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1. (2024·济宁中考)已知点$A(-2,y_1)$，$B(-1,y_2)$，$C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 (
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
C
)A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
1. C 解析: $\because k＜0,\therefore$ 函数 $y=\frac{k}{x}(k＜0)$ 的图象分布在第二、四象限,在每一象限,y 随 x 的增大而增大.$\because -2＜-1＜0＜3$, $\therefore y_3＜0＜y_1＜y_2,\therefore y_3＜y_1＜y_2$,故选 C.
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，首先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。解题时先根据各点横坐标的正负判断点所在的象限，不同象限的点先通过y值的正负判断大小，再比较同象限内点的函数值大小即可。
【解析】
$\because k＜0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。
$\because$ 点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标$-2＜-1＜0$，
$\therefore$ A、B两点在第二象限，对应的$y_1$、$y_2$均为正数，结合增减性可得$y_1＜y_2$。
$\because$ 点$C(3,y_3)$的横坐标$3＞0$，
$\therefore$ C点在第四象限，对应的$y_3$为负数，是三个函数值中最小的。
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握k值符号对反比例函数图象位置、增减性的影响，注意不能直接用增减性比较不同象限内点的函数值，需先通过正负性区分不同象限点的函数值大小，再比较同象限内的函数值。
【难度系数】
0.7
要比较三个函数值的大小，首先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。解题时先根据各点横坐标的正负判断点所在的象限，不同象限的点先通过y值的正负判断大小，再比较同象限内点的函数值大小即可。
【解析】
$\because k＜0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。
$\because$ 点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标$-2＜-1＜0$，
$\therefore$ A、B两点在第二象限，对应的$y_1$、$y_2$均为正数，结合增减性可得$y_1＜y_2$。
$\because$ 点$C(3,y_3)$的横坐标$3＞0$，
$\therefore$ C点在第四象限，对应的$y_3$为负数，是三个函数值中最小的。
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握k值符号对反比例函数图象位置、增减性的影响，注意不能直接用增减性比较不同象限内点的函数值，需先通过正负性区分不同象限点的函数值大小，再比较同象限内的函数值。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (衢州中考)如图，点A,B在x轴上，分别以OA,AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF.反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象分别交边CD,BE于点P,Q.作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N.若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为
24
.答案
2. 24 解析:设 $OA=4a.\because OA=2AB,\therefore AB=2a,\therefore OB=AB+OA=6a,\therefore B(6a,0)$.在正方形 ABEF 中,$AB=BE=2a.\because Q$ 为 BE的中点, $\therefore BQ=\frac{1}{2}AB=a,\therefore Q(6a,a).\because$ 四边形 OACD是正方形, $\therefore C(4a,4a).\because P$ 在 CD 上, $\therefore$ 点 P 纵坐标为4a.$\because$ 点 P 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上, $\therefore$ 点 P 横坐标为 $\frac{k}{4a},\therefore P(\frac{k}{4a},4a).\because ∠ HMO=∠ HNO=∠ NOM=90°$, $\therefore$ 四边形 OMHN 是矩形, $\therefore NH=\frac{k}{4a}, MH=a$, $\therefore S_{\mathrm{矩形}OMHN}=NH× MH=\frac{k}{4a}× a=6,\therefore k=24$,故答案为 24.
