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8. ★★ 如图,以点 O 为位似中心,把△ABC放大为原图形的 2 倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是 (
A.△ABC∽△A'B'C'
B.点 C、点 O、点 C'在同一直线上
C.AO:AA'=1:2
D.AB//A'B'
C
)A.△ABC∽△A'B'C'
B.点 C、点 O、点 C'在同一直线上
C.AO:AA'=1:2
D.AB//A'B'
答案
8. C 解析:
∵以点 O 为位似中心,把△ABC 放大为原图形的 2 倍得到△A'B'C',
∴ $△ ABC∽△ A'B'C'$,点 C、点 O、点 C'在同一直线上,$AB// A'B'$,$AO:OA' = 1:2$,故选项 C 错误,符合题意.故选 C.
∵以点 O 为位似中心,把△ABC 放大为原图形的 2 倍得到△A'B'C',
∴ $△ ABC∽△ A'B'C'$,点 C、点 O、点 C'在同一直线上,$AB// A'B'$,$AO:OA' = 1:2$,故选项 C 错误,符合题意.故选 C.
解析
【分析】
本题考查位似图形的性质应用，解题时先回忆位似图形的相关性质，再逐一验证每个选项是否符合性质即可。首先明确位似图形的核心性质：①位似图形必为相似图形；②位似图形的对应顶点连线都经过位似中心；③位似图形的对应边互相平行（或共线）；④位似比等于对应点到位似中心的距离之比。本题是将△ABC放大为原来的2倍，即原图形与新图形的位似比为1:2，结合以上性质逐一判断选项即可。
【解析】
∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'
∴根据位似图形的性质：
A选项：位似图形一定是相似图形，故△ABC∽△A'B'C'，该选项说法正确；
B选项：位似图形的对应顶点连线经过位似中心，故点C、点O、点C'在同一直线上，该选项说法正确；
C选项：位似比等于对应点到位似中心的距离比，故$AO:OA'=1:2$，而$AA'=AO+OA'$，因此$AO:AA'=1:(1+2)=1:3≠1:2$，该选项说法错误；
D选项：位似图形的对应边互相平行，故$AB// A'B'$，该选项说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似图形的判定；比例线段计算
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是准确掌握位似图形的性质，尤其要注意位似比是对应点到位似中心的距离之比，不要误将其当成对应点与位似中心连线的总长度之比，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形的性质应用，解题时先回忆位似图形的相关性质，再逐一验证每个选项是否符合性质即可。首先明确位似图形的核心性质：①位似图形必为相似图形；②位似图形的对应顶点连线都经过位似中心；③位似图形的对应边互相平行（或共线）；④位似比等于对应点到位似中心的距离之比。本题是将△ABC放大为原来的2倍，即原图形与新图形的位似比为1:2，结合以上性质逐一判断选项即可。
【解析】
∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'
∴根据位似图形的性质：
A选项：位似图形一定是相似图形，故△ABC∽△A'B'C'，该选项说法正确；
B选项：位似图形的对应顶点连线经过位似中心，故点C、点O、点C'在同一直线上，该选项说法正确；
C选项：位似比等于对应点到位似中心的距离比，故$AO:OA'=1:2$，而$AA'=AO+OA'$，因此$AO:AA'=1:(1+2)=1:3≠1:2$，该选项说法错误；
D选项：位似图形的对应边互相平行，故$AB// A'B'$，该选项说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似图形的判定；比例线段计算
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是准确掌握位似图形的性质，尤其要注意位似比是对应点到位似中心的距离之比，不要误将其当成对应点与位似中心连线的总长度之比，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
9. ★★★ 如图,在正方形网格中,以点 O 为位似中心,△ABC 的位似图形是
△GEH
(用图中字母表示),△ABC 与该三角形的相似比为$\frac{1}{2}$
.答案
9. $△ GEH$ $\frac{1}{2}$ 解析:以点 O 为位似中心,△ABC 的位似图形是$△ GEH$,△ABC 与△GEH 的相似比为$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确位似图形的判定规则：一是两个图形相似，二是对应顶点的连线都经过位似中心，三是对应边互相平行或共线。解题第一步：先观察网格中各三角形的边的方向，找到和△ABC对应边平行的三角形，△ABC有水平边BC、竖直边AC，观察到△GEH有水平边EH、竖直边GH，对应边方向一致互相平行；再验证三个对应顶点的连线是否都经过位似中心O，确认△GEH是△ABC的位似图形。第二步：求相似比，注意相似比是△ABC与它的位似图形的对应边之比，也等于对应点到位似中心的距离之比，数网格计算对应线段的比值即可，注意不要搞反前后顺序。
