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10.（变式题组）
(1)若$|a|=a,|-b|=b$,则$a$与$b$的乘积不可能是 （
A. $-5$
B. $\frac{1}{6}$
C. $0$
D. $2$
(2)若$a+b＜0,ab＞0$,则这两个数（
A. 都是正数
B. 都是负数
C. 一正一负
D. 符号不能确定
(3)如果$ab＜0$,且$a＞b$,那么一定有（
A. $a＞0,b＞0$
B. $a＞0,b＜0$
C. $a＜0,b＞0$
D. $a＜0,b＜0$
(1)若$|a|=a,|-b|=b$,则$a$与$b$的乘积不可能是 （
A
）A. $-5$
B. $\frac{1}{6}$
C. $0$
D. $2$
(2)若$a+b＜0,ab＞0$,则这两个数（
B
）A. 都是正数
B. 都是负数
C. 一正一负
D. 符号不能确定
(3)如果$ab＜0$,且$a＞b$,那么一定有（
B
）A. $a＞0,b＞0$
B. $a＞0,b＜0$
C. $a＜0,b＞0$
D. $a＜0,b＜0$
答案
10.(1)A (2)B (3)B
解析
【分析】
这组题围绕有理数的符号判断展开，核心是结合绝对值性质、有理数乘法和加法的符号规律逐步推导：
(1) 先根据绝对值性质判断a、b的取值范围：若|x|=x，则x是非负数（x≥0），可得a≥0、b≥0，两非负数乘积也为非负数，因此乘积不可能是负数，对应选项即可解题。
(2) 先由有理数乘法“同号得正、异号得负”的规律，由ab＞0得a、b同号；再结合有理数加法法则，同号两数相加和的符号与加数一致，由a+b＜0可得两数均为负数。
(3) 先由ab＜0得a、b异号；再结合正数大于一切负数的规律，由a＞b可得较大的a为正数，较小的b为负数。
【解析】
(1) 解：
∵ |a|=a，
∴ a≥0；
∵ |-b|=b，
∴ b≥0。
根据有理数乘法法则，非负数相乘的结果是非负数，即ab≥0，选项中只有-5是负数，不可能是ab的乘积，故选A。
(2) 解：
∵ ab＞0，根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可知a、b符号相同。
又
∵ a+b＜0，同号两数相加，取与加数相同的符号，因此a、b都是负数，故选B。
(3) 解：
∵ ab＜0，根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可知a、b符号相反。
又
∵ a＞b，且正数大于所有负数，因此a＞0，b＜0，故选B。
【答案】
(1)A (2)B (3)B
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本组题是有理数符号判断的基础变式题，解题关键是熟练掌握绝对值性质、有理数运算的符号规律，逐步推导即可快速解题，是后续复杂有理数运算的基础。
【难度系数】
0.8
这组题围绕有理数的符号判断展开，核心是结合绝对值性质、有理数乘法和加法的符号规律逐步推导：
(1) 先根据绝对值性质判断a、b的取值范围：若|x|=x，则x是非负数（x≥0），可得a≥0、b≥0，两非负数乘积也为非负数，因此乘积不可能是负数，对应选项即可解题。
(2) 先由有理数乘法“同号得正、异号得负”的规律，由ab＞0得a、b同号；再结合有理数加法法则，同号两数相加和的符号与加数一致，由a+b＜0可得两数均为负数。
(3) 先由ab＜0得a、b异号；再结合正数大于一切负数的规律，由a＞b可得较大的a为正数，较小的b为负数。
【解析】
(1) 解：
∵ |a|=a，
∴ a≥0；
∵ |-b|=b，
∴ b≥0。
根据有理数乘法法则，非负数相乘的结果是非负数，即ab≥0，选项中只有-5是负数，不可能是ab的乘积，故选A。
(2) 解：
∵ ab＞0，根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可知a、b符号相同。
又
∵ a+b＜0，同号两数相加，取与加数相同的符号，因此a、b都是负数，故选B。
(3) 解：
∵ ab＜0，根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可知a、b符号相反。
又
∵ a＞b，且正数大于所有负数，因此a＞0，b＜0，故选B。
【答案】
(1)A (2)B (3)B
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本组题是有理数符号判断的基础变式题，解题关键是熟练掌握绝对值性质、有理数运算的符号规律，逐步推导即可快速解题，是后续复杂有理数运算的基础。
【难度系数】
0.8
11.已知有理数$a≠1$，我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。如果$a_1=-2$，$a_2$是$a_1$的差倒数，$a_3$是$a_2$的差倒数，$a_4$是$a_3$的差倒数……以此类推，那么$a_{2024}$的值是（