解析
【分析】
这是反比例函数与正方形结合的综合题，解题思路如下：第一步，根据OA和AB的数量关系，设参数表示各线段长度，进而得到正方形顶点以及点Q的坐标；第二步，结合反比例函数图象上点的坐标特征，求出点P的横坐标表达式；第三步，判断阴影部分是矩形，找到它的长和宽对应的坐标数值，根据面积列等式，消去参数后即可求出k的值。
【解析】
设$OA=4a$，
$\because OA=2AB$，$\therefore AB=2a$，
$\therefore OB=OA+AB=4a+2a=6a$，即点B坐标为$(6a,0)$。
$\because$ 四边形ABEF是正方形，$\therefore BE=AB=2a$，
又$\because$ Q是BE的中点，$\therefore BQ=\frac{1}{2}BE=a$，则点Q的坐标为$(6a,a)$。
$\because$ 四边形OACD是正方形，$\therefore CD$边的纵坐标为$OA=4a$，即点P的纵坐标为4a。
$\because$ 点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，将$y=4a$代入解析式得：$x=\frac{k}{4a}$，即点P的坐标为$(\frac{k}{4a},4a)$。
由题意可知，$∠ HMO=∠ HNO=∠ NOM=90°$，因此四边形OMHN是矩形，
其中矩形的长$OM=\frac{k}{4a}$，宽$ON=a$，
已知阴影部分面积为6，即$S_{矩形OMHN}=OM× ON=\frac{k}{4a}× a=6$，
化简得$\frac{k}{4}=6$，解得$k=24$。
【答案】
24
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题考查反比例函数与正方形的综合应用，采用参数法表示各点坐标是解题的突破口，解题时无需单独求出参数的值，利用面积公式可直接消去参数得到k的值，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
这是反比例函数与正方形结合的综合题，解题思路如下：第一步，根据OA和AB的数量关系，设参数表示各线段长度，进而得到正方形顶点以及点Q的坐标；第二步，结合反比例函数图象上点的坐标特征，求出点P的横坐标表达式；第三步，判断阴影部分是矩形，找到它的长和宽对应的坐标数值，根据面积列等式，消去参数后即可求出k的值。
【解析】
设$OA=4a$，
$\because OA=2AB$，$\therefore AB=2a$，
$\therefore OB=OA+AB=4a+2a=6a$，即点B坐标为$(6a,0)$。
$\because$ 四边形ABEF是正方形，$\therefore BE=AB=2a$，
又$\because$ Q是BE的中点，$\therefore BQ=\frac{1}{2}BE=a$，则点Q的坐标为$(6a,a)$。
$\because$ 四边形OACD是正方形，$\therefore CD$边的纵坐标为$OA=4a$，即点P的纵坐标为4a。
$\because$ 点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，将$y=4a$代入解析式得：$x=\frac{k}{4a}$，即点P的坐标为$(\frac{k}{4a},4a)$。
由题意可知，$∠ HMO=∠ HNO=∠ NOM=90°$，因此四边形OMHN是矩形，
其中矩形的长$OM=\frac{k}{4a}$，宽$ON=a$，
已知阴影部分面积为6，即$S_{矩形OMHN}=OM× ON=\frac{k}{4a}× a=6$，
化简得$\frac{k}{4}=6$，解得$k=24$。
【答案】
24
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题考查反比例函数与正方形的综合应用，采用参数法表示各点坐标是解题的突破口，解题时无需单独求出参数的值，利用面积公式可直接消去参数得到k的值，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
3. (2025·池州校级月考)如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数$y=ax+b$的图象交于$A(1,3)$和$B(-1.5,n)$两点.
(1)求$k,n$的值.
(2)求出关于$x$的不等式$ax+b≤\frac{k}{x}$的解集.
(3)在$x$轴上找出一点$M$使$MA+MB$最小,并求出点$M$的坐标;在$x$轴上画出点$N$,使$NA-NB$最大,并求点$N$的坐标.
(1)求$k,n$的值.
(2)求出关于$x$的不等式$ax+b≤\frac{k}{x}$的解集.
(3)在$x$轴上找出一点$M$使$MA+MB$最小,并求出点$M$的坐标;在$x$轴上画出点$N$,使$NA-NB$最大,并求点$N$的坐标.
答案
3. (1)$\because$ 点 $A(1,3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,代入得 $3=\frac{k}{1},\therefore k=3,\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{3}{x}$.
又$\because$ 点 $B(-1.5,n)$ 也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,代入得 $n=\frac{3}{-1.5},\therefore n=-2$.
(2)由(1)得反比例函数与一次函数的图象交于 $A(1,3)$ 和$B(-1.5,-2)$,由图象可得 $ax+b≤ \frac{k}{x}$ 的解集为反比例函数在一次函数上方部分的 $x$ 的取值范围, $\therefore x≤ -1.5$ 或 $0＜x≤ 1$.
(3)连接 AB,交 x 轴于点 M,如图①:
$\because A,B$ 两点在 $x$ 轴的两侧, $\therefore$ 当 $A,B,M$ 三点共线时, $MA+MB$最小,此时点 M 为直线 AB 与 x 轴的交点.设直线 AB 的表达式为 $y=cx+d.\because A(1,3),B(-1.5,-2),\therefore \begin{cases} c+d=3,\\ -1.5c+d=-2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} c=2,\\ d=1, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 AB 的表达式为 $y=2x+1,\therefore$ 当 $y=0$ 时, $x=-\frac{1}{2},\therefore M(-\frac{1}{2},0)$.
