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11. 下列各组数中，互为相反数的是（
A.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{(-2)^2}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{-8}$与$-\sqrt[3]{8}$
B
）A.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{(-2)^2}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{-8}$与$-\sqrt[3]{8}$
答案
B
解析
【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。解题时需先将每个选项中的两个数分别化简，再对照定义判断即可。
【解析】
首先明确相反数的判定规则：若两个数绝对值相等、符号相反，则这两个数互为相反数。
逐一分析选项：
A选项：$-2$与$-\dfrac{1}{2}$符号相同，绝对值分别为2和$\dfrac{1}{2}$不相等，不是互为相反数，排除；
B选项：先化简，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2和-2绝对值相等、符号相反，互为相反数，符合要求；
C选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$是同一个数，不是互为相反数，排除；
D选项：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$-\sqrt[3]{8}=-2$，两个数相等，不是互为相反数，排除。
【答案】
B
【知识点】
相反数的概念；算术平方根化简；立方根化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是先正确化简含有根式、绝对值的数，再结合相反数的定义判断，要注意区分算术平方根和立方根的运算规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.8
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。解题时需先将每个选项中的两个数分别化简，再对照定义判断即可。
【解析】
首先明确相反数的判定规则：若两个数绝对值相等、符号相反，则这两个数互为相反数。
逐一分析选项：
A选项：$-2$与$-\dfrac{1}{2}$符号相同，绝对值分别为2和$\dfrac{1}{2}$不相等，不是互为相反数，排除；
B选项：先化简，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2和-2绝对值相等、符号相反，互为相反数，符合要求；
C选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$是同一个数，不是互为相反数，排除；
D选项：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$-\sqrt[3]{8}=-2$，两个数相等，不是互为相反数，排除。
【答案】
B
【知识点】
相反数的概念；算术平方根化简；立方根化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是先正确化简含有根式、绝对值的数，再结合相反数的定义判断，要注意区分算术平方根和立方根的运算规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.8
12. 下列说法中，正确的个数是 （
①无限小数是无理数；②有理数是有限小数；③任何实数都有唯一的立方根；
④只有正实数才有算术平方根；⑤一个数有立方根，则必有平方根；⑥一个数的立方根不一定是无理数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①无限小数是无理数；②有理数是有限小数；③任何实数都有唯一的立方根；
④只有正实数才有算术平方根；⑤一个数有立方根，则必有平方根；⑥一个数的立方根不一定是无理数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断正确说法的个数，需结合实数的分类、立方根、平方根、算术平方根的相关概念，逐一分析6个说法的正误，最后统计正确的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个说法的对错：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，故①错误；
②有理数包括整数和分数，分数可以化为有限小数或无限循环小数，因此有理数不只是有限小数，还包括无限循环小数和整数，故②错误；
③立方根的性质：任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故③正确；
④0的算术平方根是0，所以非负实数（正实数和0）都有算术平方根，故④错误；
⑤负数有立方根，但负数没有平方根，因此有立方根的数不一定有平方根，故⑤错误；
⑥例如8的立方根是2，是有理数，因此一个数的立方根可能是有理数也可能是无理数，即立方根不一定是无理数，故⑥正确。
综上，正确的说法是③和⑥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
实数的分类；立方根的性质；平方根与算术平方根