A.$-2$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
B
）A.$-2$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
11.B
解析
【分析】
本题是新定义结合规律探究的题型，解题思路清晰：首先要准确理解“差倒数”的定义，按照定义依次计算出前几项的数值；接着观察计算结果，找到数列的循环周期；最后用所求项的序号除以周期，根据余数判断该项对应周期内的第几个数，即可得到结果。
【解析】
解：已知$a_1=-2$，根据差倒数的定义依次计算：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$
观察可得，数列每3个数为一个循环周期，周期内的数依次为：$-2,\frac{1}{3},\frac{3}{2}$
计算2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2
说明$a_{2024}$对应周期内的第2个数，即$a_{2024}=a_2=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题将新定义运算和规律探究相结合，核心是先通过计算前几项找到数字的循环规律，再利用周期性质求解，计算时要注意符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题是新定义结合规律探究的题型，解题思路清晰：首先要准确理解“差倒数”的定义，按照定义依次计算出前几项的数值；接着观察计算结果，找到数列的循环周期；最后用所求项的序号除以周期，根据余数判断该项对应周期内的第几个数，即可得到结果。
【解析】
解：已知$a_1=-2$，根据差倒数的定义依次计算：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$
观察可得，数列每3个数为一个循环周期，周期内的数依次为：$-2,\frac{1}{3},\frac{3}{2}$
计算2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2
说明$a_{2024}$对应周期内的第2个数，即$a_{2024}=a_2=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题将新定义运算和规律探究相结合，核心是先通过计算前几项找到数字的循环规律，再利用周期性质求解，计算时要注意符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
12.若某商店平均每天可盈利120元，则一个月(按30天计算)的利润是
3 600
元；若某商店平均每天亏损20元，则一周(7天)的利润是-140
元.(盈利为正，亏损为负)答案
12.3 600 -140
解析
【分析】
首先明确题目规定“盈利为正，亏损为负”，总利润的计算逻辑为：总利润=单日利润×对应天数。求解第一个空时，单日盈利120元对应单日利润为+120元，直接用单日盈利金额乘30天即可得到一个月的利润；求解第二个空时，单日亏损20元对应单日利润为-20元，将单日利润乘7天，按照有理数乘法法则计算即可得到一周的利润。
【解析】
根据题意，盈利记为正，亏损记为负，总利润=单日利润×天数：
1. 计算30天的总利润：
每天盈利120元，即单日利润为+120元，
总利润 = $120 × 30 = 3600$（元）
2. 计算7天的总利润：
每天亏损20元，即单日利润为-20元，
总利润 = $(-20) × 7 = -140$（元）
【答案】
3600；-140
【知识点】
正负数的实际意义；有理数的乘法
【点评】
本题结合生活中的盈亏场景考查有理数的相关计算，解题的核心是正确根据题意确定单日利润的正负号，再结合乘法运算规则计算即可，解题时注意不要写错符号。
【难度系数】
0.9
首先明确题目规定“盈利为正，亏损为负”，总利润的计算逻辑为：总利润=单日利润×对应天数。求解第一个空时，单日盈利120元对应单日利润为+120元，直接用单日盈利金额乘30天即可得到一个月的利润；求解第二个空时，单日亏损20元对应单日利润为-20元，将单日利润乘7天，按照有理数乘法法则计算即可得到一周的利润。
【解析】
根据题意，盈利记为正，亏损记为负，总利润=单日利润×天数：
1. 计算30天的总利润：
每天盈利120元，即单日利润为+120元，
总利润 = $120 × 30 = 3600$（元）
2. 计算7天的总利润：
每天亏损20元，即单日利润为-20元，
总利润 = $(-20) × 7 = -140$（元）
【答案】
3600；-140
【知识点】
正负数的实际意义；有理数的乘法
【点评】
本题结合生活中的盈亏场景考查有理数的相关计算，解题的核心是正确根据题意确定单日利润的正负号，再结合乘法运算规则计算即可，解题时注意不要写错符号。
【难度系数】
0.9
13.在1，-2，3，-4，-5中任取两个数相乘，最大的积是m，最小的积是n.