【解析】
解：根据位似图形的定义，位似图形的对应边平行，对应顶点连线经过位似中心。
1. 识别位似图形：观察可得△GEH的边EH//BC，GH//AC，GE//AB，且连接OB、OC、OA并延长，分别经过点E、H、G，所有对应顶点连线都经过位似中心O，因此△ABC的位似图形是△GEH。
2. 计算相似比：设每个小方格边长为1，OB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，OE的长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此△ABC与△GEH的相似比为$\frac{OB}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，也可通过对应边长度比计算，BC长为2，EH长为4，比值为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，结果一致。
【答案】
$△ GEH$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
位似图形的判定；位似比的计算
【点评】
本题是位似变换的基础题，重点考查对位似图形特征的掌握，解题时要注意相似比的顺序，是前一个图形和后一个图形的对应边的比，避免颠倒比值出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确位似图形的判定规则：一是两个图形相似，二是对应顶点的连线都经过位似中心，三是对应边互相平行或共线。解题第一步：先观察网格中各三角形的边的方向，找到和△ABC对应边平行的三角形，△ABC有水平边BC、竖直边AC，观察到△GEH有水平边EH、竖直边GH，对应边方向一致互相平行；再验证三个对应顶点的连线是否都经过位似中心O，确认△GEH是△ABC的位似图形。第二步：求相似比，注意相似比是△ABC与它的位似图形的对应边之比，也等于对应点到位似中心的距离之比，数网格计算对应线段的比值即可，注意不要搞反前后顺序。
【解析】
解：根据位似图形的定义，位似图形的对应边平行，对应顶点连线经过位似中心。
1. 识别位似图形：观察可得△GEH的边EH//BC，GH//AC，GE//AB，且连接OB、OC、OA并延长，分别经过点E、H、G，所有对应顶点连线都经过位似中心O，因此△ABC的位似图形是△GEH。
2. 计算相似比：设每个小方格边长为1，OB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，OE的长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此△ABC与△GEH的相似比为$\frac{OB}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，也可通过对应边长度比计算，BC长为2，EH长为4，比值为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，结果一致。
【答案】
$△ GEH$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
位似图形的判定；位似比的计算
【点评】
本题是位似变换的基础题，重点考查对位似图形特征的掌握，解题时要注意相似比的顺序，是前一个图形和后一个图形的对应边的比，避免颠倒比值出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图,正方形$ A_1B_1C_1D_1 $可看成是分别以A,B,C,D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形(正方形ABCD的边长放大到原来的3倍),由正方形ABCD到正方形$ A_1B_1C_1D_1 $,我们称之作了一次变换,再将正方形$ A_1B_1C_1D_1 $作一次变换就得到正方形$ A_2B_2C_2D_2 $,…,依次进行下去,作了2025次变换后得到正方形$ A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025} $,若正方形ABCD的面积是1,那么正方形$ A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025} $的面积是
$3^{4050}$
.答案