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，易错点在于容易忽略0的特殊性、混淆无限小数和无理数的范围、混淆平方根和立方根的适用范围，学习时需要准确牢记各类概念的定义和性质。
【难度系数】
0.7
要判断正确说法的个数，需结合实数的分类、立方根、平方根、算术平方根的相关概念，逐一分析6个说法的正误，最后统计正确的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个说法的对错：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，故①错误；
②有理数包括整数和分数，分数可以化为有限小数或无限循环小数，因此有理数不只是有限小数，还包括无限循环小数和整数，故②错误；
③立方根的性质：任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故③正确；
④0的算术平方根是0，所以非负实数（正实数和0）都有算术平方根，故④错误；
⑤负数有立方根，但负数没有平方根，因此有立方根的数不一定有平方根，故⑤错误；
⑥例如8的立方根是2，是有理数，因此一个数的立方根可能是有理数也可能是无理数，即立方根不一定是无理数，故⑥正确。
综上，正确的说法是③和⑥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
实数的分类；立方根的性质；平方根与算术平方根
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，易错点在于容易忽略0的特殊性、混淆无限小数和无理数的范围、混淆平方根和立方根的适用范围，学习时需要准确牢记各类概念的定义和性质。
【难度系数】
0.7
13. $\sqrt{16}$的平方根是
$\pm2$
；$-\sqrt[3]{0.125}=$$-0.5$
.答案
$\pm2$ $-0.5$
解析
【分析】
解决这道题要分两步思考：①处理第一个空时，注意所求的是$\sqrt{16}$的平方根，不能直接当成16的平方根计算，需要先化简$\sqrt{16}$，再求化简后结果的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数；②处理第二个空时，先找到立方等于0.125的数，得到三次根号0.125的结果，再添加负号即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{16}$的平方根：
先化简$\sqrt{16}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}=4$；
再求4的平方根：因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
2. 计算$-\sqrt[3]{0.125}$：
根据立方根的定义，因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5$；
因此$-\sqrt[3]{0.125}=-0.5$。
【答案】
$\pm2$；$-0.5$
【知识点】
平方根的概念、立方根的概念、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础计算类题目，重点考查平方根、立方根的性质，易错点是第一问容易忽略先化简$\sqrt{16}$，直接求16的平方根得到错误结果$\pm4$，做题时需先明确被开方数的具体值再计算。
【难度系数】
0.7
解决这道题要分两步思考：①处理第一个空时，注意所求的是$\sqrt{16}$的平方根，不能直接当成16的平方根计算，需要先化简$\sqrt{16}$，再求化简后结果的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数；②处理第二个空时，先找到立方等于0.125的数，得到三次根号0.125的结果，再添加负号即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{16}$的平方根：
先化简$\sqrt{16}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}=4$；
再求4的平方根：因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
2. 计算$-\sqrt[3]{0.125}$：
根据立方根的定义，因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5$；
因此$-\sqrt[3]{0.125}=-0.5$。
【答案】
$\pm2$；$-0.5$
【知识点】
平方根的概念、立方根的概念、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础计算类题目，重点考查平方根、立方根的性质，易错点是第一问容易忽略先化简$\sqrt{16}$，直接求16的平方根得到错误结果$\pm4$，做题时需先明确被开方数的具体值再计算。
【难度系数】
0.7
14.计算:
(1)$\sqrt{25}+\sqrt{36}$.
(2)$\sqrt{81}-\sqrt[3]{125}$.
(3)$\sqrt[3]{8}+\sqrt{0}-\sqrt{\frac{1}{4}}$.
(1)$\sqrt{25}+\sqrt{36}$.
(2)$\sqrt{81}-\sqrt[3]{125}$.
(3)$\sqrt[3]{8}+\sqrt{0}-\sqrt{\frac{1}{4}}$.