(1)求mn的值；
(2)若|x−m|+|y+n|=0，求y(−x−y)的值.
(1)求mn的值；
(2)若|x−m|+|y+n|=0，求y(−x−y)的值.
答案
13. 解：(1)根据题意，得$m=(-4)×(-5)=20$,$n=3×(-5)=-15$,所以$mn=20×(-15)=-300$;(2)根据题意，得$|x-20|+|y-15|=0$.因为$|x-20|≥0,|y-15|≥0$,所以$x-20=0,y-15=0$,解得$x=20,y=15$,所以$y(-x-y)=15×(-20-15)=15×(-35)=-525$
解析
【分析】
解决本题可分两步思考：(1) 先根据有理数乘法的符号规律找最大积和最小积：同号相乘得正，异号相乘得负，正数大于所有负数，因此最大的积一定是同号两数相乘的结果中最大的，最小的积一定是异号两数相乘的结果中最小的，分别计算比较得到m、n后，再计算mn的值；(2) 利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此求出x、y的取值，再代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据有理数乘法法则计算所有同号两数的乘积：$1×3=3$，$(-4)×(-5)=20$，比较得最大的积$m=20$；计算所有异号两数的乘积，找最小的结果：$3×(-5)=-15$是最小的积，即$n=-15$，因此$mn=20×(-15)=-300$。
(2) 将m=20，n=-15代入$|x−m|+|y+n|=0$，得$|x-20|+|y-15|=0$。因为绝对值具有非负性，即$|x-20|≥0$，$|y-15|≥0$，所以只有当$x-20=0$且$y-15=0$时等式成立，解得$x=20$，$y=15$。将x、y代入$y(-x-y)$得：$15×(-20-15)=15×(-35)=-525$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-300}$；(2) $\boldsymbol{-525}$
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是有理数运算与绝对值性质的综合题，解题核心是先根据乘法符号规律准确筛选出最大、最小乘积，再结合非负性求解未知数，计算过程中要注意正负号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
解决本题可分两步思考：(1) 先根据有理数乘法的符号规律找最大积和最小积：同号相乘得正，异号相乘得负，正数大于所有负数，因此最大的积一定是同号两数相乘的结果中最大的，最小的积一定是异号两数相乘的结果中最小的，分别计算比较得到m、n后，再计算mn的值；(2) 利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此求出x、y的取值，再代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据有理数乘法法则计算所有同号两数的乘积：$1×3=3$，$(-4)×(-5)=20$，比较得最大的积$m=20$；计算所有异号两数的乘积，找最小的结果：$3×(-5)=-15$是最小的积，即$n=-15$，因此$mn=20×(-15)=-300$。
(2) 将m=20，n=-15代入$|x−m|+|y+n|=0$，得$|x-20|+|y-15|=0$。因为绝对值具有非负性，即$|x-20|≥0$，$|y-15|≥0$，所以只有当$x-20=0$且$y-15=0$时等式成立，解得$x=20$，$y=15$。将x、y代入$y(-x-y)$得：$15×(-20-15)=15×(-35)=-525$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-300}$；(2) $\boldsymbol{-525}$
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是有理数运算与绝对值性质的综合题，解题核心是先根据乘法符号规律准确筛选出最大、最小乘积，再结合非负性求解未知数，计算过程中要注意正负号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
14. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算 $49\frac{24}{25} × (-5)$，看谁算得又快又好。
小明的解法：原式$=-\frac{1249}{25} ×5 = -249\frac{4}{5}$；
小军的解法：原式$=(49+\frac{24}{25}) × (-5)=49× (-5)+\frac{24}{25}× (-5)=-249\frac{4}{5}$。
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法更好？
（2）小强认为还有更好的方法：把 $49\frac{24}{25}$ 看作 $50-\frac{1}{25}$，请把小强的解法写出来；
（3）请你用最合适的方法计算：$9\frac{5}{6} × (-3)$。
小明的解法：原式$=-\frac{1249}{25} ×5 = -249\frac{4}{5}$；
小军的解法：原式$=(49+\frac{24}{25}) × (-5)=49× (-5)+\frac{24}{25}× (-5)=-249\frac{4}{5}$。
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法更好？