过点 B 作关于 x 轴的对称点 $B_1$,连接 $AB_1$ 交 x 轴于点 N,连接 BN,如图②:
$\therefore$ 此时 $NB=NB_1$,则 $NA-NB=NA-NB_1$ 有最大值.
$\because B(-1.5,-2)$,且 $B,B_1$ 关于 x 轴对称, $\therefore B_1(-1.5,2)$.
设直线 $AB_1$ 的表达式为 $y=ex+f$,
$\because A(1,3),B_1(-1.5,2),\therefore \begin{cases} e+f=3,\\ -1.5e+f=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} e=\frac{2}{5},\\ f=\frac{13}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB_1$ 的表达式为 $y=\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}$,
$\therefore$ 当 $y=0$ 时, $x=-\frac{13}{2},\therefore N(-\frac{13}{2},0)$.
解析
【分析】
(1) 求解k和n的值时，先利用已知点A在反比例函数图象上，代入坐标即可求出k；得到反比例函数解析式后，再将点B的横坐标代入，就能算出n的值。
(2) 不等式$ax+b≤\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两个函数的两个交点坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集。
(3) 求MA+MB最小的点M：因为A、B两点在x轴两侧，根据两点之间线段最短，当A、M、B三点共线时，MA+MB的和最小，只需求出直线AB与x轴的交点即可。求NA-NB最大的点N：利用轴对称性质，作点B关于x轴的对称点$B_1$，可得$NB=NB_1$，则$NA-NB=NA-NB_1$，根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当A、$B_1$、N三点共线时，差值最大，求出直线$AB_1$与x轴的交点即为N点。
【解析】
(1) 将点$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将点$B(-1.5,n)$代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$n=\frac{3}{-1.5}=-2$。
(2) 由(1)可知两个函数的交点为$A(1,3)$和$B(-1.5,-2)$，观察图象可得：
当$x≤-1.5$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x≤1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，均满足$ax+b≤\frac{k}{x}$，因此不等式的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$。
(3) ①求点M：
由于A、B在x轴两侧，连接AB交x轴于点M，此时$MA+MB$最小，如图①：
设直线AB的解析式为$y=cx+d$，将$A(1,3)$、$B(-1.5,-2)$代入解析式得：
$\begin{cases} c+d=3 \\ -1.5c+d=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=2 \\ d=1 \end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即点M的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$。
②求点N：
作点B关于x轴的对称点$B_1$，连接$AB_1$交x轴于点N，连接BN，如图②：
由轴对称的性质可知$NB=NB_1$，因此$NA-NB=NA-NB_1$，当A、$B_1$、N三点共线时，$NA-NB_1$的差值最大。
已知$B(-1.5,-2)$，故对称点$B_1$的坐标为$(-1.5,2)$。
设直线$AB_1$的解析式为$y=ex+f$，将$A(1,3)$、$B_1(-1.5,2)$代入得：
$\begin{cases} e+f=3 \\ -1.5e+f=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} e=\frac{2}{5} \\ f=\frac{13}{5} \end{cases}$，故直线$AB_1$的解析式为$y=\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}$。
令$y=0$，得$\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}=0$，解得$x=-\frac{13}{2}$，即点N的坐标为$(-\frac{13}{2},0)$。
【答案】
(1) $k=3$，$n=-2$；
(2) 解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$；
(3) $M(-\frac{1}{2},0)$，$N(-\frac{13}{2},0)$，对应图如下：
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；函数图象解不等式；线段最值问题
【点评】
本题是函数与几何的综合题型，既考查了函数解析式的求解、利用图象判断不等式解集的数形结合能力，又考查了线段和差最值的几何模型应用，是函数部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 求解k和n的值时，先利用已知点A在反比例函数图象上，代入坐标即可求出k；得到反比例函数解析式后，再将点B的横坐标代入，就能算出n的值。
(2) 不等式$ax+b≤\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两个函数的两个交点坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集。
