次回忆三角形基本定理：三角形三个内角的和为180°。解题思路为：先根据等腰三角形性质得到两个底角的度数，再用三角形内角和减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两个底角相等，且已知底角为50°
∴该等腰三角形的两个底角均为50°
又
∵三角形内角和为180°
∴顶角的度数 = 180° - 50°×2 = 180° - 100° = 80°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理，即可快速计算出结果，解题时注意区分已知条件是底角还是顶角，避免混淆计算逻辑。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确已知条件：题目给出等腰三角形的底角为50°，要求顶角的度数。首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等；其次回忆三角形基本定理：三角形三个内角的和为180°。解题思路为：先根据等腰三角形性质得到两个底角的度数，再用三角形内角和减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两个底角相等，且已知底角为50°
∴该等腰三角形的两个底角均为50°
又
∵三角形内角和为180°
∴顶角的度数 = 180° - 50°×2 = 180° - 100° = 80°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理，即可快速计算出结果，解题时注意区分已知条件是底角还是顶角，避免混淆计算逻辑。
【难度系数】
0.9
【易错变式】
已知等腰三角形的一个内角是$80°$，则它顶角的度数是 。
已知等腰三角形的一个内角是$80°$，则它顶角的度数是 。
答案
$80°$或$20°$
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，题干仅说明一个内角为80°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，同时每种情况都要满足三角形内角和为180°的要求，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若已知的80°内角为顶角，此时顶角的度数就是80°；
2. 若已知的80°内角为底角，根据等腰三角形两个底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均符合三角形内角和的要求，均成立。
【答案】
$80°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是树立分类讨论的意识，对于未明确类型的内角，要分顶角、底角两种情况讨论，同时注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，题干仅说明一个内角为80°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，同时每种情况都要满足三角形内角和为180°的要求，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若已知的80°内角为顶角，此时顶角的度数就是80°；
2. 若已知的80°内角为底角，根据等腰三角形两个底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均符合三角形内角和的要求，均成立。
【答案】
$80°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是树立分类讨论的意识，对于未明确类型的内角，要分顶角、底角两种情况讨论，同时注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
2.如图，AB//CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为(
A.75°
B.85°
C.65°
D.30°
A
)A.75°
B.85°
C.65°
D.30°
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等性质求出∠C的度数；第二步，由CD=CE判定△CDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠D和∠CED相等；第三步，结合三角形内角和为180°，代入已知角度计算即可得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠ABC=30°
∴∠C=∠ABC=30°（两直线平行，内错角相等）
又
∵CD=CE
∴∠D=∠CED（等腰三角形等边对等角）
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠D + ∠CED = 180°
代入∠C=30°，∠CED=∠D，得：
30° + 2∠D = 180°
解得∠D = 75°
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将平行线、等腰三角形的性质与三角形内角和定理结合考察，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等性质求出∠C的度数；第二步，由CD=CE判定△CDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠D和∠CED相等；第三步，结合三角形内角和为180°，代入已知角度计算即可得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠ABC=30°
∴∠C=∠ABC=30°（两直线平行，内错角相等）
又
∵CD=CE
∴∠D=∠CED（等腰三角形等边对等角）
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠D + ∠CED = 180°
代入∠C=30°，∠CED=∠D，得：
30° + 2∠D = 180°
解得∠D = 75°
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将平行线、等腰三角形的性质与三角形内角和定理结合考察，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AD=DC,∠ B=70°$,则$∠ C$的度数为（
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
A
）A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先观察图形中的等腰三角形，利用“等边对等角”的性质先推导△ABD中角的关系：已知AB=AD，可得到∠ADB与∠B相等，求出∠ADB的度数；再结合AD=DC可知△ADC也是等腰三角形，∠C与∠DAC相等，最后利用三角形外角的性质，建立∠ADB与∠C的数量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=70°（等腰三角形两底角相等，即等边对等角），
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC（等边对等角），
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∴∠C=70°÷2=35°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是灵活运用等边对等角找到相等的角，再结合外角的性质建立已知角和未知角的关系，识别出图中的两个等腰三角形即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的等腰三角形，利用“等边对等角”的性质先推导△ABD中角的关系：已知AB=AD，可得到∠ADB与∠B相等，求出∠ADB的度数；再结合AD=DC可知△ADC也是等腰三角形，∠C与∠DAC相等，最后利用三角形外角的性质，建立∠ADB与∠C的数量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=70°（等腰三角形两底角相等，即等边对等角），
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC（等边对等角），
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∴∠C=70°÷2=35°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是灵活运用等边对等角找到相等的角，再结合外角的性质建立已知角和未知角的关系，识别出图中的两个等腰三角形即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$D,E$是边$BC$上的点,且$AD=AE$,$∠ BAD=∠ CAE$.求证:$BD=CE$.