10. $3^{4050}$ 解析:因为正方形 ABCD 的面积为 1,所以 AB=BC=CD=DA=1,一次变换后正方形的边长为 3,二次变换后正方形的边长为 $9=3^2$,三次变换后正方形的边长为 $27=3^3$,$n$ 次变换后正方形的边长为 $3^n$,故作 2 025 次变换后的正方形的边长为 $3^{2025}$,此时正方形的面积为 $3^{2025} × 3^{2025} =3^{4050}$.故答案为 $3^{4050}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件切入，首先由初始正方形ABCD的面积为1，可求出它的边长为1。接下来分析每次变换的边长变化规律：题目明确每次变换后正方形边长放大到原来的3倍，我们可以先列举前几次变换后的边长，推导得出n次变换后的边长通式，最后结合正方形面积公式（面积=边长的平方），将n=2025代入计算即可得到最终面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为1，
∴正方形ABCD的边长$AB=BC=CD=DA=1$。
根据题意：
1次变换后正方形的边长为$3=3^1$，
2次变换后正方形的边长为$9=3^2$，
3次变换后正方形的边长为$27=3^3$，
……
由此可归纳得出：n次变换后正方形的边长为$3^n$。
当作2025次变换后，正方形的边长为$3^{2025}$，
此时正方形的面积为$(3^{2025})^2=3^{2025} × 3^{2025}=3^{4050}$。
【答案】
$3^{4050}$
【知识点】
位似的性质，正方形面积计算，规律探究
【点评】
本题将位似变换和规律探究结合考查，解题核心是先准确找到每次变换后正方形边长的变化规律，再结合正方形面积公式完成指数运算即可，解题时要注意区分边长的变化倍数和面积的变化倍数，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件切入，首先由初始正方形ABCD的面积为1，可求出它的边长为1。接下来分析每次变换的边长变化规律：题目明确每次变换后正方形边长放大到原来的3倍，我们可以先列举前几次变换后的边长，推导得出n次变换后的边长通式，最后结合正方形面积公式（面积=边长的平方），将n=2025代入计算即可得到最终面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为1，
∴正方形ABCD的边长$AB=BC=CD=DA=1$。
根据题意：
1次变换后正方形的边长为$3=3^1$，
2次变换后正方形的边长为$9=3^2$，
3次变换后正方形的边长为$27=3^3$，
……
由此可归纳得出：n次变换后正方形的边长为$3^n$。
当作2025次变换后，正方形的边长为$3^{2025}$，
此时正方形的面积为$(3^{2025})^2=3^{2025} × 3^{2025}=3^{4050}$。
【答案】
$3^{4050}$
【知识点】
位似的性质，正方形面积计算，规律探究
【点评】
本题将位似变换和规律探究结合考查，解题核心是先准确找到每次变换后正方形边长的变化规律，再结合正方形面积公式完成指数运算即可，解题时要注意区分边长的变化倍数和面积的变化倍数，避免出错。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形),请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A'B'C',请在图①中画出△A'B'C'.
(2)请你在图②③④中各画出一个与△ABC相似的格点三角形(题中所有三角形都不全等).
(1)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A'B'C',请在图①中画出△A'B'C'.
(2)请你在图②③④中各画出一个与△ABC相似的格点三角形(题中所有三角形都不全等).
答案
11. (1)如图①,△A'B'C'即为所求.
(2)画法合理即可,如图②③④,△DEF 即为所求.
解析
【分析】
(1) 位似作图需抓住位似中心和位似比两个核心要素：本题位似中心为O，要求放大为原来的2倍即位似比为2。根据位似的性质，位似图形对应点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比，因此只需先作出A、B、C三点关于O的位似对应点，再顺次连接即可得到所求图形。
(2) 构造相似格点三角形时，首先计算原三角形的三边长得到三边比例，再根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，选取不等于1的相似比，在网格中找到符合三边比例的格点，连接成三角形即可，注意保证所作三角形与原三角形不全等。
【解析】
(1) ①分别连接OA、OB、OC并延长；
②在OA的延长线上取点A'，使OA'=2OA，同理在OB、OC的延长线上分别取点B'、C'，满足OB'=2OB，OC'=2OC；
③顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 先计算△ABC的三边长：AB=3，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(1²+3²)=√10，因此△ABC的三边之比为√2:3:√10。
所作三角形只要满足三边之比也为√2:3:√10，且边长与△ABC不相等即可：如图②③④中的△DEF，三边比例均与△ABC一致，且不全等，符合要求（画法不唯一，合理即可）。
【答案】
11. (1)如图①,△A'B'C'即为所求.
(2)画法合理即可,如图②③④,△DEF 即为所求.