(3) 求MA+MB最小的点M：因为A、B两点在x轴两侧，根据两点之间线段最短，当A、M、B三点共线时，MA+MB的和最小，只需求出直线AB与x轴的交点即可。求NA-NB最大的点N：利用轴对称性质，作点B关于x轴的对称点$B_1$，可得$NB=NB_1$，则$NA-NB=NA-NB_1$，根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当A、$B_1$、N三点共线时，差值最大，求出直线$AB_1$与x轴的交点即为N点。
【解析】
(1) 将点$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将点$B(-1.5,n)$代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$n=\frac{3}{-1.5}=-2$。
(2) 由(1)可知两个函数的交点为$A(1,3)$和$B(-1.5,-2)$，观察图象可得：
当$x≤-1.5$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x≤1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，均满足$ax+b≤\frac{k}{x}$，因此不等式的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$。
(3) ①求点M：
由于A、B在x轴两侧，连接AB交x轴于点M，此时$MA+MB$最小，如图①：
设直线AB的解析式为$y=cx+d$，将$A(1,3)$、$B(-1.5,-2)$代入解析式得：
$\begin{cases} c+d=3 \\ -1.5c+d=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=2 \\ d=1 \end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即点M的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$。
②求点N：
作点B关于x轴的对称点$B_1$，连接$AB_1$交x轴于点N，连接BN，如图②：
由轴对称的性质可知$NB=NB_1$，因此$NA-NB=NA-NB_1$，当A、$B_1$、N三点共线时，$NA-NB_1$的差值最大。
已知$B(-1.5,-2)$，故对称点$B_1$的坐标为$(-1.5,2)$。
设直线$AB_1$的解析式为$y=ex+f$，将$A(1,3)$、$B_1(-1.5,2)$代入得：
$\begin{cases} e+f=3 \\ -1.5e+f=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} e=\frac{2}{5} \\ f=\frac{13}{5} \end{cases}$，故直线$AB_1$的解析式为$y=\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}$。
令$y=0$，得$\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}=0$，解得$x=-\frac{13}{2}$，即点N的坐标为$(-\frac{13}{2},0)$。
【答案】
(1) $k=3$，$n=-2$；
(2) 解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$；
(3) $M(-\frac{1}{2},0)$，$N(-\frac{13}{2},0)$，对应图如下：
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；函数图象解不等式；线段最值问题
【点评】
本题是函数与几何的综合题型，既考查了函数解析式的求解、利用图象判断不等式解集的数形结合能力，又考查了线段和差最值的几何模型应用，是函数部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
4. （2026·六安模拟）饮水机的工作原理是开机后自动开始加热（此过程中水温$y\ ℃$与开机时间$x$分钟满足一次函数关系）。当加热到$100\ ℃$时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温$y\ ℃$与开机时间$x$分钟成反比例关系），当水温降至$20\ ℃$时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示表示某时刻水温$20\ ℃$，饮水机开始加热至下一次加热前$y$与$x$的变化过程）。
(1) 求图中一次函数与反比例函数的表达式（写出自变量$x$的取值范围）。
(2) 在(1)的条件下，如果饮水机从水温$20\ ℃$开始加热到自动停止后，水温第一次降至$80\ ℃$，此时距离开始加热过去了多长时间？
(1) 求图中一次函数与反比例函数的表达式（写出自变量$x$的取值范围）。
(2) 在(1)的条件下，如果饮水机从水温$20\ ℃$开始加热到自动停止后，水温第一次降至$80\ ℃$，此时距离开始加热过去了多长时间？
答案
4. (1)当 $0≤ x≤ 8$ 时,设水温 $y\ ℃$ 与开机时间 $x$ 分钟的函数表达式为 $y=kx+b$,依据题意,得 $\begin{cases} b=20,\\ 8k+b=100, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10,\\ b=20, \end{cases}$ 故此函数表达式为 $y=10x+20(0≤ x≤ 8)$;
在水温下降的过程中,设水温 $y\ ℃$ 与开机时间 $x$ 分钟的函数表达式为 $y=\frac{m}{x}$,依据题意,得 $100=\frac{m}{8}$,即 $m=800$,当$y=20$ 时, $x=\frac{800}{20}=40$,故反比例函数的表达式为 $y=\frac{800}{x}(8＜ x≤ 40)$.
(2)由于水温是从 $100\ ℃$ 下降到 $80\ ℃,\therefore 80=\frac{800}{x}$,解得 $x=10$.答:从水温 $20\ ℃$ 开始加热到自动停止后,水温第一次降至$80\ ℃$,此时距离开始加热过去了 10 分钟.