答案
4. 证明:$\because AD=AE,\therefore ∠ADE=∠AED.$
$\therefore ∠ADB=∠AEC.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\\ ∠ADB=∠AEC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BD=CE.$
$\therefore ∠ADB=∠AEC.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\\ ∠ADB=∠AEC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BD=CE.$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可以证明这两条线段所在的三角形全等。本题中BD、CE分别在△ABD和△ACE中，因此我们可以尝试证明△ABD≌△ACE。首先根据已知AD=AE，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADE=∠AED，进而推出它们的邻补角∠ADB=∠AEC，再结合题干给出的∠BAD=∠CAE、AD=AE的条件，就能用角边角判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:$\because AD=AE,\therefore ∠ADE=∠AED.$
$\therefore ∠ADB=∠AEC.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\\ ∠ADB=∠AEC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BD=CE.$
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等三角形判定的基础应用，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到全等需要的等角条件，再结合已知的边、角相等条件判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可以证明这两条线段所在的三角形全等。本题中BD、CE分别在△ABD和△ACE中，因此我们可以尝试证明△ABD≌△ACE。首先根据已知AD=AE，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADE=∠AED，进而推出它们的邻补角∠ADB=∠AEC，再结合题干给出的∠BAD=∠CAE、AD=AE的条件，就能用角边角判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:$\because AD=AE,\therefore ∠ADE=∠AED.$
$\therefore ∠ADB=∠AEC.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\\ ∠ADB=∠AEC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BD=CE.$
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等三角形判定的基础应用，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到全等需要的等角条件，再结合已知的边、角相等条件判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.8
5.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（
A.10
B.5
C.4
D.3
B
）A.10
B.5
C.4
D.3
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：图形为等腰三角形ABC，AD是顶角平分线，要求CD的长度。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。由此可推得AD同时是底边BC的中线，中线会平分底边，因此BD和CD长度相等，结合已知BD=5即可求出CD的长度。
【解析】
∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD是底边BC上的中线，
∴CD=BD，
又
∵BD=5，
∴CD=5。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，只需牢记三线合一的内容即可快速得出答案，解题关键是准确识别顶角平分线与底边中线的对应关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：图形为等腰三角形ABC，AD是顶角平分线，要求CD的长度。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。由此可推得AD同时是底边BC的中线，中线会平分底边，因此BD和CD长度相等，结合已知BD=5即可求出CD的长度。
【解析】
∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD是底边BC上的中线，
∴CD=BD，
又
∵BD=5，
∴CD=5。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，只需牢记三线合一的内容即可快速得出答案，解题关键是准确识别顶角平分线与底边中线的对应关系。
【难度系数】
0.9
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线.若$∠ CAD=25°$，则$∠ B$的度数是（
A.$25°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
C
）A.$25°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD既是顶角平分线，也是底边上的高。接下来可以先求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算底角∠B的度数；也可以先通过直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，再利用等边对等角得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得：AD平分∠BAC，∠B=∠C，
∴∠BAC=2∠CAD=2×25°=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题目，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”和“等边对等角”的性质，结合内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD既是顶角平分线，也是底边上的高。接下来可以先求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算底角∠B的度数；也可以先通过直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，再利用等边对等角得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得：AD平分∠BAC，∠B=∠C，
∴∠BAC=2∠CAD=2×25°=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题目，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”和“等边对等角”的性质，结合内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$,$CE$分别是$△ ABC$的中线和角平分线.$AD$,$CE$交于点$H$.若$∠ CAB=40°$,则$∠ CHD$的度数是（
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$25°$