【知识点】
位似变换作图，相似三角形的判定，格点作图
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查对位似、相似概念的理解和动手作图能力，需要学生熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定方法，结合网格特征完成作图。
【难度系数】
0.7
(1) 位似作图需抓住位似中心和位似比两个核心要素：本题位似中心为O，要求放大为原来的2倍即位似比为2。根据位似的性质，位似图形对应点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比，因此只需先作出A、B、C三点关于O的位似对应点，再顺次连接即可得到所求图形。
(2) 构造相似格点三角形时，首先计算原三角形的三边长得到三边比例，再根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，选取不等于1的相似比，在网格中找到符合三边比例的格点，连接成三角形即可，注意保证所作三角形与原三角形不全等。
【解析】
(1) ①分别连接OA、OB、OC并延长；
②在OA的延长线上取点A'，使OA'=2OA，同理在OB、OC的延长线上分别取点B'、C'，满足OB'=2OB，OC'=2OC；
③顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 先计算△ABC的三边长：AB=3，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(1²+3²)=√10，因此△ABC的三边之比为√2:3:√10。
所作三角形只要满足三边之比也为√2:3:√10，且边长与△ABC不相等即可：如图②③④中的△DEF，三边比例均与△ABC一致，且不全等，符合要求（画法不唯一，合理即可）。
【答案】
11. (1)如图①,△A'B'C'即为所求.
(2)画法合理即可,如图②③④,△DEF 即为所求.
【知识点】
位似变换作图，相似三角形的判定，格点作图
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查对位似、相似概念的理解和动手作图能力，需要学生熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定方法，结合网格特征完成作图。
【难度系数】
0.7
12. 如图①,给定锐角三角形ABC,小明希望画正方形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上,他发现直接画图比较困难,于是他先画了一个正方形HIJK,使得点H,I位于射线BC上,K位于射线BA上,而不需要要求J必须位于AC上.这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.阅读以上材料,回答小明接下来研究的以下问题:
(1)如图②,给定锐角三角形ABC,画出所有长、宽比为2:1的长方形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.
(2)已知△ABC的面积为36,BC=12,在第(1)问的条件下,求长方形DEFG的面积.
(1)如图②,给定锐角三角形ABC,画出所有长、宽比为2:1的长方形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.
(2)已知△ABC的面积为36,BC=12,在第(1)问的条件下,求长方形DEFG的面积.
答案
12. (1)如图①②,长方形 DEFG 即为所求作的图形.
(2)在长方形 DEFG 中,如果 DE=2DG,如图③,作△ABC 的高 AM,交 GF 于点 N.
∵ 三角形 ABC 的面积=$\frac{1}{2} BC · AM=\frac{1}{2} ×12AM=36$,
∴ AM = 6.设 AN = x,则 MN = 6 - x,DG=MN=6-x,DE=GF=2(6-x)=12-2x.
∵ $GF// BC$,
∴ $△ AGF∽△ ABC$,
∴ $\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}$,
∴ $\frac{12-2x}{12}=\frac{x}{6}$,解得 x = 3,
∴ DG=6-x=3,DE=2DG=6,
∴ 长方形 DEFG 的面积=6×3=18;在长方形 DEFG 中,如果 DG=2DE,如图②,同理求出 $x=\frac{6}{5}$,
∴ DG=6-x=$\frac{24}{5}$,DE=$\frac{1}{2} DG=\frac{12}{5}$,
∴ 长方形 DEFG 的面积=$\frac{24}{5} ×\frac{12}{5} =\frac{288}{25}$.故长方形 DEFG 的面积为 18 或 $\frac{288}{25}$.