（2）小强认为还有更好的方法：把 $49\frac{24}{25}$ 看作 $50-\frac{1}{25}$，请把小强的解法写出来；
（3）请你用最合适的方法计算：$9\frac{5}{6} × (-3)$。
答案
14. 解：(1)小军的解法更好;(2)$49\dfrac{24}{25}×(-5)=(50-\dfrac{1}{25})×(-5)=50×(-5)-\dfrac{1}{25}×(-5)=-250+\dfrac{1}{5}=-249\dfrac{4}{5}$;(3)原式$=(10-\dfrac{1}{6})×(-3)=10×(-3)-\dfrac{1}{6}×(-3)=-30+\dfrac{1}{2}=-29\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查有理数乘法的简便运算，解题思路如下：（1）对比两种解法的计算量：小明的解法需将带分数化为假分数，分子数值大，计算易出错；小军的解法利用乘法分配律拆分带分数，分别计算后再求和，计算量小，更简便。（2）小强的思路是将接近整数的带分数凑整，把$49\frac{24}{25}$拆成$50-\frac{1}{25}$，再利用乘法分配律展开计算，进一步简化计算步骤。（3）计算$9\frac{5}{6}×(-3)$时，同理将接近整数10的带分数拆成$10-\frac{1}{6}$，再用乘法分配律计算即可，避免计算大数值的乘法。
【解析】
(1) 小明的解法需要计算大数值假分数的乘法，容易出错；小军的解法运用乘法分配律拆分计算，步骤更简单，计算量更小，因此小军的解法更好。
(2) 小强的解法如下：
$\begin{aligned}49\frac{24}{25}×(-5)&=(50-\frac{1}{25})×(-5)\\&=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)\\&=-250+\frac{1}{5}\\&=-249\frac{4}{5}\end{aligned}$
(3) 计算$9\frac{5}{6}×(-3)$时，先拆分带分数再用乘法分配律：
$\begin{aligned}9\frac{5}{6}×(-3)&=(10-\frac{1}{6})×(-3)\\&=10×(-3)-\frac{1}{6}×(-3)\\&=-30+\frac{1}{2}\\&=-29\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小军的解法更好；
(2) $49\frac{24}{25}×(-5)=(50-\frac{1}{25})×(-5)=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)=-250+\frac{1}{5}=-249\frac{4}{5}$；
(3) $-29\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算，乘法分配律应用，带分数简便拆分
【点评】
本题重点考查有理数乘法的简便计算技巧，核心是将接近整数的带分数拆分为整数与真分数的和或差，再结合乘法分配律展开计算，能有效降低计算量，减少计算错误，是有理数乘法中常用的简便运算技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘法的简便运算，解题思路如下：（1）对比两种解法的计算量：小明的解法需将带分数化为假分数，分子数值大，计算易出错；小军的解法利用乘法分配律拆分带分数，分别计算后再求和，计算量小，更简便。（2）小强的思路是将接近整数的带分数凑整，把$49\frac{24}{25}$拆成$50-\frac{1}{25}$，再利用乘法分配律展开计算，进一步简化计算步骤。（3）计算$9\frac{5}{6}×(-3)$时，同理将接近整数10的带分数拆成$10-\frac{1}{6}$，再用乘法分配律计算即可，避免计算大数值的乘法。
【解析】
(1) 小明的解法需要计算大数值假分数的乘法，容易出错；小军的解法运用乘法分配律拆分计算，步骤更简单，计算量更小，因此小军的解法更好。
(2) 小强的解法如下：
$\begin{aligned}49\frac{24}{25}×(-5)&=(50-\frac{1}{25})×(-5)\\&=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)\\&=-250+\frac{1}{5}\\&=-249\frac{4}{5}\end{aligned}$
(3) 计算$9\frac{5}{6}×(-3)$时，先拆分带分数再用乘法分配律：
$\begin{aligned}9\frac{5}{6}×(-3)&=(10-\frac{1}{6})×(-3)\\&=10×(-3)-\frac{1}{6}×(-3)\\&=-30+\frac{1}{2}\\&=-29\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小军的解法更好；
(2) $49\frac{24}{25}×(-5)=(50-\frac{1}{25})×(-5)=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)=-250+\frac{1}{5}=-249\frac{4}{5}$；
(3) $-29\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算，乘法分配律应用，带分数简便拆分
【点评】
本题重点考查有理数乘法的简便计算技巧，核心是将接近整数的带分数拆分为整数与真分数的和或差，再结合乘法分配律展开计算，能有效降低计算量，减少计算错误，是有理数乘法中常用的简便运算技巧。
【难度系数】
0.8