A
）A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$25°$
答案
7.A
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠CAB的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质可算出底角∠ACB的度数；再根据CE是角平分线，可求出∠BCE的度数；接着根据AD是等腰三角形的中线，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直BC，即∠HDC为90°，最后在△HDC中利用三角形内角和即可求出∠CHD的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠CAB=40°，
∴ $∠ ACB=∠ B=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ $∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即$∠ HDC=90°$，
在△HDC中，$∠ CHD=180°-∠ HDC-∠ BCE=180°-90°-35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查等腰三角形相关性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合角平分线定义和三角形内角和即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠CAB的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质可算出底角∠ACB的度数；再根据CE是角平分线，可求出∠BCE的度数；接着根据AD是等腰三角形的中线，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直BC，即∠HDC为90°，最后在△HDC中利用三角形内角和即可求出∠CHD的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠CAB=40°，
∴ $∠ ACB=∠ B=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ $∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即$∠ HDC=90°$，
在△HDC中，$∠ CHD=180°-∠ HDC-∠ BCE=180°-90°-35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查等腰三角形相关性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合角平分线定义和三角形内角和即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是边$BC$上的中线,$BE\bot AC$于点$E$.求证:$∠ CBE=∠ BAD$. 
答案
8. 证明:$\because AB=AC$,$AD$是边$BC$上的中线,
$\therefore AD⊥ BC,∠BAD=∠CAD.$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠BEC=∠ADC=90°.$
$\therefore ∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.$
$\therefore ∠CBE=∠CAD.$
$\therefore ∠CBE=∠BAD.$
$\therefore AD⊥ BC,∠BAD=∠CAD.$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠BEC=∠ADC=90°.$
$\therefore ∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.$
$\therefore ∠CBE=∠CAD.$
$\therefore ∠CBE=∠BAD.$
解析
【分析】
首先结合已知条件，△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。要证明∠CBE=∠BAD，可通过中间量∠CAD转化：已知BE⊥AC，那么△BEC和△ADC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都等于90°减去∠C，因此二者相等，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠BAD=∠CAD$（等腰三角形三线合一）。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠BEC=∠ADC=90°$。
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠CBE=90°-∠C$，$∠CAD=90°-∠C$，
$\therefore ∠CBE=∠CAD$，
$\therefore ∠CBE=∠BAD$（等量代换）。
【答案】
证明:$\because AB=AC$,$AD$是边$BC$上的中线,
$\therefore AD⊥ BC,∠BAD=∠CAD.$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠BEC=∠ADC=90°.$
$\therefore ∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.$
$\therefore ∠CBE=∠CAD.$
$\therefore ∠CBE=∠BAD.$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是先利用等腰三角形三线合一得到垂直关系和等角，再结合直角三角形的锐角性质找到角的等量关系，通过中间角代换完成证明，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先结合已知条件，△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。要证明∠CBE=∠BAD，可通过中间量∠CAD转化：已知BE⊥AC，那么△BEC和△ADC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都等于90°减去∠C，因此二者相等，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠BAD=∠CAD$（等腰三角形三线合一）。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠BEC=∠ADC=90°$。
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠CBE=90°-∠C$，$∠CAD=90°-∠C$，
$\therefore ∠CBE=∠CAD$，
$\therefore ∠CBE=∠BAD$（等量代换）。
【答案】
证明:$\because AB=AC$,$AD$是边$BC$上的中线,
$\therefore AD⊥ BC,∠BAD=∠CAD.$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠BEC=∠ADC=90°.$
$\therefore ∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.$
$\therefore ∠CBE=∠CAD.$
$\therefore ∠CBE=∠BAD.$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是先利用等腰三角形三线合一得到垂直关系和等角，再结合直角三角形的锐角性质找到角的等量关系，通过中间角代换完成证明，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