在水温下降的过程中,设水温 $y\ ℃$ 与开机时间 $x$ 分钟的函数表达式为 $y=\frac{m}{x}$,依据题意,得 $100=\frac{m}{8}$,即 $m=800$,当$y=20$ 时, $x=\frac{800}{20}=40$,故反比例函数的表达式为 $y=\frac{800}{x}(8＜ x≤ 40)$.
(2)由于水温是从 $100\ ℃$ 下降到 $80\ ℃,\therefore 80=\frac{800}{x}$,解得 $x=10$.答:从水温 $20\ ℃$ 开始加热到自动停止后,水温第一次降至$80\ ℃$,此时距离开始加热过去了 10 分钟.
解析
【分析】
本题为分段函数实际应用问题，解题思路如下：(1)分加热、降温两个阶段分析：①加热阶段（$0≤ x≤8$）为一次函数，已知函数过$(0,20)$、$(8,100)$两个点，用待定系数法代入一次函数一般式即可求解，同时确定自变量取值范围；②降温阶段为反比例函数，已知函数过$(8,100)$，先代入反比例函数式求出参数，再计算$y=20$时对应的$x$值，确定反比例函数的自变量取值范围。(2)水温降至$80℃$属于降温阶段，将$y=80$代入反比例函数解析式求解$x$，即可得到所求时间。
【解析】
(1) ①加热阶段：当$0≤ x≤ 8$时，设水温$y\ ℃$与开机时间$x$分钟的一次函数表达式为$y=kx+b$，
根据题意，函数过点$(0,20)$和$(8,100)$，代入得：
$\begin{cases} b=20\\ 8k+b=100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10\\ b=20 \end{cases}$，
故一次函数表达式为$y=10x+20\ (0≤ x≤ 8)$。
②降温阶段：设水温下降过程中$y$与$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{m}{x}$，
将点$(8,100)$代入得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，
当水温降至$20℃$时饮水机重新加热，令$y=20$，则$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，
故反比例函数表达式为$y=\frac{800}{x}\ (8＜ x≤ 40)$。
(2) 水温从$100℃$降至$80℃$属于降温阶段，将$y=80$代入$y=\frac{800}{x}$得：
$80=\frac{800}{x}$
解得$x=10$。
【答案】
(1) 一次函数：$\boldsymbol{y=10x+20\ (0≤ x≤ 8)}$；反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{800}{x}\ (8＜ x≤ 40)}$
(2) $\boldsymbol{10}$分钟
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合饮水机加热的生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是准确判断不同阶段对应的函数类型，利用已知点坐标求解函数解析式，再根据所求问题代入对应解析式计算，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题为分段函数实际应用问题，解题思路如下：(1)分加热、降温两个阶段分析：①加热阶段（$0≤ x≤8$）为一次函数，已知函数过$(0,20)$、$(8,100)$两个点，用待定系数法代入一次函数一般式即可求解，同时确定自变量取值范围；②降温阶段为反比例函数，已知函数过$(8,100)$，先代入反比例函数式求出参数，再计算$y=20$时对应的$x$值，确定反比例函数的自变量取值范围。(2)水温降至$80℃$属于降温阶段，将$y=80$代入反比例函数解析式求解$x$，即可得到所求时间。
【解析】
(1) ①加热阶段：当$0≤ x≤ 8$时，设水温$y\ ℃$与开机时间$x$分钟的一次函数表达式为$y=kx+b$，
根据题意，函数过点$(0,20)$和$(8,100)$，代入得：
$\begin{cases} b=20\\ 8k+b=100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10\\ b=20 \end{cases}$，
故一次函数表达式为$y=10x+20\ (0≤ x≤ 8)$。
②降温阶段：设水温下降过程中$y$与$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{m}{x}$，
将点$(8,100)$代入得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，
当水温降至$20℃$时饮水机重新加热，令$y=20$，则$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，
故反比例函数表达式为$y=\frac{800}{x}\ (8＜ x≤ 40)$。
(2) 水温从$100℃$降至$80℃$属于降温阶段，将$y=80$代入$y=\frac{800}{x}$得：
$80=\frac{800}{x}$
解得$x=10$。
【答案】
(1) 一次函数：$\boldsymbol{y=10x+20\ (0≤ x≤ 8)}$；反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{800}{x}\ (8＜ x≤ 40)}$
(2) $\boldsymbol{10}$分钟
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合饮水机加热的生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是准确判断不同阶段对应的函数类型，利用已知点坐标求解函数解析式，再根据所求问题代入对应解析式计算，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