答案
(1)$11$ (2)$4$ (3)$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
这三道题均为实数范围内的根式基础运算，解题思路为：先根据算术平方根、立方根的定义，分别求出每一个根式的化简结果，再按照有理数的加减运算法则计算最终结果即可。计算时需注意算术平方根开平方结果为非负数，区分开平方和开立方的运算规则，避免化简错误。
【解析】
(1) 先化简两个算术平方根：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt{36}$是36的算术平方根，因为$6^2=36$，所以$\sqrt{36}=6$；
原式$=5+6=11$。
(2) 分别化简算术平方根和立方根：
$\sqrt{81}$是81的算术平方根，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt[3]{125}$是125的立方根，因为$5^3=125$，所以$\sqrt[3]{125}=5$；
原式$=9-5=4$。
(3) 分别化简每个根式：
$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
$\sqrt{0}$是0的算术平方根，所以$\sqrt{0}=0$；
$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
原式$=2+0-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$11$；(2)$4$；(3)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
算术平方根化简，立方根化简，实数加减运算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根、立方根定义的理解与运用，只要准确掌握各类根式的化简规则，仔细计算即可得分，是根式运算部分必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
这三道题均为实数范围内的根式基础运算，解题思路为：先根据算术平方根、立方根的定义，分别求出每一个根式的化简结果，再按照有理数的加减运算法则计算最终结果即可。计算时需注意算术平方根开平方结果为非负数，区分开平方和开立方的运算规则，避免化简错误。
【解析】
(1) 先化简两个算术平方根：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt{36}$是36的算术平方根，因为$6^2=36$，所以$\sqrt{36}=6$；
原式$=5+6=11$。
(2) 分别化简算术平方根和立方根：
$\sqrt{81}$是81的算术平方根，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt[3]{125}$是125的立方根，因为$5^3=125$，所以$\sqrt[3]{125}=5$；
原式$=9-5=4$。
(3) 分别化简每个根式：
$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
$\sqrt{0}$是0的算术平方根，所以$\sqrt{0}=0$；
$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
原式$=2+0-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$11$；(2)$4$；(3)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
算术平方根化简，立方根化简，实数加减运算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根、立方根定义的理解与运用，只要准确掌握各类根式的化简规则，仔细计算即可得分，是根式运算部分必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
15. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $(1 - x)^2 = 64$.
(2) $(2x + 1)^3 - 8 = 0$.
(1) $(1 - x)^2 = 64$.
(2) $(2x + 1)^3 - 8 = 0$.
答案
(1)$x=-7$ 或 $x=9$ (2)$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道题都是利用开方运算求解未知数的基础题。第(1)题是平方形式，我们可以把$(1-x)$看作整体，根据“一个正数有两个互为相反数的平方根”，先求64的平方根，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到x的两个值，注意不要漏解；第(2)题是立方形式，先移项把式子整理为左边是立方、右边是常数的形式，再根据“正数的立方根是唯一的正数”，把$(2x+1)$看作整体求8的立方根，得到一元一次方程后求解即可。
【解析】
(1) 解：已知$(1-x)^2=64$，根据平方根的定义，因为$(\pm8)^2=64$，可得：
$1-x=8$ 或 $1-x=-8$
当$1-x=8$时，解得$x=1-8=-7$
当$1-x=-8$时，解得$x=1-(-8)=9$
(2) 解：对$(2x + 1)^3 - 8 = 0$移项得：
$(2x+1)^3=8$
根据立方根的定义，因为$2^3=8$，可得：
$2x+1=2$
移项计算得$2x=1$，系数化为1得$x=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=-7$ 或 $x=9$ (2)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于开方运算的基础题型，核心是掌握平方根和立方根的性质，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏解，而立方根具有唯一性，熟练掌握定义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