解析
【分析】
（1）作图可利用位似变换思路：先作长宽比为2:1的小长方形，使一边在BC上、一个顶点在AB上，再以B为位似中心将小长方形放大，使剩余顶点落在AC上即可，需分“DE=2DG”“DG=2DE”两种长宽比情况作图。
（2）求面积时，先通过△ABC的面积和底BC的长求出BC边上的高，再由GF//BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，分两种情况求解长方形的长和宽，即可计算面积。
【解析】
(1) 作图步骤：① 分别作长宽比为2:1的两类小长方形HIJK：第一类HI=2HK，第二类HK=2HI，均满足H、I在射线BC上，K在射线BA上；② 作射线BJ，交AC于点F；③ 过F作FE⊥BC于E，作FG//BC交AB于G，过G作GD⊥BC于D，得到的长方形DEFG即为所求，共2个符合要求的长方形。
(2) 作△ABC的高AM，交GF于点N，AM⊥BC：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AM = 36$，BC=12，得$\frac{1}{2}×12×AM=36$，解得AM=6。
∵ GF//BC，GD⊥BC，FE⊥BC，
∴ 四边形DENM是矩形，MN=DG，且△AGF∽△ABC，满足$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}$。
分两种情况讨论：
① 当DE=2DG时：
设AN=x，则DG=MN=6-x，GF=DE=2(6-x)=12-2x，代入相似比得$\frac{12-2x}{12}=\frac{x}{6}$，解得x=3。
∴ DG=6-3=3，DE=2×3=6，面积$S=6×3=18$。
② 当DG=2DE时：
设AN=x，则DG=MN=6-x，GF=DE=$\frac{6-x}{2}$，代入相似比得$\frac{\frac{6-x}{2}}{12}=\frac{x}{6}$，解得$x=\frac{6}{5}$。
∴ DG=$6-\frac{6}{5}=\frac{24}{5}$，DE=$\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$，面积$S=\frac{12}{5}×\frac{24}{5}=\frac{288}{25}$。
【答案】
(1) 如图①②,长方形 DEFG 即为所求作的图形.
(2) 长方形 DEFG 的面积为18或$\frac{288}{25}$。
【知识点】
位似变换作图，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合位似作图和相似三角形性质考查，解题时需注意分类讨论两种不同的长宽比情况，结合方程思想求解，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
（1）作图可利用位似变换思路：先作长宽比为2:1的小长方形，使一边在BC上、一个顶点在AB上，再以B为位似中心将小长方形放大，使剩余顶点落在AC上即可，需分“DE=2DG”“DG=2DE”两种长宽比情况作图。
（2）求面积时，先通过△ABC的面积和底BC的长求出BC边上的高，再由GF//BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，分两种情况求解长方形的长和宽，即可计算面积。
【解析】
(1) 作图步骤：① 分别作长宽比为2:1的两类小长方形HIJK：第一类HI=2HK，第二类HK=2HI，均满足H、I在射线BC上，K在射线BA上；② 作射线BJ，交AC于点F；③ 过F作FE⊥BC于E，作FG//BC交AB于G，过G作GD⊥BC于D，得到的长方形DEFG即为所求，共2个符合要求的长方形。
(2) 作△ABC的高AM，交GF于点N，AM⊥BC：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AM = 36$，BC=12，得$\frac{1}{2}×12×AM=36$，解得AM=6。
∵ GF//BC，GD⊥BC，FE⊥BC，
∴ 四边形DENM是矩形，MN=DG，且△AGF∽△ABC，满足$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}$。
分两种情况讨论：
① 当DE=2DG时：
设AN=x，则DG=MN=6-x，GF=DE=2(6-x)=12-2x，代入相似比得$\frac{12-2x}{12}=\frac{x}{6}$，解得x=3。
∴ DG=6-3=3，DE=2×3=6，面积$S=6×3=18$。
② 当DG=2DE时：
设AN=x，则DG=MN=6-x，GF=DE=$\frac{6-x}{2}$，代入相似比得$\frac{\frac{6-x}{2}}{12}=\frac{x}{6}$，解得$x=\frac{6}{5}$。
∴ DG=$6-\frac{6}{5}=\frac{24}{5}$，DE=$\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$，面积$S=\frac{12}{5}×\frac{24}{5}=\frac{288}{25}$。
【答案】
(1) 如图①②,长方形 DEFG 即为所求作的图形.
(2) 长方形 DEFG 的面积为18或$\frac{288}{25}$。
【知识点】
位似变换作图，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合位似作图和相似三角形性质考查，解题时需注意分类讨论两种不同的长宽比情况，结合方程思想求解，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