这两道题都是利用开方运算求解未知数的基础题。第(1)题是平方形式，我们可以把$(1-x)$看作整体，根据“一个正数有两个互为相反数的平方根”，先求64的平方根，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到x的两个值，注意不要漏解；第(2)题是立方形式，先移项把式子整理为左边是立方、右边是常数的形式，再根据“正数的立方根是唯一的正数”，把$(2x+1)$看作整体求8的立方根，得到一元一次方程后求解即可。
【解析】
(1) 解：已知$(1-x)^2=64$，根据平方根的定义，因为$(\pm8)^2=64$，可得：
$1-x=8$ 或 $1-x=-8$
当$1-x=8$时，解得$x=1-8=-7$
当$1-x=-8$时，解得$x=1-(-8)=9$
(2) 解：对$(2x + 1)^3 - 8 = 0$移项得：
$(2x+1)^3=8$
根据立方根的定义，因为$2^3=8$，可得：
$2x+1=2$
移项计算得$2x=1$，系数化为1得$x=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=-7$ 或 $x=9$ (2)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于开方运算的基础题型，核心是掌握平方根和立方根的性质，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏解，而立方根具有唯一性，熟练掌握定义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
16. 利用如图所示的$4×4$方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示出实数$\sqrt{8}$和$-\sqrt{8}$，$1+\sqrt{8}$。
(1)面积为8的正方形边长是有理数吗？
(2)在方格图中画出面积为8的正方形。
(3)把$\sqrt{8}, -\sqrt{8}, 1+\sqrt{8}$表示在数轴上。
(1)面积为8的正方形边长是有理数吗？
(2)在方格图中画出面积为8的正方形。
(3)把$\sqrt{8}, -\sqrt{8}, 1+\sqrt{8}$表示在数轴上。
答案
(1)不是 (2)略 (3)略
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先根据正方形面积公式求出边长，再结合有理数（整数和分数统称有理数）的定义判断边长的属性；2. 解决第(2)问时，已知正方形边长为√8，结合方格特点，直角边为2的等腰直角三角形的斜边长为√(2²+2²)=√8，用该斜边作为正方形的边，选取格点连接即可画出面积为8的正方形；3. 解决第(3)问时，利用“等长线段平移”的思路，先将边长为√8的线段对应移到数轴上确定√8和-√8的位置，再从表示1的点出发向正方向平移√8的长度即可得到1+√8的位置。
【解析】
(1) 设面积为8的正方形边长为a，根据正方形面积公式可得$a^2=8$，因此$a=\sqrt{8}$。有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{8}$是无限不循环小数，属于无理数，因此它不是有理数。
(2) 画法：在4×4方格中，选取格点作为正方形顶点，使正方形的每条边均为直角边为2个单位长度的等腰直角三角形的斜边，依次连接4个顶点，得到的正方形边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，面积为$(\sqrt{8})^2=8$，符合要求。
(3) 画法：①画出数轴，标注原点、正方向和单位长度；②以原点为起点，在数轴正方向上截取长度为$\sqrt{8}$的线段（长度与第(2)问中正方形边长相等），线段终点即为表示$\sqrt{8}$的点；在原点负方向截取同样长度的线段，终点即为表示$-\sqrt{8}$的点；③找到数轴上表示1的点，从该点出发向正方向截取长度为$\sqrt{8}$的线段，终点即为表示$1+\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1)不是 (2)略 (3)略
【知识点】
1. 无理数的识别 2. 平方根的概念 3. 实数与数轴的对应
【点评】
本题将代数计算与几何作图结合，既考察了无理数、平方根的基础概念，又考察了动手作图能力，能帮助理解无理数的几何意义，掌握数轴表示任意实数的方法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先根据正方形面积公式求出边长，再结合有理数（整数和分数统称有理数）的定义判断边长的属性；2. 解决第(2)问时，已知正方形边长为√8，结合方格特点，直角边为2的等腰直角三角形的斜边长为√(2²+2²)=√8，用该斜边作为正方形的边，选取格点连接即可画出面积为8的正方形；3. 解决第(3)问时，利用“等长线段平移”的思路，先将边长为√8的线段对应移到数轴上确定√8和-√8的位置，再从表示1的点出发向正方向平移√8的长度即可得到1+√8的位置。
【解析】
(1) 设面积为8的正方形边长为a，根据正方形面积公式可得$a^2=8$，因此$a=\sqrt{8}$。有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{8}$是无限不循环小数，属于无理数，因此它不是有理数。
(2) 画法：在4×4方格中，选取格点作为正方形顶点，使正方形的每条边均为直角边为2个单位长度的等腰直角三角形的斜边，依次连接4个顶点，得到的正方形边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，面积为$(\sqrt{8})^2=8$，符合要求。
(3) 画法：①画出数轴，标注原点、正方向和单位长度；②以原点为起点，在数轴正方向上截取长度为$\sqrt{8}$的线段（长度与第(2)问中正方形边长相等），线段终点即为表示$\sqrt{8}$的点；在原点负方向截取同样长度的线段，终点即为表示$-\sqrt{8}$的点；③找到数轴上表示1的点，从该点出发向正方向截取长度为$\sqrt{8}$的线段，终点即为表示$1+\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1)不是 (2)略 (3)略
【知识点】
1. 无理数的识别 2. 平方根的概念 3. 实数与数轴的对应
【点评】
本题将代数计算与几何作图结合，既考察了无理数、平方根的基础概念，又考察了动手作图能力，能帮助理解无理数的几何意义，掌握数轴表示任意实数的方法。
【难度系数】
0.7
